广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷（含答案）

第第页广西南宁市2024-2025学年高二上学期期末教学调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．若一条直线的斜率等于3，则该直线的倾斜角是（）A．π6 B．π4 C．π32．已知an是等比数列，若a1=−2,A．2 B．−2 C．4 D．−43．若直线a+2x−y+1=0和直线ax−y−1=0垂直，则aA．−1 B．1 C．−124．已知双曲线E:x24−y216=1，设M是双曲线E上的一点，A．5 B．7 C．9 D．115．在等差数列an中，Sn为其前n项的和，若S4A．42 B．48 C．60 D．726．在平行六面体ABCD−A'B'C'DA．10 B．12 C．22 D．27．直线y=kx−2+4与曲线y=1+4−A．0,512 B．512,348．已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,A．52 B．355 C．6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分.9．下列命题中，正确的是（）A．如果AB>0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过第三象限.B．若直线l1:x−2y+1=0与l2:2x+ay−2=0平行，则l1C．圆C：(x+1)2+(y−1)2=4D．点Ax,y为圆(x−3)2+10．椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦点分别为F1,F2A．△ABF2的周长为8 B．椭圆CC．BF2的长为125 D．11．如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−AA．当点P在平面BCC1BB．当点P在线段AC上运动时，D1P与AC．使直线AP与平面ABCD所成角为45∘的动点P的轨迹长度为D．若F是A1B1的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离为3，则点M的横坐标x=13．已知数列an的前n项和公式为Sn=−3n2，则14．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P−四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．已知线段PQ的端点P的坐标是4,3，端点Q在圆(x+1)2+y2=4（1）求点M的轨迹方程；（2）若点M的轨迹为曲线C，已知直线l的方程为2x−y+1=0，请判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由.16．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a2（1）求数列an（2）若bn=3n−1，令cn=a17．如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD满足AB⊥AD,AB⊥BC，SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1,AD=1（1）求证：BC⊥平面SAB；（2）求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.18．已知双曲线C的中心为坐标原点，右焦点为7,0，且过点−4,3（1）求双曲线C的标准方程；（2）已知点A4,1，过点1,0的直线与双曲线C的左、右两支分别交于点M,N，直线AN与双曲线C交于另一点P，设直线AM,AN的斜率分别为k（i）求证：k1（ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标．19．设F1,F2为椭圆Γ1:x2a12（1）求椭圆Γ1（2）过F2作斜率为1的直线与椭圆Γ1交于P,Q两点，求（3）黄金分割的比例5−12被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即5−122，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆Γn:x2an2+y2bn2=1an>bn>0

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=又因为θ∈0,π，故故选：C.【分析】本题主要考查了直线的倾斜角和斜率的定义，根据题意，设直线的倾斜角为θ，得到tanθ=2．【答案】D【解析】【解答】解：因为a1=−2,a4=128，

故选：D.【分析】本题主要考查了等比数列的通项公式及其应用，根据题意，利用等比数列的通项公式，列出关于公比q的方程，求得等比数列的公比，即可得到答案.3．【答案】A【解析】【解答】解：由题意得aa+2+−1故选：A.【分析】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得a的值，即可得到答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：由双曲线E:x24−y因为M是双曲线E上的一点，且MF1=3即3−MF2=4，解得故选：B.【分析】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，根据双曲线的标准方程，求得a=2，结合双曲线的定义，得到MF1−5．【答案】A【解析】【解答】解：由数列an为等差数列，所以S因为S4所以S12所以S12故选：A.【分析】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的性质的应用，由等差数列的性质，得到S4,S8−6．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，由AC所以A=4+4+2+2×2×2×12所以AC故选：C.

