专题07 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期末专项训练15大题型95题）（原卷版及全解全析）高一数学上学期人教A版

2/24专题07函数的应用（零点与方程的根、函数模型）题型1求函数的零点（常考点）题型9求方程的根及根的个数（重点）题型2用零点存在性定理判断零点所在区间（常考点）题型10二分法的应用（重点）题型3零点存在性定理的概念判断（重点）题型11函数零点与方程的根的综合应用（难点）题型4根据零点所在区间求参数范围题型12函数零点及方程的根解答题（难点）题型5求函数的零点个数（常考点）题型13指数函数模型（常考点）题型6根据函数零点的个数求参数范围（难点）题型14对数函数模型（常考点）题型7比较零点的大小关系题型15建立拟合函数模型解决实际问题（重点）题型8求图象的交点及交点个数（重点）题型一求函数的零点（共5小题）1．（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是.2．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则函数的零点是.3．（24-25高一上·广东·期末）若函数有一个零点是1，则函数的零点是（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则.5．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型二用零点存在性定理判断零点所在区间（共4小题）6．（24-25高一上·河北唐山·期末）设函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·广东广州·期末）函数的零点所在的一个区间是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数在上的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．题型三零点存在性定理的概念判断（共5小题）10．（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在内至少有两个解”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．非充分非必要条件12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数在区间上的图象是连续不断地，设，在区间中至少存在一个零点，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（24-25高一上·山西·月考）已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间（1，3）上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件14．（22-23高一上·北京海淀·期末）函数在区间上的图像是连续不断的，则“”是“函数在区间上没有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型四根据零点所在区间求参数范围（共4小题）15．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．16．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点在区间内，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．17．（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（

）A． B． C． D．18．（23-24高一上·山西晋中·期末）已知函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围是.题型五求函数的零点个数（共5小题）19．（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．320．（24-25高一上·福建福州·期末）函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．621．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．322．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．323．（24-25高一上·陕西·期末）当时，函数的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．7题型六根据函数零点的个数求参数范围（共8小题）24．（24-25高一上·四川·期末）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．25．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．26．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．28．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．29．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．30．（24-25高一上·湖北随州·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．31．（24-25高一上·吉林长春·期末）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．题型七比较零点的大小关系（共3小题）32．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）A． B． C． D．33．（23-24高一上·山东日照·期末）若，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．34．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的零点分别为，则大小顺序为.（按由小到大排列）题型八求图象的交点及交点个数（共8小题）35．（23-24高一上·重庆·期末）函数的交点所在的一个区间是（

）A． B．C． D．36．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．637．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．438．（24-25高一上·云南玉溪·期末）当时，曲线与的交点个数为．39．（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（

）．A． B．1 C．或1 D．240．（24-25高一上·浙江宁波·期末）若函数与函数的图象有交点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型九求方程的根及根的个数（共7小题）41．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（

）A． B． C． D．42．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．243．（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．444．（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定45．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．446．（23-24高一上·湖北·月考）已知函数，当时，方程的根的个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．647．（22-23高一上·浙江台州·期中）设方程的根为，方程的根为，则的值为（

）A．4 B．2 C．0 D．题型十二分法的应用（共6小题）48．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示：则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（

）A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.3249．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在区间为（

）A． B． C． D．50．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是（

）A． B．C． D．51．（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

52．（24-25高一上·河南濮阳·期末）（多选）下列所给函数中，不能使用二分法求解其零点所在区间的有（

）A． B．C． D．53．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上有一个零点，如果用二分法求的近似值（精确度为），则应将区间至少等分的次数为.题型十一函数零点与方程的根的综合应用（共10小题）单选题54．（24-25高一上·云南曲靖·期末）设函数，若关于x的方程有四个实根、、、，则的取值范围为（

）A． B． C． D．55．（24-25高一上·河南周口·期末）已知函数，若方程有3个不同的实数根，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．56．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．57．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（

）A． B． C． D．58．（24-25高一上·河南南阳·期末）设函数若恰有两个零点，则实数t的取值范围是（

）A． B．C． D．多选题59．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，若满足关于的方程恰有三个不同的实数解，则下列选项中，一定正确的是（

）A． B． C． D．60．（24-25高一上·四川巴中·期末）已知函数实数满足，且，则（

）A．B．C．D．函数有5个互不相等的零点61．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为，则下列说法正确的是（

