专题4.1 指数、指数函数（考点清单3个考点梳理+15题型解读）（原卷版及全解全析）

专题4.1指数、指数函数【清单01】根式(1)n次方根的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n＞1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))【方法点拨】根式化简或求值的注意点：解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．【清单02】有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．【方法点拨】指数幂运算的一般原则：(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【清单03】指数函数1.指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．【考点题型一】根式的化简与求值【例1】（24-25高一上·湖南常德·期中）求值：(1)；(2)(3)；【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）当时，化简：.【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简.【变式1-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）.【变式1-4】（24-25高一上·福建漳州·期中）化简求值：(1)(2)【考点题型二】指数幂的化简与求值【例2】（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：；（2）已知，求的值.【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）.【变式2-2】（24-25高一上·浙江·期中）计算：.【变式2-3】64．（24-25高一上·浙江·期中）化简求值（需要写出计算过程）．(1)已知，求的值；(2)．【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·期中）（1）计算.（2）已知，求的最小值.【考点题型三】指数函数解析式与求值问题【例3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知函数，则（

）A．2 B．0 C． D．【变式3-1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）若函数（，且）满足，则的值为（）A．± B．±3 C． D．3【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是；（2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为．【变式3-3】（24-25高一上·北京·期中）已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是．【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为．【考点题型四】根据指数函数求参数、求值【例4】（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（

）A．4 B．1 C．2 D．【变式4-1】（22-23高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（

）A．或 B．且C． D．【变式4-2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（

）A．3 B．2 C． D．【变式4-3】（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．【变式4-4】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为.【考点题型五】根据指数函数型图象确定参数范围【例5】（多选）（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．的图象不经过第四象限【变式5-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（

）

A． B．C． D．【变式5-2】（多选）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（

）A． B． C． D．【变式5-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为.【变式5-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是．【考点题型六】指数型函数图象过定点问题【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【变式6-1】（24-25高一上·山西太原·期中）函数（，且的图象必经过的定点是（

）A． B． C． D．【变式6-2】（24-25高一上·甘肃庆阳·期中）函数的图象恒过定点，则点坐标为.【变式6-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且过定点，则________【变式6-4】（24-25高一上·上海·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒过一定点，则这个点的坐标为【考点题型七】求指数型函数定义域【例7】（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式7-1】（2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式7-2】（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是.【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为．【变式7-4】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)；(2).【考点题型八】求指数型函数值域【例8】（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是．【变式8-1】（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或【变式8-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为．【变式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的值域为.【变式8-4】（24-25高一上·上海·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为.【考点题型九】根据值域求参数范围【例9】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式9-2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（

）A． B． C． D．2【变式9-3】（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是.【变式9-4】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.【考点题型十】指数型函数的单调性【例10】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数，则函数（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是奇函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减【变式10-1】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C．fx=x2−2x【变式10-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（

）A． B． C． D．【变式10-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（

）A． B．C． D．【变式10-4】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【考点题型十一】比较大小问题【例11】（24-25高三上·山西大同·期中）设，则（

）A． B． C． D．【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【变式11-2】（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（

）A． B．C． D．【变式11-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（

）A． B．C． D．【变式11-4】（多选）（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【考点题型十二】指数型函数不等式恒成立问题【例12】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且.(1)若，求函数的最小值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【变式12-1（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【变式12-2】（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【变式12-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为.【变式12-4】（24-25高一上·海南三亚·期中）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点．(1)求的表达式；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【考点题型十三】解指数型函数不等式【例13】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)求，，；(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．【变式13-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式13-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为.【变式13-3】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，则不等式的解集为.【变式13-4】（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且的图象过点.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【考点题型十四】指数型函数最值问题【例14】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)设函数，若存在最小值，求实数的值.【变式14-1】（2021·江苏·高一期中）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（

