2025年大学数理基础科学（数理应用技巧）试题及答案

2025年大学数理基础科学（数理应用技巧）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则函数$f(x)$的定义域是（）A.$x\neq1$B.$x\gt1$C.$x\lt1$D.$x\geq1$2.若向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}$的值为（）A.5B.7C.11D.133.设等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1=1$，$a_3=5$，则$S_5$等于（）A.15B.20C.25D.304.已知直线$l$的斜率为$2$，且过点$(1,3)$，则直线$l$的方程为（）A.$y=2x+1$B.$y=2x-1$C.$y=2x+3$D.$y=2x-3$5.若函数$y=\sinx$在区间$[a,b]$上单调递增，则$a$，$b$的取值范围可以是（）A.$[0,\pi]$B.$[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]$C.$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$D.$[\pi,2\pi]$6.已知圆$C$的方程为$(x-2)^2+(y-3)^2=4$，则圆心坐标为（）A.$(2,3)$B.$(-2,3)$C.$(2,-3)$D.$(-2,-3)$第II卷（非选择题共70分）二、填空题（每题5分，共20分）答题要求：本大题共4小题，把答案填在题中横线上。7.计算：$\log_28=$______。8.已知函数$f(x)$是偶函数，且$f(3)=5$，则$f(-3)=$______。9.若圆锥的底面半径为$3$，母线长为$5$，则圆锥侧面展开图的圆心角为______度。10.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a\gt0$，$b\gt0$）的一条渐近线方程为$y=2x$，则该双曲线的离心率为______。三、解答题（每题10分，共20分）答题要求：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.已知函数$f(x)=x^2-2x+3$，求函数$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。12.已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=n^2+2n$，求数列$\{a_n\}$的通项公式。四、材料分析题（每题15分，共15分）答题要求：阅读材料，回答问题。材料：在一次数学实验中，小明记录了一组数据，如下表所示（此处省略表格）。通过对这些数据的分析处理，他发现了一些规律，并尝试用函数来拟合这些数据。问题：请根据材料，分析小明处理数据的过程可能涉及到哪些数理应用技巧？（150字左右）五、综合应用题（每题15分，共15分）答题要求：结合所学知识，解决实际问题。材料：某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为$4800m^3$，深为$3m$。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元。问题：怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？（150字左右）答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.A7.38.59.21610.$\sqrt{5}$11.解：$f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，对称轴为$x=1$。当$x=1$时，$f(x)$取得最小值$f(1)=2$；当$x=3$时，$f(x)$取得最大值$f(3)=6$。12.解：当$n=1$时，$a_1=S_1=3$；当$n\geq2$时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+2n-[(n-1)^2+2(n-1)]=2n+1$。当$n=1$时也满足，所以$a_n=2n+1$。四、小明可能用到数据统计分析技巧，对数据进行整理归纳找规律。还可能用到函数拟合技巧，尝试用合适函数拟合数据，通过建立函数模型来描述数据关系，以便更好理解和预测数据变化趋势。五、设底面一边长为$xm$，则另一边长为$\frac{1600}{x}m$。总造价$y=150\times\frac{4800}{3}+120\times2\times(3x+3\times\fra