第1章因式分解章末复习课件湘教版八年级数学上册

湘教版（2024）数学8年级上册第1章

因式分解章末复习1.把一个多项式表示成若干个多项式的

形式，

称为把这个多项式_________，也称为__________；2.因式分解的过程和

的过程正好______：

前者是把一个多项式化为几个多项式的______，

后者是把几个多项式的______化为一个________.

一、因式分解因式分解乘积

分解因式

多项式的乘法相反多项式

乘积

乘积

#第1章

因式分解（章末复习课件）##幻灯片1：封面-标题：第1章

因式分解——章末复习-副标题：七年级数学（下册/上册，根据教材版本调整）-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻灯片2：目录1.本章知识框架梳理2.核心概念回顾（因式分解的定义）3.因式分解的基本方法（精讲+例题）4.因式分解的一般步骤5.易错点辨析与常见错误纠正6.综合题型解析（基础+提升）7.本章思想方法总结8.课堂练习（分层训练）9.作业布置##幻灯片3：本章知识框架梳理```因式分解├──

核心概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式├──

基本方法：│

├──

提公因式法（公因式：单项式、多项式）│

├──

公式法：│

│

├──

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)│

│

└──

完全平方公式：a²

±2ab+b²=(a±b)²│

└──

十字相乘法（可选，根据教材要求调整）：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)├──

应用场景：│

├──

简化计算│

├──

求解一元二次方程（铺垫）│

├──

比较大小、证明整除性│

└──

分式化简（铺垫）└──

关键要求：分解彻底、结果为整式积的形式```##幻灯片4：核心概念回顾——因式分解的定义###定义：**把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解（也叫分解因式）**。###关键词解析：1.对象：多项式（如ax+bx、a²-b²等）；2.结果：几个整式的积（不能是和或差，如(x+1)+(x-1)不是因式分解）；3.本质：整式乘法的逆运算（互逆变形）。###互逆变形对比：|整式乘法（积→和差）|因式分解（和差→积）||----------------------|----------------------||(a+b)(a-b)=a²-b²|a²-b²=(a+b)(a-b)||(x+3)(x-2)=x²+x-6|x²+x-6=(x+3)(x-2)||2a(a+2b)=2a²+4ab|2a²+4ab=2a(a+2b)|###小练习：判断下列变形是否为因式分解1.x²-4+3x=(x+2)(x-2)+3x（×，结果不是整式积）2.2x²-2=2(x²-1)（×，未分解彻底）3.(x+1)(x-1)=x²-1（×，是整式乘法）4.x²-6x+9=(x-3)²（√，符合定义）##幻灯片5：因式分解的基本方法——提公因式法###1.公因式的定义：多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式的公因式（可是单项式，也可是多项式）。###2.找公因式的步骤：-系数：取各项系数的最大公因数（如-6x²y+9xy²，系数最大公因数为3）；-字母：取各项都含有的相同字母（如-6x²y+9xy²，相同字母为x、y）；-指数：取相同字母的最低次幂（如x的最低次幂为1，y的最低次幂为1，故公因式为3xy）。###3.提公因式法的公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)（m为公共因式）###4.例题解析：-例1：分解因式：3x²-6xy+3x

解答：公因式为3x，提公因式得：3x(x-2y+1)（注意：最后一项提公因式后剩1，不能省略）-例2：分解因式：-4a³b²+6a²b-2ab

解答：先提负号（使首项系数为正），再提公因式2ab：-2ab(2a²b-3a+1)-例3：分解因式：a(x-y)+b(y-x)