）A．或 B．C． D．【变式14-2】（22-23高一上·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是.【变式14-3】（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数（且）．(1)当时，解不等式；(2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值．【变式14-4】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知函数．(1)若，求函数的最小值及取得最小值时x的取值；(2)若，求函数的最小值．【考点题型十五】指数型函数图象和性质的综合问题【例15】（24-25高一上·福建福州·期中）已知定义域为的函数是奇函数，且.(1)求实数，的值；(2)试判断的单调性，并用定义证明；(3)解关于的不等式.【变式15-1】（2023秋·黑龙江绥化·高三校考阶段练习）已知函数（，且）是奇函数，且．(1)求，的值；(2)若对于，不等式成立，求的取值范围．【变式15-2】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)判断并证明的奇偶性.【变式15-3】（24-25高一上·山西晋城·期中）已知是定义在上的奇函数，且当时，.(1)若，求函数的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【变式15-4】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知指数函数的图象经过点.(1)求函数的解析式并判断的单调性；(2)函数，求函数在区间上的最小值.

专题4.1指数、指数函数【清单01】根式(1)n次方根的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n＞1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，n＞1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a＜0，))n为偶数.))【方法点拨】根式化简或求值的注意点：解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．【清单02】有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\s\up12(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：aeq\s\up12(－eq\f(m,n))＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．提醒：有理数指数幂的运算性质中，要求底数都大于0，否则不能用性质来运算．【方法点拨】指数幂运算的一般原则：(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．【清单03】指数函数1.指数函数的图象和性质y＝axa>10<a<1图象性质函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数2．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．【考点题型一】根式的化简与求值【例1】（24-25高一上·湖南常德·期中）求值：(1)；(2)(3)；【答案】(1)(2)(3)3【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值【分析】利用根式与分数指数幂的运算性质即可对（1）（2）（3）进行求解．【详解】（1）原式（2）原式（3）原式【变式1-1】（24-25高一上·上海·期中）当时，化简：.【答案】【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值【分析】根据将根式化简、去绝对值计算即可得出结果.【详解】由可得.故答案为：【变式1-2】（24-25高一上·上海浦东新·期中）当时，化简.【答案】4【知识点】根式的化简求值【分析】将根式里面进行配方，结合的范围即可化简.【详解】因为,所以,所以,故答案为：4.【变式1-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）.【答案】【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算【分析】利用分数指数幂和根式运算法则得到答案.【详解】.故答案为：【变式1-4】（24-25高一上·福建漳州·期中）化简求值：(1)(2)【答案】(1)；(2)；【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则，即可得到答案；（2）根据幂的运算法则，即可得到答案；（3）由完全平方和公式，即可得到答案.【详解】（1）原式；（2）原式.【考点题型二】指数幂的化简与求值【例2】（24-25高一上·山西·期中）（1）求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）32；（2）【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值【分析】（1）根据指数的运算即可求出答案；（2）通过，及即可求结果.【详解】（1）原式；（2）由，因为，所以，，所以.故.【变式2-1】（24-25高一上·北京·期中）.【答案】【知识点】指数幂的化简、求值【分析】利用有理数指数幂的运算性质化简求值.【详解】.故答案为：【变式2-2】（24-25高一上·浙江·期中）计算：.【答案】/0.5【知识点】指数幂的化简、求值【分析】根据指数幂运算求解即可.【详解】由题意可得：.故答案为：.【变式2-3】64．（24-25高一上·浙江·期中）化简求值（需要写出计算过程）．(1)已知，求的值；(2)．【答案】(1)(2)【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值【分析】（1）两边同时平方即求解即可；（2）由指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）由题意，得

则．所以.（2）原式．【变式2-4】（24-25高一上·福建福州·期中）（1）计算.（2）已知，求的最小值.【答案】（1），（2）【知识点】指数幂的化简、求值、基本不等式求和的最小值【分析】（1）根据指数幂的运算性质，绝对值的定义直接计算即可；（2）利用基本不等式求最小值即可.【详解】（1）.（2）由，得，由基本不等式可得，，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.【考点题型三】指数函数解析式与求值问题【例3】（23-24高一上·新疆·阶段练习）已知函数，则（

