工程力学（教程篇） 第3版 课件汇 1-基本概念及基本原理 -11-动能定理

绪论工程力学是一门研究物体机械运动以及构件强度、刚度和稳定性的科学，它涵盖了理论力学与材料力学两门课程的主要内容。

工程力学所研究的机械运动主要有两大类：一类是研究物体的运动及研究作用在物体上的力和运动之间的关系；另一类是研究物体的变形，即研究作用在物体上的力与变形之间的关系。本课程将这两类问题归纳为刚体力学与变形体力学两大部分。这两类问题既有区别，又不是完全孤立的，在许多方面都有一些交叉问题，例如在研究振动时又必须考虑有关变形的一些问题。所有这些问题都是以这两大类问题为基础的。静力学：研究物体在力系作用下平衡规律的科学。平衡：物体在惯性参考系中处于静止状态。前言力系:

作用在物体上的一组力：

平衡力系使物体保持平衡状态的力系。该力系满足的条件为平衡条件。第一篇刚体静力学力系的简化（等效）用作用效果相同的简单力系来替原复杂力系。

力系的平衡建立平衡条件（平衡方程）。

静力学要研究的问题：原力系等效力系一、力学模型质点：只计及质量而不计大小和形状的物体。质点系：相互联系的有限或无限多质点的总称。第一章基本概念与基本原理质点、质点系、刚体刚体系：由许多刚体所组成。二、力的概念力的作用效应力的三要素运动变形力是物体间的相互作用，能使物体的机械运动状态发生变化或能引起物体的变形。1.运动效应；2.变形效应。大小、方向、作用点力的表示定位矢量FA（一）力系简化规律1.加减平衡力系公理

同一刚体上增加或减少若干个平衡力系，不改变原力系的作用效果。推论:力的可传性原理

力可沿其作用线在同一刚体上移动，而不改变该力对物体的效应。力是滑动矢量力的三要素(对刚体)：大小、方向、作用线ABAB三、静力学基本公理刚体变形体力的可传性原理不适用于变形体适用于刚体合力(resultantforce)

称为该力系的合力，

和

称为合力的分力2.力的平行四边形公理

作用在同一点的二个力和，其合力的大小和方向，是由该两个力的有向线段为邻边所组成的平行四边形的对角线来确定，且具有相同的作用点，并可表示为：AA（二）力系平衡规律1.二力平衡公理

作用于同一刚体上的两个力平衡的充分必要条件是：此二力等值、反向、共线。二力构件/二力杆若刚体上只有两点受力且不计其重量，则该刚体称为二力构件或二力杆。作用力方向沿两点连线、大小相等、方向相反。ABAB不平行三力平衡

不平行三力平衡的必要条件：作用于刚体上的三个力相互平衡时，若其中两个力的作用线相交于一点，则第三个力的作用线必通过该点。(是否共面？？？)2.三力平衡汇交定理DBACCD所以因三力大小关系：通过交点D

。问题：三力作用下物体平衡，三力方位有何特点？闭口力多边形即，三力必汇交于一点。ABAB

两物体间相互作用的一对力，总是等值、反向、共线，并分别作用在两个物体上.（三）力的传递规律作用力与反作用力公理（四）刚化原理变形体在已知力系作用下处于平衡时，若将此变形体刚化为刚体，其平衡状态不变。反之不成立四、力的分解与力的投影（一）力在轴上的投影ABAB在轴x上的投影投影若轴x单位向量为,则：→标量问题：力的分解与力的投影有何不同？分解投影力在xoy面上的投影为（矢量），它的大小：注意：力在轴上投影是标量。力在平面上的投影是矢量。（二）力在平面上的投影问题：求力在直角坐标轴上的投影。1、直接投影法（一次投影法）称为方向余弦，满足已知与x、y、z轴正向交角为，则：2、二次投影法若与轴x正向交角为，则在轴z上投影：注意：

力在坐标轴上的投影是代数量，应特别注意它的正负号。已知力与轴z正向交角为，则在xOy面上投影大小：j设

为直角坐标系轴的单位矢量（基矢量），则力可以写成其中，Fx、Fy

、Fz就是力在各坐标轴上的投影。问题：已知力F在直角坐标轴上的三个投影，试用投影表示F的大小和方向。模：方向余弦：能否用投影表达力矢量？力F2在各坐标轴上的投影：

力F3在各坐标轴上的投影：例

图中a=b=m，c=m。力F1=100N，F2=200N，F3=300N，方向如图。试求各力在三个坐标轴上的投影。解：力F1在各坐标轴上的投影：

FRx=

Fix

FRy=

FiyFRz=

FizF3FRFR2F2F4FR1F1F2F1F4F3xy`zFR（三）合力（合矢量）投影定理

ijk合力在坐标轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影之和例:巳知:F1=3kN，F2=2kN，求合力解：xy`zF1F2354定义：MOxyzOFrd

确定的方向；即垂直于矩心和力矢量所在的平面。取矩点O方向：

大小：作用点：点O称为力矩中心（矩心），该矢量通过矩心，为定位矢量（一）力对点之矩力对点之矩：

力使物体绕某点转动效应的度量五、力矩的概念力对点之矩在轴上的投影xyzijkrFFxFyFzxyz（2）解析表示式例：在图示立方体中，已知力与尺寸a。试求力对O点矩。

解：力的投影力对O的矩：问题：如何求力对B点的矩？FzoFxyFzFxydF由右手螺旋法则定正负：力对轴之矩：度量力使物体绕某轴转动的效应。

轴的方位已知。沿轴定一正方向，力矢量右手螺旋拇指方向与所定正方向相同为正。方法一：定义（二）力对轴的矩xzijkyFyxzFxFxyFyFzFxyFxFy方法二:

将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。问题：什么情况力对轴之矩为零？力与该轴平行或相交时力对该轴之矩为零。力对轴之矩力对点之矩在各坐标轴上的投影rFMOxyzO