【分析】本题主要考查了空间向量的运算法则，以及加法的几何意义，根据题意，利用空间向量的运算法则，得到AC'=7．【答案】B【解析】【解答】解：记曲线C:y=1+4−由题意，y=1+4−∴曲线C:y=1+4−x2表示以O'记直线l:y=kx−2+4，即kx−2−y+4=0，∴直线如图所示：kAD当直线l与曲线C相切时，d=|0−1−2k+4|由图可知，当直线l与曲线C有两个相异的交点时，k∈5故选：B.【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及数形结合法的应用，根据y=kx−2+4是过定点A2,4的直线，曲线y=1+4−x8．【答案】B【解析】【解答】解：如图，F1(−c,0),F2(c,0)则F1由F1A⊥解得x1=53c所以x12a2−即25e4−50e2故选：B.【分析】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，设A(x1,y19．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，当B≠0时，直线Ax+By+C=0等价于y=−A由于AB>0且BC<0，所以直线的斜率k=−AB<0，y即该直线经过第一、第二、第四象限，故A正确；对于B，由直线l1:x−2y+1=0与l2此时可化简直线l1:x−2y+1=0与d=1+1对于C，由圆C：(x+1)2+(y−1)设圆心C−1,1关于直线x−y−1=0的对称圆心为C则m−12−n+1则对称圆的方程为(x−2)2对于D，由于x2+y即可求圆心3，4到原点的距离为9+所以圆上的动点A到原点的最大距离是5+即x2+y故选：ABC．【分析】利用直线方程的性质，可判断A正确，利用平行线间的距离公式，可判断B正确；利用点关于直线对称点的研究，可判断C正确，把x2+y10．【答案】A,D【解析】【解答】解：如图，

由题意：△F1A故SΔF1AF△ABF2的周长为椭圆C的离心率e=c设BF1=x，则BF2由余弦定理：(4−x)2=4+xS△故选：AD.【分析】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及几何性质的应用，根据题意，利用△F1AF2的面积计算出a,b,c的值，进而计算△ABF211．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：选项A：底面正方形ADD1A1的面积不变，点P到平面选项B：以D为原点，DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，可得设P(x,2−x,0),0≤x≤2，则D1设直线D1P与A1C1因为0≤x≤2，则0≤x−1当x−1=0时，可得cosθ=0，所以当0<x−1≤1时，当且仅当x−1=1，即x=0可知0<cosθ≤12，且所以异面直线D1P与A1对于C：因为直线AP与平面ABCD所成的角为45∘若点P在平面DCC1D因为∠B在平面ADD1A1内，点在平面ABB1A1内，点在平面A1B1C1因为∠PAM=45∘，所以又因为PM=AB，所以AM=AB，所以A1所以点P的轨迹是以A1所以点P的轨迹的长度为14综上，点P的轨迹的总长度为π+4对于D，由B1设P(m,n,0),0≤m≤2,0≤n≤2，则C设平面CB1D1的一个法向量为取a=1，可得b=−1,c=−1，所以n=(1,−1,−1)因为PF//平面B1CD，所以FP⋅所以FP=(m−2)2故选：ABC.【分析】由底面正方形ADD1A1的面积不变，点P到平面AA1D1D的距离不变，可判定A正确；以D为原点，建立空间直角坐标系，设P(x,2−x,0)，则D1P=(x,2−x,−2),A1C1=(−2,2,0)，结合向量的夹角公式，可判定B正确；由直线AP与平面ABCD12．【答案】2【解析】【解答】由抛物线y2=4x，得2p=4，p=2，∴p2∵M在抛物线y2=4x上，且|MF|=3，∴xM+1=3，即xM=2．故答案为：2．【分析】由抛物线的方程求出p213．【答案】-6n+3【解析】【解答】解：当n≥2时，an当n=1时，a1=S所以an故答案为：−6n+3.