）A．2 B．0 C． D．【答案】C【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数函数的判定与求值【分析】直接代入求值即可.【详解】因为，，所以，又因为，所以，故选：C.【变式3-1】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）若函数（，且）满足，则的值为（）A．± B．±3 C． D．3【答案】C【知识点】求函数值、指数幂的运算、指数函数的判定与求值【分析】首先由可求得的值，即可得函数表达式，进一步代入求值即可.【详解】因为，所以，从而，.故选：C.【变式3-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知指数函数，则实数的取值范围是；（2）已知指数函数的图像经过点，则时，函数值为．【答案】【知识点】根据函数是指数函数求参数、求指数函数解析式【分析】（1）根据指数函数的定义求解；（2）把已知点坐标代入求得后，再计算函数值．【详解】（1）由已知且，解得且，所以的范围是；（2）由已知，，函数式为，时，．故答案为：；．【变式3-3】（24-25高一上·北京·期中）已知指数函数的图象经过点，则这个函数的解析式是．【答案】【知识点】求指数函数解析式【分析】利用待定系数法可得解.【详解】由已知，设，且，又函数图像过点，即，解得，即，故答案为：.【变式3-4】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为．【答案】【知识点】由奇偶性求函数解析式、求指数函数解析式【分析】利用是定义在上的奇函数和时的解析式，求出时的解析式，注意定义在上的奇函数满足.【详解】当时，，所以，因为是定义在上的奇函数，故，综上：函数的解析式为：故答案为：【考点题型四】根据指数函数求参数、求值【例4】（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知指数函数的图像经过点，则（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】A【知识点】指数函数的判定与求值、求指数函数解析式【分析】根据指数函数的定义即可求解.【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得，所以，故选：A.【变式4-1】（22-23高一上·全国·课后作业）若函数为指数函数，则（

）A．或 B．且C． D．【答案】C【知识点】根据函数是指数函数求参数【分析】利用指数函数的定义列方程组求解即可.【详解】因为函数为指数函数，则，且，解得，故选：C【变式4-2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知指数函数且，则（

）A．3 B．2 C． D．【答案】A【知识点】求函数值、指数幂的运算、求指数函数解析式【分析】先根据函数值求出，再求函数值即可.【详解】，故选：A.【变式4-3】（多选）（23-24高一上·江西新余·期中）若函数是指数函数，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】AB【知识点】根据函数是指数函数求参数【分析】根据指数函数的定义求解.【详解】因为函数是指数函数，所以，解得或.故选：AB【变式4-4】（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为.【答案】27【知识点】求函数值、根据函数是指数函数求参数【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可.【详解】因为为指数式，则，解得或，又因为且，可得，即，所以.故答案为：27.【考点题型五】根据指数函数型图象确定参数范围【例5】（多选）（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．的图象不经过第四象限【答案】BD【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案.【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则0<a<1，故A错误；对于B，当x=0时，，由图象可得，解得，故B正确；对于C，由，则，由是增函数，则，故C错误；对于D，由，0<a<1，则函数是增函数，当x=0时，，故D正确.故选：BD.【变式5-1】（24-25高一上·河南南阳·期中）已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以.【详解】由图可知函数，均单调递增，则，.当时，，得，所以.故选：D【变式5-2】（多选）（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（

