江西省吉安市五所县二中2024-2025学年高一上学期联考数学试卷（含答案）

答案第=page11页，共=sectionpages22页江西省吉安市五所县二中2024级高一上学期联考数学试卷考试内容：第一章：预备知识(集合、常用逻辑用语、不等式)第二章：函数与性质第三章：指数运算与指数函数第四章：对数运算与对数函数考试时间:120分钟试卷满分:150分(2024年12月)一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)1．若幂函数的图象经过点，则（

）A．1 B． C．2 D．42．已知全集，集合，，则下图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．3．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设，，，则（

）A． B． C． D．5．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.已知某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，若治理前的生物丰富度指数为4，则治理后的生物丰富度指数为（

）A． B．3 C． D．7．定义运算：，设函数，若方程有两个不同的解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．设为偶函数，当时，，则（

）．二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.)9．已知函数（且）的部分图象如图所示，则（

）A．B．C．D．函数的零点小于110．若正数，满足，则（

）A． B． C． D．11．已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B．C．是奇函数 D．在上单调递增三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.)12．函数的单调递增区间为.13．已知，，则.14．已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围为.四、解答题(本大题共5小题，分别为13,15,15,17,17，共77分.)15．已知集合，非空集合.(1)若“，使得”是真命题，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.16．已知，，设集合，.（1）若，请用区间表示；（提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调性）（2）若，且，求的取值范围.17．已知定义在上的偶函数；当时，.(1)求的解析式；(2)求方程的解集.18．某工厂的废气处理系统正常运行时，废气中的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系式为，其中表示污染物含量的初始值，表示除污率，其大小可在废气处理系统中设置.(1)正常情况下，若将除污率设置为，污染物含量降低到初始值的一半大约需要多长时间？(2)某天污染物含量的初始值为，废气处理系统先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，若此时测得污染物含量为，试判断当天废气处理系统的运行是否正常.附：，.19．已知函数.(1)若的定义域为，求实数的取值范围.(2)若的定义域为.（i）求在区间上的值域；（ii）若（），试比较与的大小.联考数学详细答案与解析一、单选题1．B因为为幂函数，所以设，，解得，所以，所以.故选：B2．A由题意知，故，，图中阴影部分表示的是中去掉中的元素所剩下的元素，即.故选：A.3．B由，可得或；由可得且，所以由不能推出，但由能推出，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．C由于，指数函数单调递减，因此，即；对数函数单调递增，且，因此，同时，故，即；对数函数单调递增，且，因此，即.综上，.故选.5．D由题意得解得.故选：D.6．C设治理前的生物丰富度指数为，则治理后的生物丰富度指数为.故选：C.7．A将方程变为,令与,则方程解的个数转化为函数与函数图象的交点个数，由题意知，其图象如图所示（实线），若直线与的图象有两个交点，则，即.故选：A8．C当时，，，，即，，为偶函数，故选：C.(另解:令,则,且,于是得,即得,所以当时，,则易得，.)二、多选题9．AD对于选项A，由图可知单调递减，所以，知A正确；对于选项B，由题意得，解得，知B错误；对于选项C，由，，可得，所以，知C错误；对于选项D，由，得，因为，所以，即函数的零点小于1，知D正确.故选：AD.10．BCD由题知正数，则：对于选项A，，得，得，当且仅当时取等号，知A错误；对于选项B，由，得，所以，当且仅当时取等号，知B正确；对于选项C，由题干和选项A知，当且仅当时取等号，知C正确；对于选项D，由得，等式两边同时平方得，即，因为，所以，当且仅当时取等号，知D正确.故选：BCDACD令，，得，即，因为，所以.令，，得，即，所以.令，得，即，所以.所以，知A正确；易得，知B错误；又是奇函数，知C正确；当时，和均单调递增，且均为正，所以在上单调递增，知D正确；故选：ACD.三、填空题12．（填也对）令，因为在上单调递减，的单调递减区间为，所以即为的单调递增区间.故答案为：.13．16由，设，则，所以（负值舍去），则.故答案为：1614．因为函数，对称轴为，所以该函数在上单调递增，在上单调递减，因为，.该函数的最大值为.而在上单调递减，所以.所以，即，故答案为：.四、解答题15．(1)；(2).解：（1）由题意知.因为，所以，得.由“，使得”是真命题，可知.因为时，，所以要使，只需，得，故，即实数的取值范围是.（2）若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集，.故有，且等号不同时成立，解得，即实数的取值范围是.16．(1)；(2).解：（1）当时，不等式：.所以.（2）若，则.不等式,此时，.则有：①若，即时，成立.②若，则.综上，的取值范围是.17．(1)；(2).解:（1）函数为定义在上的偶函数，且当时，，当时，，则，所以的解析式为.（2）当时，，则，即，而，因此，解得，且，由偶函数图象的对称性知，当时方程的解为，所以原方程的解集为.18．(1)；(2)不正常.解:（1）令并代入，得，等式两边同取自然对数得，整理得；又∵，∴，所以污染物含量降低到初始值的一半大约需要.（2）由题知，先将除污率设置为运行，再将除污率设置为运行，正常情况下，此时污染物含量应该为，又∵，∴，所以；因为，故当天废气处理系统的运行不正常.19．(1)；(2)（i）；（ii）.解:（1）若，则，其定义域不是,不合题意；若，要使对任意恒成立，需使,解得.所以的取值