解答：变形为a(x-y)-b(x-y)，公因式为(x-y)，得：(x-y)(a-b)###5.关键提醒：-公因式要提尽，不能遗漏常数项和单独的字母；-首项为负时，先提“-”号，括号内各项要变号；-提公因式后，括号内多项式的项数与原多项式一致。##幻灯片6：因式分解的基本方法——公式法（平方差公式）###1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)###2.适用条件：-多项式是二项式；-两项符号相反；-每项都能写成一个整式的平方形式（即“平方差”形式）。###3.常见变形：-系数变形：4x²-9y²=(2x)²-(3y)²=(2x+3y)(2x-3y)；-符号变形：-16m²+25n²=25n²-16m²=(5n+4m)(5n-4m)；-指数变形：x⁴-y⁴=(x²)²-(y²)²=(x²+y²)(x²-y²)=(x²+y²)(x+y)(x-y)（分解彻底）。###4.例题解析：-例1：分解因式：16a²-9b²

解答：(4a)²-(3b)²=(4a+3b)(4a-3b)-例2：分解因式：(x+2)²-(x-1)²

解答：令a=x+2，b=x-1，原式=a²-b²=(a+b)(a-b)=[(x+2)+(x-1)][(x+2)-(x-1)]=(2x+1)×3=3(2x+1)-例3：分解因式：x³-4x

解答：先提公因式x，再用平方差公式：x(x²-4)=x(x+2)(x-2)（先提公因式，再用公式，分解彻底）##幻灯片7：因式分解的基本方法——公式法（完全平方公式）###1.完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²（和的平方）；a²-2ab+b²=(a-b)²（差的平方）。###2.适用条件：-多项式是三项式；-其中两项是两个整式的平方（符号相同）；-第三项是这两个整式乘积的2倍（符号可正可负）。###3.口诀记忆：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看中央”。###4.例题解析：-例1：分解因式：x²+10x+25

解答：x²+2×x×5+5²=(x+5)²-例2：分解因式：4a²-12ab+9b²

解答：(2a)²-2×2a×3b+(3b)²=(2a-3b)²-例3：分解因式：-x²+4xy-4y²

解答：先提负号：-(x²-4xy+4y²)=-(x-2y)²-例4：分解因式：(a+b)²-6(a+b)+9

解答：令m=a+b，原式=m²-6m+9=(m-3)²=(a+b-3)²###5.关键提醒：-先判断是否为“完全平方”形式，再套用公式；-首项系数为负时，先提负号，再判断；-注意“2ab”的符号，决定结果是“和的平方”还是“差的平方”。##幻灯片8：因式分解的基本方法——十字相乘法（可选）###1.适用形式：x²+(p+q)x+pq（二次项系数为1的二次三项式）###2.分解公式：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（找到两个数p、q，使p+q=一次项系数，p×q=常数项）###3.例题解析：-例1：分解因式：x²+5x+6

解答：找p=2，q=3（2+3=5，2×3=6），得：(x+2)(x+3)-例2：分解因式：x²-3x-4

解答：找p=-4，q=1（-4+1=-3，-4×1=-4），得：(x-4)(x+1)-例3：分解因式：x²+2x-15

解答：找p=5，q=-3（5+(-3)=2，5×(-3)=-15），得：(x+5)(x-3)##幻灯片9：因式分解的一般步骤###口诀：“一提、二套、三查”1.**一提**：先看多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式（公因式要提尽）；2.**二套**：若提公因式后仍可分解，再根据多项式的项数和形式套用公式（二项式看平方差，三项式看完全平方或十字相乘）；3.**三查**：检查分解结果是否彻底（即每个因式不能再分解），且结果为整式的积的形式。###示例：分解因式：2x³-8x²+8x-步骤1：提公因式2x：2x(x²-4x+4)；-步骤2：套完全平方公式：2x(x-2)²；-步骤3：检查：每个因式不能再分解，结果为整式积，分解彻底。##幻灯片10：易错点辨析与常见错误纠正|常见错误|错误原因|纠正方法|示例||----------|----------|----------|------||提公因式不彻底|未找全系数、字母、指数的公因式|按“系数最大公因数→相同字母→最低次幂”分步找公因式|错误：2x²-4x=2(x²-2x)；正确：2x(x-2)||遗漏常数项的公因式|忽略常数项的最大公因数|先提取系数的最大公因数，再提字母公因式|错误：6a²b-9ab²+3ab=3ab(2a-3b)；正确：3ab(2a-3b+1)||首项为负未变号|提取负号后，括号内各项未变号|首项为负时，先提“-”号，括号内每一项都要变号|错误：-x²+2xy-y²=-(x²+2xy-y²)；正确：-(x²-2xy+y²)=-(x-2y)²||分解不彻底|未继续分解能再分解的因式|提公因式后，检查括号内多项式是否还能套用公式|错误：x⁴-1=(x²+1)(x²-1)；正确：(x²+1)(x+1)(x-1)||混淆公式适用条件|平方差公式用于三项式，完全平方公式用于二项式|二项式优先看平方差，三项式优先看完全平方|错误：x²+4=(x+2)(x-2)（×，x²+4是和的平方，不能用平方差）；正确：x²+4不能分解（实数范围内）||十字相乘法找错p、q|未满足“p+q=一次项系数，p×q=常数项”|列出常数项的所有因数对，逐一验证和是否为一次项系数|错误：x²+3x-4=(x+4)(x+1)（×，4+1=5≠3）；正确：(x+4)(x-1)（4+(-1)=3）|##幻灯片11：综合题型解析——基础题###题型1：直接分解因式（提公因式+公式）-例1：分解因式：3a³-12a