）A． B． C． D．【答案】BC【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果.【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以．当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得．故选：BC．【变式5-3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）指数函数的图象如图所示，则二次函数图象顶点的横坐标的取值范围为.【答案】【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围【分析】由指数函数的图象可知，结合二次函数性质分析求解即可.【详解】由指数函数的图象可知，所以二次函数图象顶点的横坐标.故答案为：.【变式5-4】（24-25高一上·上海·课后作业）若函数的图像不经过第二象限，则的取值范围是．【答案】【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围【分析】先根据指数函数性质得函数过点，再根据题意列不等式，解得结果．【详解】解：指数函数过点，则函数过点，若图像不经过第二象限，则，即．故答案为：．【考点题型六】指数型函数图象过定点问题【例6】（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数（且）过定点，点在一次函数，的图象上，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指数函数恒过定点可得，代入可得，后由基本不等式可得答案.【详解】因为且，令可得，，所以该函数过定点；又点在一次函数的图象上，所以，因此，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选：B【变式6-1】（24-25高一上·山西太原·期中）函数（，且的图象必经过的定点是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】指数型函数图象过定点问题【分析】根据确定指数型函数图象恒过的定点.【详解】令，得x=1，代入解析式，得到图象必经过的定点是.故选：A.【变式6-2】（24-25高一上·甘肃庆阳·期中）函数的图象恒过定点，则点坐标为.【答案】【知识点】指数型函数图象过定点问题【分析】根据，即可求解，代入即可得纵坐标.【详解】令，则，故，因此，故答案为：【变式6-3】（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且过定点，则________【答案】-2【知识点】指数型函数图象过定点问题【分析】根据指数函数的性质求解.【详解】当时，即函数恒过，此时故答案为：【变式6-4】（24-25高一上·上海·期中）已知常数且，假设无论为何值，函数的图像恒过一定点，则这个点的坐标为【答案】【知识点】指数型函数图象过定点问题【分析】根据指数函数恒过定点求解即可.【详解】当时，解得，代入函数解析式，有，因为且，解得，所以函数的图像恒过定点.故答案为：【考点题型七】求指数型函数定义域【例7】（23-24高一上·福建漳州·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域【分析】函数定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足，解得.所以该函数的定义域为.故选：B.【变式7-1】（2024高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】求指数型复合函数的定义域、由指数函数的单调性解不等式【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，所以函数的定义域为.故选：C.【变式7-2】（24-25高一上·天津南开·期中）函数的定义域是.【答案】【知识点】求指数型复合函数的定义域【分析】求出使式子有意义的的范围．【详解】由题意，解得且，故答案为：．【变式7-3】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为．【答案】．【知识点】具体函数的定义域、求指数（型)函数的定义域【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可.【详解】由题意得，解得，则其定义域为.故答案为：.【变式7-4】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知识点】求指数型复合函数的定义域【分析】利用指数型函数定义域的求法即可得解.【详解】（1）对于，有，解得，故的定义域为；（2）对于，有，即，故的定义域为.【考点题型八】求指数型函数值域【例8】（2024高三·全国·专题练习）设函数，的值域是．【答案】【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值【分析】根据分段函数值域的求法来求得正确答案.【详解】当时，，当时，，∴函数的值域为，另解：作出函数图象如下图所示，从图象上可以看出函数的值域为.故答案为：【变式8-1】（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（

）A．3 B． C．3或 D．或【答案】C【知识点】求指数型复合函数的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案.【详解】函数（且）的值域为，又由指数函数的单调性可知，当时，函数在上单调递减，值域是所以有，即，解得；当时，函数在上单调递增，值域是所以有，即，解得.综上所述，或.故选：C.【变式8-2】（24-25高一上·北京·期中）函数的值域为．【答案】【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值【分析】分别讨论和的值域，然后取并集即可求出结果.【详解】当时，.当时，.所以函数值域为.故答案为：.【变式8-3】（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的值域为.【答案】【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值【分析】根据函数的解析式求得函数的值域.【详解】当时，，当时，，所以函数的值域为.故答案为：【变式8-4】（24-25高一上·上海·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则函数的值域为.【答案】【知识点】求指数函数在区间内的值域、奇偶函数对称性的应用【分析】先求出时函数的取值范围，再由奇函数的对称性即可得出时函数的取值范围，即可得解.【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，所以，又当时，，所以，当时，由奇函数的对称性可知，所以函数的值域为−1,1,故答案为：−1,1【考点题型九】根据值域求参数范围【例9】（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.【详解】当时，则，且，所以，若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，若，则在内单调递减，可得，不合题意；若，则在内单调递增，可得，则，解得；综上所述：实数a的取值范围是.故选：B.【变式9-1】（2023·全国·高一专题练习）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于当时，，所以当时，求出的最小值，使其最小值小于等于1即可.【详解】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.【变式9-2】（多选）（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）函数且，当时，值域为，则的值可能是（

）A． B． C． D．2【答案】BC【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）【分析】分类讨论且是增函数还是减函数，将对应值带入计算即可.【详解】当时，函数单调递减，，解得当时，函数单调递增，，解得．故选：BC．【变式9-3】（24-25高三上·北京西城·开学考试）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是.【答案】a≥1【知识点】分段函数的性质及应用、求指数函数在区间内的值域、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数【分析】先分别求出分段函数在不同区间函数的值域，再结合函数值域为,得出参数范围.【详解】当,当,因为函数fx的值域为,所以.故答案为：a≥1.【变式9-4】（2023·全国·高一专题练习）求函数，在上的值域.【答案】【分析】，令，再根据二次函数的性质即可得解.【详解】，令，函数在上是单调减函数，∴，的对称轴为，∴当时，，即当时，，即，∴在上的值域为.【考点题型十】指数型函数的单调性【例10】（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数，则函数（