力对（z）轴之矩等于力对（z）轴上任意一点（o）之矩在该轴（z）上的投影。力对轴之矩与力对点之矩的关系例：在图示立方体中，已知力与尺寸a。试求力对轴x、y、z之矩。

解：对轴x矩：对O点的矩：对轴y矩：对轴z矩：矢量在轴上的投影:力对任意一轴的矩力对轴（z）之矩等于力对轴（z）上任意一点（O）之矩在该轴（z）上的投影。AB◎若轴的单位矢量为n，O为轴上一点，则：→标量例：一长方体的边长分别为cm，N，试求此力对OA轴之矩。cm，cm，先求力对点（或A点）之矩即求得力对轴之矩。解：利用力对点之矩和力对轴之矩的关系定理再向线投影，N•cm

N•cm

xy`zFOAl1l2l3其二：找出与之间的夹角

N•cm向线投影有二种方法：点积基矢量N•cm

其一：xy`zFOAl1l2l3六、力偶大小相等，方向相反，作用线相互平行的二个力组成的力系力偶只能使刚体产生转动效应

力偶作用面：由一对力F

所组成的平面；力偶臂：构成力偶的一对力的作用线间的距离，用h表示；力偶三要素：大小、作用面、转动方向。1.力偶的概念FF

2.力偶矩矢用以衡量力偶对刚体的转动效应PQ平面有一对力偶，将它们对O点取矩O根据力对点之矩，力偶对O之矩为：M大小：M=Fh力偶的表示：（1）大小：M=Fh（2）方位垂直于力偶所在平面（3）指向符合右手螺旋法则3.力偶的性质：（1）力偶没有合力。（2）力偶对空间任意点的矩都等于其本身的力偶矩矢。力偶矩矢是自由矢量平面力偶+_力偶的等效条件（2）力偶矩矢大小、转向F’FM5105=10（1）

任意搬动(水平、垂直)七、约束与约束力主动力：荷载自由体非自由体P自由体与非自由体约束：阻碍物体运动的限制物体约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力如：重力、水压力、风力确定约束力指向的原则：约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运动趋势方向相反。主动力和被动力P1、柔索约束

FT方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体FT1FT2P作用点：接触点方向已知，大小未知，只有一个未知量2、光滑接触面约束方向：接触面的公法线并指向被约束物体作用点：接触点方向已知，大小未知，只有一个未知量3、铰链约束Fa表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定

销钉OABFOyFOxOA约束力的大小和方向都随主动力而改变

大小、方向都未知，两个未知量

4、固定铰链支座A表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定

约束力的大小和方向都随主动力而改变

大小、方向都未知，两个未知量

AFAyFAxA5、辊轴约束AA`A方向：垂直于支承面，指向可假定作用点：通过销钉中心方向已知，大小未知，只有一个未知量6、链杆约束FBFA方向：沿着链杆中心线，指向可以假定

二力杆链杆：两端各以铰链与不同物体分别连接而且自重不计的直杆。作用点：铰链处方向已知，大小未知，只有一个未知量二力构件FABFAFB7、平面固定端约束沿x、y坐标轴的两个分力、和一个约束反力偶。ABBA未知量个数：3A8、球铰三个相互正交的分力来表示未知量个数：39、轴承（1）普通轴承AA（2）止推轴承A八、

受力分析、受力图1.取研究对象２．照画主动力３．按约束性质画约束力；４．满足公理条件，按公理及推论简化力。受力分析：分析物体所受的所有主动力和约束力分离体：将物体系统中某个物体解除所受约束从系统中分离出来。受力分析步骤：受力图：画出受力分析对象上所有的主动力和约束力称为该物体的受力图例：作水管支架受力图［整体］［AC杆］EPBCDA［水管］FCBFAxFAyPFNDFAFBC三力汇交FAE例：画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图FT1FT2PABCD1、研究滑轮2、研究CD杆ABC3、研究AB杆4、研究整体PABCDFT1FT2PFT2CBA研究整体时，不画物体间的内力例：支架由杆AB，CD，AO组成，AB杆内光滑槽作用E点销钉，作各杆受力图。［CD］［AO］［AB］FFEFCxFCyFOxFOyFBxFByFAxFAy｀FOCEBAD例

A、B处是固定支座，C处为铰链，ABC处是三铰拱结构，作各杆受力图。BCAFC[CA]AFFAyFAxBCFCBFBC[CB]第二章力系的等效简化刚体静力学研究的问题：1、力系的等效简化；2、力系的平衡条件。一、力系的分类4、任意力系：作用在物体上的各力既不平行也不汇交于一点。1、汇交力系：作用在物体上的各力的作用线汇交于一点。3、力偶系：作用在物体上的一群力偶。汇交力系、平行力系、力偶系、任意力系2、平行力系：作用在物体上各力的作用线相互平行。根据力的分布：根据力的空间位置：空间力系、平面力系力系：作用在物体上的一群力。二、

力的平移定理

力的平移定理rABMA作用于刚体上的力，可以等效地平移到同一刚体上任一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩等于原来的力对此指定点的矩。

AMAC三、力系的简化1.汇交力系的简化平面汇交力系实例空间汇交力系实例方法：几何法和解析法（1）几何法(力多边形开口)xy`（2）解析法合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上的代数和。两边向坐标轴投影：F12F13特例：平面汇交力系例:

汇交力系的作用点在边长为

2m

的正六面体相应的顶点O上，三力的大小分别为，试求合力的大小与方向。解：合力：xyzOF1F2F3A2A3A1FO合力的方向为：合力大小：2.力偶系的简化简化方法同汇交力系几何法：解析法：特例：平面力偶系例：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80N·m。试求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。合力偶矩矢的大小合力偶矩矢的方向余弦角：解：M1M2M3M4,5F2A2A1F1FnAnO′F1′M1F2′M2MO′Fn′MnO′FR′主矢主矩O'：简化中心主矢：主矩：3.任意力系的简化FRx=