解答：3a(a²-4)=3a(a+2)(a-2)-例2：分解因式：(x²+4)²-16x²

解答：平方差公式：[(x²+4)+4x][(x²+4)-4x]=(x²+4x+4)(x²-4x+4)=(x+2)²(x-2)²###题型2：利用因式分解简化计算-例3：计算：2024²-2023²

解答：平方差公式：(2024+2023)(2024-2023)=4047×1=4047-例4：计算：100²-2×100×99+99²

解答：完全平方公式：(100-99)²=1²=1##幻灯片12：综合题型解析——提升题###题型1：因式分解的逆向应用（求代数式的值）-例1：已知a+b=5，ab=3，求a²b+ab²的值。

解答：提取公因式ab：ab(a+b)=3×5=15-例2：已知x-y=2，x²+y²=10，求xy的值。

解答：由完全平方公式：(x-y)²=x²-2xy+y²，代入得：2²=10-2xy→4=10-2xy→2xy=6→xy=3###题型2：因式分解与整除性证明-例3：证明：对于任意整数n，n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一个完全平方数。

解答：分组变形：[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1=(n²+3n)(n²+3n+2)+1；

令m=n²+3n，原式=m(m+2)+1=m²+2m+1=(m+1)²=(n²+3n+1)²，故为完全平方数。###题型3：复杂多项式的因式分解-例4：分解因式：a²-2ab+b²-c²

解答：分组分解（前三项为完全平方）：(a-b)²-c²=(a-b+c)(a-b-c)##幻灯片13：本章思想方法总结1.**转化思想**：将多项式分解为整式的积，把复杂问题转化为简单问题（如将二次多项式转化为一次因式的积）；2.**整体思想**：把多项式中的某一部分看作一个整体，套用公式（如(a+b)²-6(a+b)+9，把(a+b)看作整体）；3.**分类讨论思想**：根据多项式的项数、形式，选择不同的分解方法（二项式看平方差，三项式看完全平方或十字相乘）；4.**逆向思维**：利用整式乘法与因式分解的互逆关系，验证分解结果的正确性。##幻灯片14：课堂练习（基础层）1.分解因式：

（1）12x²y-18xy²；（答案：6xy(2x-3y)）

（2）x²-6x+9；（答案：(x-3)²）

（3）4x²-25；（答案：(2x+5)(2x-5)）

（4）-3a³+12a²-12a；（答案：-3a(a²-4a+4)=-3a(a-2)²）2.利用因式分解计算：

（1）3.14×55²-3.14×45²；（答案：3.14×(55²-45²)=3.14×(55+45)(55-45)=3140）

（2）2025²-4050×2024+2024²；（答案：(2025-2024)²=1）##幻灯片15：课堂练习（提升层）1.分解因式：

（1）(x²+2x)²-(2x+4)²；（答案：(x²+4x+4)(x²-4)=(x+2)²(x+2)(x-2)=(x+2)³(x-2)）

（2）a²-b²+2a+2b；（答案：(a-b)(a+b)+2(a+b)=(a+b)(a-b+2)）2.已知a=2023，b=2024，求a²-2ab+b²-5a+5b的值。（答案：(a-b)²-5(a-b)=(a二、提公因式法1.一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的________，简称多项式的________.2.公因式的确定：(1)系数：取多项式各项整数系数的