）A．是偶函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减C．是奇函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减【答案】A【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】根据定义判断函数的奇偶性，然后根据解析式判断函数的单调性。【详解】由题意知函数定义域为R，，故函数为偶函数，当x∈0,+∞又因为都是增函数，所以在0,+∞上单调递增，故选：A.【变式10-1】（多选）（24-25高一上·浙江·期中）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B． C．fx=x2−2x【答案】ABD【知识点】判断指数函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性【分析】根据基本初等函数的单调性一一判断即可.【详解】对于A：因为与在区间上为增函数，所以在区间上为增函数，故A正确；对于B：因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，所以在区间上为增函数，故B正确；对于C：，所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；对于D：在上单调递增，故D正确.故选：ABD【变式10-2】（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的单调增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】判断指数型复合函数的单调性【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论.【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为.故选：C【变式10-3】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）函数单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】判断指数型复合函数的单调性【分析】根据复合函数的单调性与指数函数、二次函数的单调性判断．【详解】是增函数，的减区间是，因此根据同增异减法则得所求复合函数的减区间是.故选：C．【变式10-4】（2023秋·天津武清·高三天津市武清区城关中学校考阶段练习）已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.【详解】∵满足对任意，都有成立，∴在上是减函数，，解得，∴a的取值范围是.故选：C．【考点题型十一】比较大小问题【例11】（24-25高三上·山西大同·期中）设，则（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】比较指数幂的大小【分析】根据指数函数的单调性比较函数值的大小即可.【详解】因为函数单调递增，所以，故，又函数单调递减，所以，所以．故选：A.【变式11-1】（24-25高一上·福建厦门·期中）设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】比较指数幂的大小【分析】根据指数函数的单调性即可比较作答.【详解】，，故，由于，故，故，故选：D【变式11-2】（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】比较指数幂的大小【分析】根据指数函数的性质来比较大小.先将化简，再分别比较、、与特殊值、的大小关系，从而确定、、的大小顺序.【详解】化简的值，.对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增.，所以，即.又因为，.对于，，即.则.故选：B.【变式11-3】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】比较指数幂的大小【分析】根据可判断，根据，即可求解.【详解】由于，，故，又，故，故选：B【变式11-4】（多选）（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用、由指数（型）的单调性求参数【分析】根据的单调性确定，由确定.【详解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误；由图知，所以，故B错误D正确.故选：AD【考点题型十二】指数型函数不等式恒成立问题【例12】（23-24高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知函数且.(1)若，求函数的最小值；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)【知识点】求二次函数的值域或最值、求指数型复合函数的值域、指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题【分析】（1）换元令，可得，结合二次函数即可得最小值；（2）换元令，可得恒成立，结合运算求解.【详解】（1）若，则，令，故原式化为，若时，可知在上单调递增，可知在上单调递增，可知；若时，可知在上单调递减，可知在上单调递减，可知；综上所述：，可知当时，取到最小值为1.（2）因为，设，由题意得即恒成立，即恒成立，且，则，解得，所以实数的取值范围为.【变式12-1（23-24高一下·江苏盐城·期末）设函数，若恒成立，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、基本不等式的恒成立问题【分析】分与两类讨论，根据恒成立，得出的结论，从而得解.【详解】若当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，当时，，因为恒成立，所以恒成立，则，即，综上，，同理时，又，所以，，当且仅当时，取等号故选：C.【变式12-2】（2007高一·全国·竞赛）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【知识点】求已知指数型函数的最值、指数函数最值与不等式的综合问题、解不含参数的一元二次不等式【分析】分离参数得恒成立，由复合型指数函数的最值得，解一元二次不等式即可得解.【详解】不等式可化为.因为，所以，所以的最大值为.所以，所以.故选：C.【变式12-3】（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】函数奇偶性的应用、指数函数最值与不等式的综合问题、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题【分析】由函数的奇偶性求出，不等式变为在上恒成立问题，求出的最大值即可.【详解】因为，①得，又和分别为偶函数和奇函数，所以，②由①②相加得，又在上恒成立即在上恒成立，设，则只需，易知在上为增函数，，所以，故答案为：.【变式12-4】（24-25高一上·海南三亚·期中）已知函数（其中为常数，且）的图象经过点．(1)求的表达式；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【知识点】求指数函数解析式、指数函数最值与不等式的综合问题【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可.（2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可.【详解】（1）由题意，函数的图象经过点,则，解得，所以函数.（2）不等式在上恒成立，则，令，因为函数在上是减函数，所以，所以.即实数的取值范围为.【考点题型十三】解指数型函数不等式【例13】（2022秋·广东江门·高一校考期中）已知函数是指数函数，且它的图象过点．(1)求函数的解析式；(2)求，，；(3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式．【答案】(1)(2)，，(3)作图见解析，．【分析】设函数，且，把点代入即可求得的值，进而可得函数的解析式．根据函数的解析式求得、、的值．画出指数函数的图象，由不等式，可得，由此解得的范围．【详解】（1）设函数，且，把点代入可得，求得，所以函数的解析式为．（2）由（1）可知，所以，，．（3）画出指数函数的图象如下图所示：