Fix，FRy=

Fiy，FRz=

Fiz合力矩投影定理合力投影定理主矢：主矩：任意力系向简化中心O′简化作用在简化中心O′点的一个合力

相对简化中心O′点的一个合力矩

汇交力系力偶系简化结果讨论:与简化中心无关oMOoo’hFRFRoo’hFR

2.合力合力合力偶平移距离：平移方向：的方向1.主矢而主矩

3.（1）M0FR右手力螺旋左手力螺旋（2）力螺旋方向一致∥与方向相反与(3)力螺旋o

MOo

MO2MO1o

o’hMO1MO1oo’hoo’hMO1例：曲杆OABCD的OB段与y轴重合，BC段与x轴平行，已知:F1=F2=50N，F3=100N，F4=100N，L1=100mm，L2=75mm。试求力系简化的最终结果，并确定其位置。解：主矢：方向：简化中心：B点大小：主矩：不垂直于向及其垂线方向分解：最后结果：与组成的力螺旋。中心轴位置:主矢：判别:右螺旋中心轴FRMB∥4、平面任意力系的简化主矢：OFnMnF1M1MOFRF2A2F1A1AnFn==简化中心附加力偶主矢，主矩F2M2主矩：MO=

Mi=

MO（F

i）1、FR与简化中心O无关，MO与简化中心O有关2、合力=主矢+主矩简化结果讨论：1、FR=0，MO≠0，一个力偶平面力偶系。与简化中心无关2、FR

≠0，MO=0；一个力3、FR

≠0，MO≠0进一步简化为作用于另一点的一个力平面任意力系不存在力螺旋例：图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三角形边长，若以A为简化中心，试求简化的最后结果，并在图中画出。解：力系向A点简化主矢：

主矩：合力大小和方向：

合力作用点D至A点距离：5、平行力系的简化主矩：原力系可简化为一个合力，合力为：合力的作用点称为平行力系的中心。主矢：确定合力作用点为C由合力矩定理可知：公式适用于任何主矢不等于零的平行力系平行力系实例一：重力Pi(xi,yi,zi)P

(xc,yc,zc)ycxcyxzyixixc=

Pixi/P,yc=

Piyi/P,zc=

Pizi/P,矢量式：目的：确定重心匀质物块：P=

V,(比重

×体积V)xc=

Vixi/Vyc=

Vi

yi/Vzc=

Vizi/V匀质板壳：P=At,(比重

×面积A

×t厚度)xc=

Aixi/Ayc=

Aiyi/Azc=

Ai

zi/A匀质细杆：P=

LA,(比重

×长度L×截面积A)xc=

Lixi/Lyc=

Liyi/Lzc=

Lizi/LLAV例：图示槽钢横截面，试求：此截面重心的位置。A1=30•10=300cm2,x1=15cm；解：取对称轴故yc=0，再分割成有规律的几个物体A2=20•10=200cm2,x2=5cm；A3=30•10=300cm2,x3=15cm；分割法：将物体分割成规则的几个形体例：图示为机械振动打桩机偏心块，巳知：R=10cm,

r=1.7cm,b=1.3cm，试求：此重心的位置。解：取对称轴故xc=0，再分割成A1,A2,A3三个物体A3A1A2yx负面积法例：图示为任意板块物体，试用试验法板块求重心的位置。解：1.先在物体A点悬挂作垂直线；悬挂法`PA`PCB2.再在物体B点悬挂作垂直线；3.二根垂直线交点C是重心的位置。平行力系实例二：平行分布载荷平行分布载荷：平行分布的表面力或体积力，通常是连续分布的同向平行力系，在工程中极为常见。某些平行分布的载荷可以简化为沿直线分布的平行力，称为线载荷。荷载集度q：单位长度上所受的力。合力：作用点：结论：线分布载荷的合力的大小等于载荷图的面积，合力作用线通过载荷图的形心。矩形均布载荷：三角形分布载荷：例：如图所示，求作用于悬臂梁AB的分布载荷对A点的矩。解：一、空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充分和必要条件：力系的主矢和对于任一点O简化的主矩均等于零。空间任意力系有六个独立平衡方程，可解6个未知量。第三章力系的平衡xyzABCD例：有一匀质矩形等厚的板，重力P=200N，角A为球铰，另一端B用铰链（沿轴y向无约束力）与墙壁相连，再用一索EC使板维持于水平位置。若θ=j=30º，试求索内的拉力及A、B两处的约束力。解:设AD＝CB=b，AB＝CD=l，则

得:

F=P=200N由:得:FAy=（3/4）F=150N

FBz=P/2-F/2=0

xyzABCDEFAz=P-F/2=100N

FBx=0xyzABCDxyzABCDE87

以上是空间任意力系平衡方程的基本形式，而非唯一形式。1）可以选取空间任意直线为投影轴，可选取任意轴为矩轴（可对任意轴取矩），这些轴不一定是坐标轴，这些轴也不一定相互正交；2）力的投影轴与矩轴不一定重合；3）可以用力矩形式的平衡方程来代替投影形式的平衡方程，即可建立4～6个力矩形式的平衡方程，而减少投影形式的平衡方程个数，但独立的平衡方程个数最多为6个。

求解空间任意力系平衡问题最关键的是建立合适形式的平衡方程，尽可能避免求解联立方程组。例：重力为P的匀质正方形平台，由六根不计自重的直杆支撑，在水平力F的作用下保持静止。斜杆与水平面的夹角均为j=45°，试求各杆的力。设板边长为l

