专题04 幂函数、指数函数与对数函数（期末复习知识清单）（原卷版及全解全析）

5/5专题04幂函数、指数函数与对数函数【清单01】指数及指数运算(1)、正整数指数幂；(2)、零指数幂；(3)、负整数指数幂；(4)、的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)、，，；(6)、(6)、，，；(7)、，，；(8)、，，．(9)、【清单02】指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调在定义域上是单调⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【清单03】对数与对数运算(1)、常用对数：以为底，记为；自然对数：以为底，记为；(2)、；；其中且；(3)、(其中且，)；(4)、对数换底公式：；变形；(5)、；(6)、；(7)、，；(8)、和；【清单04】对数函数(1)、对数函数的定义：函数且叫做对数函数．图象性质定义域：值域：过定点，即时，在上在上是当时，，当时，当时，，当时，对数函数常用技巧：在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象；当时，对数函数的图象随的增大而．(见下图)【清单05】幂函数常见的幂函数图像及性质：函数图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性公共点幂函数常用技巧：幂函数在第一象限内图象的画法如下：①当时，其图象可类似画出；②当时，其图象可类似画出；③当时，其图象可类似画出．【题型一】指数、对数、幂化简及求值【例1】．（25-26高一上·北京顺义·期中）化简下列各式，并求值．(1)(2)【变式1-1】．（25-26高一上·宁夏银川·期中）计算：(1)；(2)．

【变式1-2】．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）计算下列各式：(1)；(2)已知，求的值.【题型二】函数的图像与性质【例2】．（25-26高一上·重庆·期中）如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（）A． B．C． D．【变式2-1】．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（

）A． B．C． D．【变式2-2】．（2025高一上·重庆永川·专题练习）函数的大致图象是（

）A．

B．

C．

D．

【题型三】指数型复合函数【例3】．（25-26高一上·天津滨海新·期中）已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-1】．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（

）A． B． C．0 D．8

【变式3-2】．（25-26高一上·湖南·期中）已知命题，，命题，．(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若，中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．【题型四】对数型复合函数【例4】．（25-26高三上·宁夏中卫·月考）设函数，且对于任意的，有，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式4-1】．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4-2】．（25-26高三上·陕西渭南·期中）已知函数，且.(1)求函数的定义域；(2)当时，求函数在[0,2]上的最大值.

【题型五】幂函数型复合函数【例5】．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（

）A． B． C．1 D．3【变式5-1】．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（）A．的定义域为 B．的值域为C．为奇函数 D．为减函数【题型六】指对幂比较大小【例6】．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【变式6-1】．（25-26高三上·江西赣州·期中）若，，，则，，之间的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式6-2】．（25-26高一上·山东枣庄·期中）若，记，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．

【题型七】利用函数的基本性质求参数及参数范围【例7】．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式7-1】．（25-26高三上·河北保定·期中）已知函数是定义域上的奇函数，则（

）A． B． C．3 D．【变式7-2】．（23-24高三上·山东日照·开学考试）若是奇函数，则.【题型八】函数的实际应用【例8】．（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至4000，则大约增加了（

）附：A．10% B．20% C．50% D．100%【变式8-1】．（2019·北京·高考真题）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【变式8-2】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据间的关系为已知五分记录法的评判范围为，设，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，则的值为（

）A． B． C． D．【题型九】综合性质【例9】．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数，．(1)求函数在区间上的最大值；(2)若函数，且函数的图象与函数的图象有3个不同的交点，求实数的取值范围．【变式9-1】．（20-21高一上·全国·单元测试）设函数，且，．（1）当时，求的最大值．（2）为何值时，函数的图象与的图象恒有两个交点．

【变式9-2】．已知函数的定义域为D．若对于任意，且，都有，则称函数为“凸函数”．（1）判断函数①，②与③是“凸函数”的序号是（只需写出结论）；（2）若函数（a，b为常数）是“凸函数”，求a的取值范围；（3）写出一个定义在上的“凸函数”，满足．（只需写出结论）．

【题型一】容易记混指对幂的运算公式【例1】．（25-26高一上·山东·期中）（多选题）下列命题中正确的是（

）A．B．的值为C．若，则的值为D．若且，则【变式1-1】．（24-25高一下·河北保定·月考