所以函数在上单调递增；由不等式，可得，解得，故不等式的解集为．【变式13-1】（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的单调函数，若对，都有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数函数的单调性解不等式【分析】根据题意，由条件可得，从而求得的值，再由函数的单调性，即可求解不等式.【详解】因为函数是定义在上的单调函数，且对，都有，则为常数，设这个常数是，则，即，又，即，所以，因为在上单调，所以方程有唯一解，则，所以，且在上单调递增，又，由可得，解得，所以不等式的解集为.故选：C【变式13-2】（24-25高一上·浙江杭州·期中）如果，则的取值范围为.【答案】【知识点】由指数函数的单调性解不等式【分析】根据指数函数的单调性得到，由此求解出结果.【详解】因为，且在上单调递增，所以，解得，故答案为：.【变式13-3】（24-25高一上·贵州·期中）已知函数，且，则不等式的解集为.【答案】【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式【分析】根据可得，再分析函数的单调性求解即可.【详解】因为，故，解得.易得为增函数，为增函数，且当时，，，故在R上单调递增.故即，故，解得.故答案为：【变式13-4】（2023·全国·高一专题练习）已知函数且，且的图象过点.(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)由，求得，从而可得答案；（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.【详解】（1）的图象过点，，又（2）在R上单调递增.【考点题型十四】指数型函数最值问题【例14】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)设函数，若存在最小值，求实数的值.【答案】(1)最小值为，最大值为8(2)6【知识点】求二次函数的值域或最值、含参指数函数的最值【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果.【详解】（1）当时，，设，则，开口向上，对称轴，所以函数在上单调递减，上单调递增，所以，，所以在上的最小值为，最大值为8.（2），设，当且仅当，即时取得等号，所以，，对称轴.当，即时，，在上单调递增，则当时，，解得，不满足题意；当，即时，在上单调递减，上单调递增，所以时，，解得或（舍去），综上，实数的值为6.【变式14-1】（2021·江苏·高一期中）若指数函数在上的最大值与最小值的和为，则（

）A．或 B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的定义可得出，然后分、两种情况讨论，分析函数的单调性，结合已知条件可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】因为函数为指数函数，所以.当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得或（舍）；当时，在上的最大值为，最小值为，则，解得（舍）或（舍）.综上可知，.故选：C.【变式14-2】（22-23高一上·北京·期末）函数在区间上的最小值是，则的值是.【答案】或【知识点】含参指数函数的最值、根据二次函数的最值或值域求参数【分析】分和两种情况讨论，结合复合函数单调性即可求解.【详解】令，则，其对称轴为，当时，因为，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，，解得，当时，因为，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，，解得.综上，所以或.故答案为：或【变式14-3】（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数（且）．(1)当时，解不等式；(2)已知函数在上的最大值与最小值之差为，求实数的值．【答案】(1)(2)或【知识点】根据指数函数的最值求参数、含参指数函数的最值、由指数函数的单调性解不等式【分析】（1）代入后求解即