。

解:PF2F4F5F1（压）

（压）

F3FFC’PABCDA’B’D’F6空间汇交力系平衡方程合力偶矩恒为零，即二、特例1：空间汇交力系的平衡方程PABCDxyz例：结构如图所示，杆重不计，已知力P，试求两杆的内力和绳BD的拉力。解：研究铰链BPABCDxyzDCEBAOyzxbbbb2b例：重力P=1kN（b=20），A是球铰支座、A、B、C点是固定在同一墙上，试求：杆AD、绳DB，DC的约束力。解：这是空间汇交力系，取点D为汇交点。BE=CE,DB=DC,则：FDB=FDCFDB=FDC=289NFDCFDAFDBP空间平行力系平衡方程若各力平行轴z，则三、特例2：空间平行力系的平衡方程P1lbbP2CBAh1h2例：三轮平板车放光滑地面上，已知：自重为P1=8kN，货重为P2=10kN,

l=200mm，b=60mm,h1=80mm,h2=20mm。试求各轮约束力的值。解：这是空间平行力系。

Fiz=0

xyz(l–h1)P1–lFA

=0；FA

+FB+FC–P1–P2=0；

Miy

=0bP1+(b–h2)P2–bFA–2bFB

=0FB=4.93kNFC=8.27kN

Mix

=0FCFBFAFA=4.8kN，四、特例3：空间力偶系的平衡方程

空间力偶力系平衡方程合力恒为零，即平面任意力系也是空间力系的特例

设平面为Oxy平面，则各力在轴z上的投影及对轴x,y的力矩都恒等于零，即

平面任意力系平衡方程

平面任意力系平衡方程的基本形式的三个独立的平衡方程，可求解三个未知量。五、平面任意力系的平衡及其特例多力矩形式二力矩式：三力矩式：A,B连线不垂直轴x。A,B,C

三点不能共线。例：图示为叉车的钢叉简图，已知：货物均重为

q=1500N/m，

h1=0.55m，h2=0.2m，l1=0.04m，l2=1.4m。试求约束A，B处的约束力。

Fix=0,FAx+FB=0

Fiy=0,FAy–FQ=0FQ=ql2=2.1kNFQFB=2.8kN,FAx=–2.8kN。

MAi=0,

FB·h1–(l1+l2/2)FQ=0

FAy=FQ=2.1kN，

MBi=0，–FAx

·h1+(l1+l2/2)FQ=0

FAx=–2.8kN如校核方程：MCi=0，应满足。如：二力矩:h2h1ql2l1ABFAxFAyFBCF1F3FF2AC例：图示雨蓬结构，因雨蓬对称结构可简化为平面结构，自重不计，已知有力F作用，l=1m。试求三根支撑杆的约束力。解：D如校核方程：

Fix=0，应满足。ll4lFlCBA1.特例1：平面汇交力系，

当平面中的各力的作用线均汇交于一点或利用三力平衡汇交原理得到一交点，设该点为点O，显然，各力对汇交点的矩恒为零，即独立平衡方程个数减少到两个，为

例：圆柱物为确定圆心位置，置于光滑的燕尾槽内，已知：P=500N,j=60°,q=45°。试求：A、B点约束力。解:xy4502.特例2：平面平行力系，

当平面内的各力相互平行，设均平行于轴y，则各力在轴x上的投影恒等于零，即

独立的平衡方程式个数减到两个，为

3.特例3：平面力偶系，

平面力系的主矢为零，即独立的平衡方程只有一个，即

A[AD]M2D例：图示杆BC上固定销子可在杆AD的光滑直槽中滑动，已知：L=0.2m，M1=200N·m，j=30°，试求平衡时M2。FC’FB[BC]M1BCM1jBADLCM2FAFC

对每一种力系而言,若未知量的数目等于独立平衡方程的数目。则应用刚体静力学的理论,就可以求得全部未知量,这样的问题称为静定问题.（理论力学）若未知量的数目超过独立平衡方程的数目.则单独应用刚体静力学的理论,就不能求出全部未知量,这样的问题称为静不定问题（超静定问题）。（材料力学、结构力学）六、物体系统的平衡：静定与超静定的概念静定：未知量个数等于独立的平衡方程数；未知量的数目=独立平衡方程的数目静不定(超静定)：未知量个数大于独立的平衡方程数。未知量的数目>独立平衡方程的数目超静定次数：未知量个数与独立的平衡方程数之差。FB超:1次2次3次FFBxFByFAxFAyMAFBxMBFBy具有n个物体组成的平面静定物体系统：最多3n个独立平衡方程，求解3n个未知量。超静定问题：材料力学原理建立补充方程求解。ABFBFFBxFByFAxFAyMAFBxMBFBy107判断各图的超静定次数ABC思考：确定图示系统的静定性。力系名称平面任意力系平面汇交力系平面平行力系平面力偶系独立方程数3221各种力系作用下的独立方程数对于n

个物体组成的物体（刚体）系统，在平面任意力系作用下，最多可以列出3n个独立平衡方程，求解3n

个未知量。力系名称空间任意力系空间汇交力系空间平行力系空间力偶系独立方程数6333110刚体系统平衡问题的解法通常有2种：一般解法：编程，运用计算机求解线性代数方程组。分析解法：通过力学分析，先后选取恰当的研究对象（整个系统、系统中某个刚体或系统的某个局部（系统内几个相互连接的刚体），分别列出其平衡方程，尽可能达到一个方程求解一个未知量的要求，避免求解联立方程组。未知量：N=3n方程数n物体数几个原则：1）尽量选取整体为研究对象。2）从受力情形最简单的某一刚体或分系统入手。尽可能满足一个平衡方程求解一个未知力。3）分清内力和外力、施力体与受力体、作用力与反作用力。4）注意引用二力平衡条件和三力平衡汇交原理。

物体系统的平衡：例

组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解之得：aaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAyF1F2F3Cxy45°再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123例：图示三铰拱结构，已知：单边拱重力为P，l=6m。试求：A,B处的约束力。解：[整体]