【分析】本题考查了数列的前n项和Sn与通项an的关系，由数列an的前n根结合an14．【答案】10【解析】【解答】解：设Qa,0，Mx,y，所以MQ=x−a2+y因为MQMP=λ且λ=2，所以x−a2+y2x+所以4+2a3=0a2−13=1，解得a=−2，所以Q因为B1,1，所以2MP+MB的最小值为BQ=故答案为：10.【分析】先由动点M与两定点Q，P的距离之比MQMP=λλ>0,λ≠1，求得阿波罗尼斯圆的方程，进而求得定点Q坐标，再由MQ=2MP15．【答案】（1）解：令M(m,n)为线段PQ的中点，又P4,3，则Q(2m−4,2n−3)又Q在圆(x+1)2+y所以(m−32)2+（2）解：如图所示：由（1）知圆心C(32,所以圆心到2x−y+1=0的距离d=|3−所以直线l与曲线C相离.【解析】【分析】（1）设M(m,n)，根据中点坐标公式，求得Q(2m−4,2n−3)，再由Q在圆(x+1)2（2）有（1）得出圆的圆心和半径，利用点线距离公式求圆心与直线距离，得出与圆的半径的大小关系，结合直线与圆的位置关系的判定方法，即可判断位置关系，得到答案.（1）令M(m,n)为线段PQ的中点，又P4,3，则Q(2m−4,2n−3)又Q在圆(x+1)2+y所以(m−32)2+（2）由（1）知圆心C(32,3所以圆心到2x−y+1=0的距离d=|3−所以直线l与曲线C相离.16．【答案】（1）解：由题意知：S4=4即：4a1+所以数列an的通项公式a（2）解：因为c所以T①①−2化简得：Tn【解析】【分析】（1）根据题意，利用等差数列的前n项和公式与通项公式，列出方程组，求得a1、d，写出数列（2）由（1）得到cn（1）由题意知：S4=4即：4a1+所以数列an的通项公式a（2）因为c所以T①①−2化简得：Tn17．【答案】（1）证明：由SA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则SA⊥BC，又AB⊥BC，且AB∩SA=A均在面SAB内，则BC⊥平面SAB；（2）解：由题设，构建如下图示空间直角坐标系A−xyz，则C(1,1,0),D(12,0,0),S(0,0,1)若m=(x,y,z)为面SCD的一个法向量，则m令x=2，则m=(2,−1,1)，而n=(1,0,0)是面所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为|cos【解析】【分析】（1）由SA⊥底面ABCD，得到SA⊥BC，再由AB⊥BC，利用线面垂直的判定定理，即可证得BC⊥平面SAB；（2）根据题意，空间直角坐标系A−xyz，分别求得平面SCD和平面SAB的一个法向量m=(2,−1,1)和n（1）由SA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，则SA⊥BC，又AB⊥BC，且AB∩SA=A均在面SAB内，则BC⊥平面SAB；（2）由题设，构建如下图示空间直角坐标系A−xyz，则C(1,1,0),D(12,0,0),S(0,0,1)若m=(x,y,z)为面SCD的一个法向量，则m令x=2，则m=(2,−1,1)，而n=(1,0,0)是面所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为|cos18．【答案】（1）解：设双曲线C的方程为x2因为双曲线C的右焦点为7,0，且过点−4,3所以a2+b2双曲线C的方程为x2（2）解：（i）设直线MN的方程为y=kx−1由y=kx−1,xx因为直线MN与双曲线C的左、右支分别交于点M,N，所以3−4k2≠0,k==即k1（ii）设直线MP的方程为y=tx+m,Px由y=tx+m,x24x1由kAP=kk===由k1+k即m=−t，或m=−4t+9，当m=−t时，直线MP过点1,0，不符合题意，舍去，当m=−4t+9时，直线MP的方程为y=tx−4+9，过定点

【解析】【分析】（1）设双曲线C的方程为x2a2−y（2）（i）根据题意，设Mx1,y1Nx（ii）设直线MP的方程为y=tx+m，联立方程组，得到x1+x3=8tm3−4t2（1）设双曲线C的方程为x2因为双曲线C的右焦点为7,0，且过点−4,3所以a2+b2双曲线C的方程为x2（2）（i）设直线MN的方程为y=kx−1由y=kx−1,xx因为直线MN与双曲线C的左、右支分别交于点M,N，所以3−4k2≠0,k==即k1（ii）设直线MP的方程为y=tx+m,Px由y=tx+m,x24x1由kAP=kk===由k1+k即m=−t，或m=−4t+9，当m=−t时，直线MP过点1,0，不符合题意，舍去，当m=−4t+9时，直线MP的方程为y=tx−4+9，过定点19．【答案】（1）解：由点M0,2在椭圆Γ1上，则由△NF1F2面积的最大值为2，则所以a12=（2）由（1）知F2(1,0)，则PQ:y=x−1，联立所以x25+(x−1)2所以xP+xQ=由M0,2到PQ:y=x−1的距离d=所以△MPQ的面积S=1（3）令