；(2)字母：取多项式各项中

的字母；(3)各字母的指数：取次数最

的．

公因式公因式最大公因数

相同

最低

3.定义：逆用乘法对加法的______律，可以把

_______提到括号外边，作为积的一个_____，这种将多项式因式分解的方法，叫作提公因式法.分配公因式因式三、公式法——平方差公式1.因式分解中的平方差公式a2

-

b2

＝

；2.多项式的特征：(1)可化为____个整式；

(2)两项符号______；

(3)每一项都是整式的______.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式；(2)分解到每一个多项式都不能再分解为止.

(a+b)(a

-

b)两相反平方四、公式法——完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab+b2=()2，

a2-2ab+b2=()2.2.多项式的特征：(1)三项式；

(2)有两项符号_____，能写成两个整式的_________的形式；(3)另一项是这两整式______的

_____倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出_______.a+ba-

b相同

平方和

乘积

2

公因式

考点一

因式分解与整式乘法的关系例1

判断下列各式变形是不是因式分解，并说明理由：(1)a2

-

4

+3a=(a

+2)(a

-

2)

+3a；

(2)(a

+2)(a

-

5)=a2

-

3a

-

10；(3)x2

-

6x

+9=(x

-

3)2；

(4)3x2

-

2xy

+x=x(3x

-

2y)2.【总结】①多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件：第一，等式的左边是一个多项式；第二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；②判断过程要从左到右保持恒等变形.不是不是是不是不是积的形式是整式乘法不是恒等变形考点二提公因式法因式分解例2

分解因式：(1)

8a3b2

+12ab3c；(2)

2a(b

+c)

-

3(b

+c)；(3)

(a

+b)(a

-

b)

-

a

-

b.解：(1)原式＝4ab2(2a2

+3bc).(2)原式＝(b

+c)(2a

-

3).(3)原式＝(a

+b)(a

-

b

-

1)．方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.1.把下列多项式因式分解：针对训练例3计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14.考点三利用提公因式法求值解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91

＝13×(3×37－91)＝13×20＝260.(2)29×20.22＋72×20.22＋13×20.22－20.22×14

＝20.22×(29＋72＋13－14)＝2022.2.已知

a=

9-

b，ab

=

4，求

a2b＋

ab2的值．解：因为

a=9

-

b，ab=4，所以

a＋b=9，所以原式=ab(a＋b)=4×9=36.方法归纳原式提取公因式变形后，将

a＋b与

ab作为一个整体代入计算即可得出答案．针对训练考点四

平方差公式因式分解例4

分解因式：(1)(a＋

b)2－4a2； (2)9(m＋

n)2－(m－

n)2.解：(1)原式

＝

(a＋

b＋2a)(a＋b－2a)

＝

(3a＋b)(b－a).(2)原式

＝(3m＋3n＋

m－

n)(3m＋3n－

m＋

n)

＝(4m＋2n)(2m＋4n)

＝4(2m＋

n)(m＋2n).3.已知

x2－

y2＝－1，x＋

y＝，求

x－

y的值．解：因为x2－

y2＝(x＋

y)(x－

y)＝

－1，

x＋

y＝，

所以

x－

y＝

－2.针对训练4.如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，…，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积

的差，而正方形的面积是其边长的平方，则S阴影＝(1002-992)+(982

-

972)+…+(22

-

12)

＝100+99+98+97+…+2+1＝5050．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.考点五完全平方公式因式分解例5因式分解：(1)-3a2x2+24a2x

-

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