MA=0,–Pl/3–P·5l/3+FBy·2l=0FBy=P

Fiy=0,FAy+FBy-2P=0

FAy=P

Fix=0,FAx–FBx=0

MC=0,FAx·l–FAy·l+P·2l/3=0FAx=P/3FBx=P/3[左AC]lllPPACBl/3l/3FAxFAyFByFBxC[左]PAFAxFAyFCyFCxABCDqFMEll2l2l2l例：多跨桥梁简图如图示，巳知：F=500N,q=250N/m,

M=500N·m，l=1m。试求：A,B,E处的支座约束力。

MC=0,FE·4l–M–Fq1·l=0FBFEFqFAxFAy[整体]

Fix=0,FAx=0

Fiy=0,FAy+FB+FE–F–Fq=0

MA=0,–F·l+FB·2l–Fq·4l–M+FE·8l=0FE=250N[CE]Fq=4·qFq1=2·qFB=1500NFAy=-250N解:MECFEFq1FCxFCyBDqFQABCDqEFhhh2l2ll例：三根自重不计的杆组成构件如图示，巳知：F=600N,

q=300N/m，l=2m，h=3m。试求B处约束力。解：[整体]FBxFByFQFDyFDxFC

MA=0,-2hF+5lFC-FQ(7h/3)=0[AC]

MA=0,-2lFBy’+5lFC=0[DB]

MD=0,-(4h/3)FQ-hFBx=0FC=990NFBy=2475NFBx=-1200N取与B有关的物体分析FQ=300·2h/2=900NFAyFAxABCFCFBy,FBx’FAy1FAx1hlFMACBDlll例16：组合托架组成构件如图示，三根链杆自重不计，巳知：F=1kN,M=600N·m，h=3m

，l=2m。

试求：A

处约束力。得：F3=–500NFByFBxF3F1解：[BD][C]

得：F1=–400N得：

MA=3.4kN·m得：

FAx=–400N321[整体]

MA=0,MA–2lF–M–hF1=0

Fix=0,FAx–F

1=0

Fiy=0,FAy–F=0得：FAy=1000NMAFAyFAxF3CF2F1FMBD第4章静力学应用问题一、平面桁架PF桁架实例屋架桁架桥梁桁架桁架：由杆件构成的几何形状不变的结构高度：452米材料：钢筋混凝土旧金山国际机场吉隆坡双塔大厦桁架的特点：自重轻

跨度大（一）基本概念PF1、都是直杆。2、两端用光滑铰链连接。3、载荷位于桁架平面内，集中作用在节点。理想桁架：基本假设直杆轴线位于同一平面。平面桁架4、自重不计。ABCEDF桁架的特点：

桁架中的每个节点均受到汇交力系作用[A]FABFADF[E]FEBFECFEFED桁架中的每个杆件均为二力杆（二）节点法:[D]FDAFDBFDE[A]FABFADFABCED4m3333F[D]解：例：平面桁架如图示。已知：F=2kN。求：各杆的内力与支座约束反力。取节点为研究对象yx节点法不超过二个未知力[A](平面汇交力系)，逐个取节点求解。[B]10FCBFCxFCyFCE[C][E]FEBFECFEFEDABCED4m3333F[C]取[A]

[C]

逐点求解所有内力与约束力，再整体方程校核。[E]FBAFBCFBEFBD[B]（三）截面法：

MB=

0ABCED4m3333F11例：求：前例中杆DE

的内力FDE

。FDE=–3kNABDFDEFFABFDB解：假象地用一个截面将桁架一切为二，取其中一部分为研究对象。一般为平面任意力系6F+FDE·

4=0截面法取不超过三个未知力的研究对象也可取右半部分：BCEFDBFABFDEFCxFCyFE讨论：支座反力!22支座反力先求整体平衡也可以换个截面：受力图?ABCEDFFCxFCyFE=杆件受力

桁架内力计算：节点法：取节点为研究对象（受平面汇交力系作用）截面法：取部份桁架为研究对象（受平面任意力系作用）=杆件内力节点上未知受力节点选取顺序：拉力假设（背离节点）（平面汇交力系只有两个独立平衡方程）两杆节点起（平面任意力系只有三个独立平衡方程）截面法：用于求桁架部份杆件内力

当研究对象上有三个以上未知量时，，补充了节点法的局限性。

其方法是：其方法是：先由其它途径求出部分未知量，

使该研究对象上未知量不再多于三个。例：计算图示桁架各杆的内力。先求反力节点法举例

A处为固定铰支座。桁架对称，可只求一半。为了表示方便，我们给杆编号。但桁架上其它受力的作用线均为垂直方向，故FA也为垂直方向。（平面平行力系的平衡特性）（结构对称、荷载与反力也对称）

（再依次取节点）结构组成可视为先有中间三角形，再分别向左右扩展。

节点的选取顺序：与组成顺序相反。

（从铰B开始）

2、零杆的判别F1=0F2=0F2F1F11、利用对称性(上例)（a）无载二根非共线杆（b）无载三根杆二根共线杆（c）有载二根非共线杆求内力时，可利用下列情况简化计算。结构对称，载荷也对称，则内力必对称；F3=0F2=0结构对称，载荷反对称，则内力反对称。F例：平面桁架如图。已知F，求杆1的内力。aaA`DFECB1Faa解：FDB为零杆取m-m截面左侧；mmCF1FDBFFEFABFAyFAx0FAyFAxFCmm［整体］截面法举例

支座反力计算：整体关键：截面如何截（研究对象怎么取）其中：F

为主动力，

FF为反力(先求)，

例：图示一桁架，已知ABCDEF为正八角形的一半。求：1，2，3杆的内力。分析组成

（三角形BCF与ADE

+

杆1、2、3）FFFAxFAy

FFABCDEF节点法无法求内力，截面法则非常方便。123平面任意力系平衡方程，不难求出F1、F2、F3。B讨论（四）联合应用节点法和截面法求解。解：

1.

