专题1求二次函数表达式的类型

第1章二次函数专题1

求二次函数表达式的类型1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－2x＋8与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．(1)抛物线的函数表达式为______________；y＝－x2＋2x＋8返回2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y和x的取值如下表所示：x…－10245…y…n－2m－2p…(1)若n＝－7，求二次函数的表达式；(2)用含a的代数式表示m；(3)若nmp≤0，求a的取值范围．返回3．[2025北京理工大附中模拟]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过点(3，0)，当x＝1时，函数的最小值为－4.(1)求该二次函数的表达式；【解】∵当x＝1时，函数的最小值为－4，∴二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的顶点坐标为(1，－4)．∴二次函数的表达式为y＝a(x－1)2－4.∵该二次函数的图象过点(3，0)，∴0＝(3－1)2a－4.∴a＝1.∴二次函数的表达式为y＝(x－1)2－4，即y＝x2－2x－3.(2)直线x＝m与抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)和直线y＝x－3的交点分别为点C，点D.①当m＝－1时，CD＝________；4②结合函数的图象，当CD≥4时，m的取值范围为____________．m≤－1或m≥4返回4．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．(1)求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；【解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，∴y＝a(x－1)(x＋3)＝ax2＋2ax－3a.∴－3a＝3.∴a＝－1.∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点坐标为(－1，4)．(2)连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当S△CPD∶S△BPD＝1∶2时，求点D的坐标．【解】如图，过点D作DM⊥y轴于点M.在y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3，∴点C的坐标为(0，3)．∴OC＝3.∵S△CPD∶S△BPD＝1∶2，∴CD∶BD＝1∶2.易知DM∥BO，∴CD∶BD＝CM∶OM＝1∶2.∴OM＝2.返回5．如图，抛物线L：y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(－2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，D为抛物线L的顶点．(1)求抛物线L的表达式；返回6．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交x轴于A(－1，0)，B(3，0)两点，且与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式及顶点P的坐标；【解】由题意可得抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，将点C(0，－3)的坐标代入，得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.∴顶点P的坐标为(1，－4)．(2)将该抛物线绕点(4，0)旋转180°，求旋转后的抛物线的表达式．返回∵旋转前后图象的形状不变，开口方向相反，∴易得旋转后的抛物线的表达式为y＝－(x－7)2＋4.(1)AC的长为__