用截面m-m将杆HK、HJ、

GI、FI截断。列平衡方程解得mm

取右半桁架为研究对象，受力分析如图。例：悬臂式桁架如图所示。a

=2m，b

=1.5m，试求杆件GH、HJ、HK的内力。FHKFGIFHJFFIIABCDFGHFEaaaabbFABCDEFGHIJKL

列平衡方程解得nn取右半桁架为研究对象。FHKFHJFEHFGH[

取节点H]列平衡方程2.用截面n-n。aaaabbFABCDEFGHIJKLFFEHFDFFEGFCFABCDEFnnH摩擦在工程中的应用二、

摩擦滑动摩擦PW滚动摩擦（一）滑动摩擦现象：WPFFN1、静滑动摩擦力大小（二）滑动摩擦力最大静滑动摩擦力

动滑动摩擦力摩擦系数

摩擦分类：滑动摩擦力：F=P范围：0

F

Fmax（干摩檫，湿摩擦）运动趋势WF：方向：滑动

滑动趋势约束力光滑运动或运动趋势小实验:：方向与运动趋势相反P2、静滑动摩擦定律静摩擦定律(库仑定律)静滑动摩擦系数3、动滑动摩擦定律FFmaxFdP450：由实验测定动滑动摩擦系数最大静滑动摩擦力动滑动摩擦力方向与运动相反大小1、摩擦角WFFR

（三）摩擦角和自锁现象称为摩擦角

摩擦角jm的正切值等于静摩擦系数

PFN全约束反力PF

m大小

方向

（不滑动的条件）自锁条件2、qFR

mqFR

m摩擦锥主动力的合力位于摩擦锥之内，则无论这个力有多大，物体总处于平衡。

q二力平衡物体平衡自锁自锁条件的应用：计算，令

或。斜面摩擦自锁的应用q

mn问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数fS

至少为多大?(不计梯子自重，人重为W)ABBAn解：几何法

m（四）考虑摩擦时物体的平衡问题

1、几何法：2、解析法：平衡方程

+

补充方程例：重W的物块放在倾角为a

（a

>jm）的斜面上，另加一水平力F使物块保持平衡。已知摩擦因数fs，求力F的最小值和最大值。WFa1、求最小值WFminaFNFmx解析法解：利用摩擦角的概念y临界a平衡解得：2、求最大值WFmaxaFmFN解得：xy平衡范围?需判定!不加水平力自锁讨论：不等式求?时

a

范围?a几何法最小值WFminFR最大值WFmaxFRWFmin临界平衡WFmaxFRFR例：人重为P，不计重量的梯子放在粗糙的地面、墙面上，梯长L。求：平衡时xmin。解：xmin

Fix=0,FBN–FAm=0

Fiy=0,FAN+FBm–P=0

MiB=0,FAm

Lsina+Pxmin–FANLcosa=0FBm=fBFBNFAm=fA

FAN讨论：1.f=fA=fB2.xmin与P无关。PABaFAmFANFBmFBN临界平衡补充方程例：支架套在固定圆柱上，h

=

20

cm。支架和圆柱间的摩擦因数fs=0.25。问

x

至少多远才能使支架不致下滑（支架自重不计）。hdBAFx[支架]解:补充方程[解析法]联立求解讨论：x与F无关。FNBFNAABCFxxyhOFAFB运动趋势[支架]由几何关系得解得FABCx[几何法]hdBAFxDFRBFRAjmh1h2jm受力分析临界平衡三力汇交即OABCabcRO1rF1GO1CFfFNFFO1xFO1y[鼓轮]解:解方程得整理解方程得即

[杠杆]AOF1FOxFOyB例：

制动器如图所示。制动块与鼓轮表面间的摩擦因数为fs，试求制动鼓轮转动所必需的力F1。又得θⅠⅡⅢⅣ取楔块为研究对象，受力分析如图。解：列平衡方程补充方程yθOxF1F2FN1FN2例：

坑道施工中的联结结构装置如图。它包括顶梁I，楔块II，用于调节高度的螺旋III及底座IV。螺旋杆给楔块以向上的推力FN1。已知楔块与上下支柱间的静摩擦因数均为fs。求楔块不致滑出所需顶角的大小。

得（1）（2）代入（1）代入（2）θOxF1FN1F2FN2所以楔块不致滑出的条件为：θⅠⅡⅢⅣ则：代入（3）式（3）即：几何法?FR2FR1

mq=

2

m

m例：矩形柜如图，柜重G，重心C在其几何中心，柜与地面间的静摩擦因数是fs，施加水平向右的力F。求平衡时地面的约束反力，并求能使柜翻倒或滑动所需推力F的最小值。hCabFGABFBFNBFAFNAxy1.假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。解:取矩形柜为研究对象,受力分析如图。补充方程列平衡方程（五）有摩擦力存在时的翻倒问题

联立求解得:柜子开始滑动所需的最小推力2.假设矩形柜不滑动但将绕

B

翻倒。柜不绕

B

翻倒条件：

FNA≥0使柜运动的最小推力为列平衡方程ABCxFGFBFAFNBFNA解得≤柜子开始滑动所需的最小推力运动趋势（六）滚动摩阻II前轮匀速行驶?滑动条件：FNFmMf滚动摩擦力偶:

PrFrFPFNFm

滚动条件：先滚后滑d滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反大小Fr

Mfmax=FNF

Fmax=f

FN约束力d：滚动摩阻系数（mm）考虑变形力线平移滚动摩阻例：一手拉小车，已知：D=80cm，

=0.15cm，W=1kN，求：拉动时F值。解：MfWFAFNFm临界平衡[整体]则aCxybθHhFθWAF1FN1M1f

,maxF2FN2M2f

,max解：[拖车]FN1FxFyF1M1f,maxyx[前轮]同样由后轮得临界平衡解方程可得例：如图所示，总重为W的拖车在牵引力F作用下要爬上倾角为q的斜坡。设车轮半径为r，轮胎与路面的滚动摩阻系数为d，其它尺寸如图所示。求拖车所需的牵引力。AO受力分析运动学所涉及的研究内容包括：（1）建立物体的运动方程（2）分析物体运动的速度、加速度、角速度、角加速度等（3）研究物体运动的分解与合成规律第3篇刚体运动学运动学的对象包括：（1）质点（2）刚体第6章点的运动学

运动方程、速度和加速度的表示方法MrAB01、矢量法运动方程：速度：加速度：动点速度在瞬时t的变化率动点轨迹在瞬时t的变化率2、直角坐标法x=x(t)Mrzyx0kijz=z(t)

y=y(t)

运动方程自然轴系

弧坐标2）在轨迹上任选一参考点作为坐标原点；3）一般以点的运动方向作为正向。1）已知点的运动轨迹；3、自然法由密切面得到的几点结论：

空间曲线上的任意点无穷小邻域内的一段弧长，可以看作是位于密切面内的平面曲线。

曲线在密切面内的弯曲程度，称为曲线的曲率，用1/表示。

当P´点无限接近于

P点时，过这两点的切线所组成的平面，称为P点的密切面。

密切面P－空间曲线上的动点；

自然轴系

法面通过P点与切线垂直的平面(主法线)

法线——通过P点在法面内的直线（无数条）

副法线——法面内与主法线垂直的法线

主法线——法面内与密切面的交线（一条）nb——构成了自然坐标系的单位矢量s+s-(切线)P(副法线)nbs-s+P(切线)(主法线)(副法线)nb自然轴系的特点:

跟随动点在轨迹上作空间曲线运动。－正向指向弧坐标正向；－正向指向曲线内凹的一

边，曲率中心在主法线

上；－正向由

确定。

点的速度和加速度在自然轴上的投影

速度

加速度其中

加速度其中当很小时，所以

在密切面内，且垂直于，

即主法线方向。q

为全加速度与法线方向之间的夹角例1：车床在车削园柱时的匀转速为

，螺距为h，求：车刀端部P的速度v,加速度a。解：hx=Rcos=Rcosty=Rsin=Rsintvx=–R

sintvy=R

costax=–R

2

costay=–R

2

sintxyzP

yRxP例2：汽车以匀速度v=10m/s过拱桥，桥面曲线y=4fx(L–x)/L2,

f=1m，求：车到桥最高点时的加速度。

解：xL=32mfyan

a=an，向心加速度会产生离心力，从而减少轮子的正压力与摩檫力，因此驾驶员，特别要注意安全。例3：半径为R的车轮在地面上纯滚动，轮心速度的大小为u（常量）。求车轮与地面接触点的加速度。解：建立M点的运动方程当令：两边求导：例4：销钉B可沿半径等于R的固定圆弧滑道DE和摆杆的直槽中滑动，OA=R=0.1m。已知摆杆的转角

（时间以s计，φ以rad计），试求销钉在t1=1/4s和t2=1s时的加速度。ROωφREDBCsO'Aθ-s+s

已知销钉B的轨迹是圆弧DE，中心在A点，半径是R。选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B点在任一瞬时的弧坐标

由几何关系知:，且，将其代入上式，得这就是B点的自然形式的运动方程。解：ROωφREDBCsO'Aθ-s+sROωφREDBCsO'Aθ-s+sB点的速度:vtB点的加速度a

在切向的投影：在法向的投影：atan方向沿圆弧切线当

时，,

，B点的加速度大小:且a1沿切线的负向。

当t1=1s

时,又

可见，这时点B的加速度大小且a2沿半径B2A。a2=a1nADB1B2Rθ1Ea1=a1t用建立运动方程的方法求解点的运动学问题的解题步骤：1、分析点的运动轨迹，建立适当的坐标系；2、根据已知的运动学条件和约束的几何关系，将动点在任意时刻的坐标表示为时间的函数；3、应用所选择的坐标类型的相应公式，计算动点的速度和加速度。第六章刚体的基本运动

平移实例刚体的基本运动包括：平行移动和定轴转动平移定义:

在刚体运动过程中，刚体上任一直线始终与初始位置保持平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称为移动或平动、平移。一般地，刚体可沿任意曲线作平移。刚体作平移并不意味着刚体只能在平面内移动。AB刚体的平移ABA’B’A”B”A’B’rArB0

平移的特点

刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹；

刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度；

定轴转动实例定轴转动定义：刚体运动时，体内或其扩展部分，有一条直线始终保持不动，这种刚体运动称为定轴转动。固定的直线就是转轴。——转动方程——瞬时角速度——瞬时角加速度yzx

刚体的定轴转动xyMRwsv=R

任意点M的速度、加速度S=R刚体作定轴转动，刚体上任意一点作以该点到转轴的距离为半径的圆周运动工程中转速n：一分钟转过的圈数（rad）（rad/s）（rad/s2）an

a

va

a

v速度分布加速度分布速度与加速度均是沿半径的线性分布已知：求：当t＝2s时M点的速度、加速度。例1ABMll解:

因AB杆作平动，所以M点的运动与A点相同。A点运动方程：用自然法表示速度方向如图所示例2

试用矢量式表示定轴转动刚体上各点的速度、加速度。xzy

rM`M

R方向垂直于和

组成的平面例3

轮系传动1、皮带轮传动v2r2n2n1r1v1=v=v2vv1=r1

1;

v2=

r2

2;v12、齿轮传动r2r1r1

1=–r2

2;上二式相乘，并有：

2=3

z2

1

2

3

4z1z3z43、齿轮箱传动例4提升齿轮机械如图示，巳知：马达带动的齿轮1转速为：700转/分，同模数的齿数z1=42,z2=132,z3=25,z4=128,鼓轮半径:r=1m,试求小车上升速度。v=

4r=3.94m/s解:角速度:

4/

1

=0.05

4vz1z2z3z4

1r已知：＝常数，齿轮半径均为r，且试求：轮Ⅰ与轮Ⅱ，轮缘上任一点的加速度的大小。例5AB平动故轮Ⅰ平动速度：

轮Ⅰ：

轮Ⅱ：加速度：轮Ⅰ：轮Ⅱ：

轮Ⅱ：定轴转动解：方向平行于O1A以矢积表示转动刚体上一点的速度与加速度角速度、角加速度的矢量表示

以矢积表示转动刚体上一点的速度得:

以矢积表示转动刚体上一点的加速度速度:加速度:式中:得:例6在定轴转动刚体上，任意取两点A与B，连成一线，用矢量

表示，试证明：。OAB证：

与

此结果表示：

当转动刚体上的一个大小不变的矢量，只要其方向发生变化，其对时间的变化率等于刚体的角速度与本矢量的叉积。推论：若在转动刚体上，固结一组坐标系，其相应的单位矢量为，，，该坐标系随同刚体以角速度绕某轴转动，则必定有：泊松公式

第七章刚体的平面运动一、平面运动的基本概念平面运动——刚体运动时，其上各点到某固定平面的距离始终保持不变。实例研究刚体平面运动的任务：（1）确定刚体在任一瞬时的位置；（2）刚体上各点在任一瞬时的速度和加速度。

1、平面图形S始终在平面内2、作垂线A1A2，且始终作平动

结论：

刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动。

确定直线AB的运动，A为基点。二、平面运动的抽象三、平面刚体的运动描述四、平面运动的分解讨论：1.2.定轴转动。平动。yxSBAx’y’j–j1=qw,a与基点无关。v与基点有关。BOSyxAjB1j1A1q结论1：平面图形S的运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。结论2：平动与基点的选择有关

转动与基点的选择无关ABvAw五、平面图形内各点的速度1、基点法大小：方向垂直于AB的连线x′y′rArBrABO(静点)将上式向AB轴投影，得速度投影定理——平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影彼此相等。图示四连杆机构中，，曲柄以角速度

＝3rad/s绕O轴转动。试求在图示位置时杆AB和杆O1B的角速度。例1解：（1）基点法以A为基点，求B点的速度B将上式投影到轴x和轴y（2）速度投影法用投影法不能求出例2BC＝l解：（1）求AB的角速度以C为基点，（2）求D点的速度以C为基点六、平面图形的瞬时速度中心

瞬时速度中心——平面图形上瞬时速度为零的点。由可知，欲使则需速度矢量大小相等方向相反若以瞬心P为基点，则平面图形上A点的速度为：P点为速度瞬心第一种情形

已知平面图形上两点的速度矢量的方位，这两点的速度矢量方位互不平行。AB速度瞬心的特点

1、瞬时性——不同的瞬时，有不同的速度瞬心；

2、唯一性——某一瞬时只有一个速度瞬心；

3、瞬时转动特性——平面图形在某一瞬时的运动可以视为绕瞬心作瞬时转动。确定瞬心的几种典型情况：90o90oP第二种情形已知平面图形上两点的速度矢量的大小与方向，而且二矢量互相平行，并且都垂直于两点的连线。两速度指向相同，但大小不等。

两速度指向相反。S90o90oABPABSP90o90o第四种情形已知某瞬时两点速度相互平行但不垂直于两点的连线。瞬时平动——平面图形在该瞬时的角速度。第三种情形

平面图形沿固定曲线作无滑动的滚动。PABS90o90o已知：AB＝60cm，BG＝GD＝50cm，OE＝10cm，

OE＝10rad/s。试求：图示位置时。例3解：瞬心法：P1为EG杆的瞬心P2为GB杆的瞬心P1P2wEGwBGwABD

在瓦特行星传动机构中，平衡杆O1A绕O1轴转动，并借连杆AB带动曲柄OB；而曲柄OB活动的装置在O轴上，如图所示。在O轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ的轴安装在连杆AB的另一端。已知：r1＝r2＝30cm，O1A＝75cm，AB＝150cm；又平衡杆的角速度

o1＝6rad/s。试求当

＝60

和

＝90

时，曲柄OB和齿轮Ⅰ的角速度。例4解：由题意分析得轮Ⅱ与固连的连杆AB一起作平面运动，由A、B两点速度方向可找出其速度瞬心P，如图PPDD为Ⅰ、Ⅱ轮啮合点又

机构如图示，杆OA绕O作匀角速度转动，巳知:DC=6r，

OA=ED=r,试求:滑杆F的速度和杆ED的角速度。解:vAvCvBwED“CD”:vCcos600=vDcos300vDCvCvDxBC作平动:

vF=vB=vC杆AB作瞬时平动:

vA=vB;以C为基点x:vDcos600=vDC–vCcos300wDCOACBDE300wF例5

已知平面图形上一点A的加速度、图形的角速度

与角加速度α

，确定平面图形上任意点B的加速度七、平面图形内各点的加速度两边求导：——加速度合成定理平面图形内任一点的加速度，等于随基点平动的加速度（牵连加速度）与绕基点转动的法向、切向加速度（相对加速度）的矢量和。将

向AB的连线投影：当则有

车轮沿直线作纯滚动，已知轮的半径为R，轮心的速度和加速度分别为

。试求：图示瞬时车轮上速度瞬心P的加速度例1解：

以轮心点O为基点分析点P的加速度，如图所示。由于点P为速度瞬心，则轮的加速度为由加速度合成定理所以结论：速度为零的点——瞬心，加速度不为零。大小？√√√方向？√√√

图示机构中，OA＝12cm，AB＝30cm，AB杆的B端以＝2m/s，aB＝1m/s2向左沿固定平面运动。求图示瞬时，AB杆的角速度和角加速度，以及点A的加速度。

例2解：AB杆作平面运动，由A、B两点的速度方向可知AB杆作瞬时平移，如图所示。则有大小