）A． B．的最小值为4C． D．方程最多有10个不同的实根填空题62．（24-25高一上·上海静安·期末）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为63．（24-25高一上·河北保定·期末）已知奇函数，在上单调，若对任意都有，则解的个数为.题型十二函数零点及方程的根解答题（共10小题）64．（24-25高一上·江西九江·期末）已知函数.(1)若为偶函数，求的值；(2)讨论的零点个数.65．（24-25高一上·重庆·期末）若函数.(1)若，求函数的零点：(2)若函数在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.66．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期末）已知函数为偶函数，.(1)求的值；(2)若方程有且只有一个零点，求实数的取值范围.67．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知（），对任意都有．(1)求的值；(2)若当时方程有唯一实根，求的范围．68．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；(3)若函数在区间上有且仅存一个零点，求实数的取值范围．69．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数．(1)若，求实数的取值范围；(2)若当时，关于的方程有且仅有一个实数解，求实数的取值范围．70．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，不等式解集为，(1)设函数在上存在零点，求实数的取值范围；(2)当时，函数的最小值为，求实数的值．71．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数.(1)判断并用定义证明在上的单调性；(2)若函数恰有4个零点，求实数的取值范围.72．（24-25高一上·贵州黔南·期末）已知函数是偶函数，.(1)求函数的解析式；(2)求函数的零点；(3)若函数有零点，求k的取值范围.73．（24-25高一上·北京顺义·期末）已知函数，且函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)设函数，判断函数在区间上的单调性，并证明你的判断；(3)设函数，写出函数的零点个数.（结论不要求证明）题型十三指数函数模型（共8小题）74．（24-25高一上·山东威海·期末）某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（

）A．4次 B．5次 C．6次 D．7次75．（24-25高一上·云南保山·期末）某市GDP的年平均增长率为，按此增长率，大约经过年后该市GDP会翻一番，则为（参考值，）（

）A．14 B．16 C．18 D．2076．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）荷花定律是一个非常著名的定律.据研究者收集的信息，池塘里荷花开放的程度，有如下规律，第一天开放的只是一小部分，第二天，它们会以前一天的两倍速度开放.到第29天时荷花恰好开满了一半，到第30天才会开满整个池塘.下列函数能较好反映池塘里荷花开放的程度y与时间x（1-30天）之间的变化规律的是（

）A． B． C． D．77．（24-25高一上·河南驻马店·期末）某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（

）A． B． C． D．78．（24-25高一上·重庆·期末）某催化剂的活性指标K（单位：kgPP/gCat）与反应温度t（单位：℃）满足函数关系：（其中a，b为常数），若在20℃时的活性指标为13kgPP/gCat，在40℃时的活性指标为85kgPP/gCat，则该催化剂在50℃的活性指标为（

）A．252kgPP/gCat B．247kgPP/gCatC．227kgPP/gCat D．127kgPP/gCat79．（24-25高一上·四川内江·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（

）（本题参考数据：）A． B． C． D．80．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（

）个月.（参考数据：）A．80 B．90 C．100 D．12081．（24-25高一上·广东广州·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（

）A． B． C． D．题型十四对数函数模型（共7小题）82．（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（

）A．5000 B．6000 C．7000 D．800083．（24-25高一上·云南德宏·期末）北京时间2024年10月30日4时27分，搭载神舟十九号载人飞船的长征二号遥十九运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，约10分钟后，神舟十九号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满成功.据测算，在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.据悉，此次发射火箭全长，起飞质量（火箭起飞质量燃料质量火箭质量），若火箭的最大速度达到，则燃料质量约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．84．（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍85．（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．86．（24-25高一上·云南昆明·期中）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位:）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，那么当耗氧量的单位数为时，鲑鱼的游速为（

）A． B． C． D．87．（24-25高一上·广西柳州·期末）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位：m/s)可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数，当一条鲑鱼以2m/s的速度游动时，它的耗氧量的单位数为（

）A．8100 B．8000 C．1000 D．110088．（24-25高一上·上海奉贤·期末）如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度（单位：）与燃料质量（单位：），火箭（除燃料外）的质量（单位：）之间的函数关系是，这里表示以为底的自然对数．若已知火箭的最大速度为，火箭的质量约为，则火箭需要加注的燃料质量约为（

）．A． B． C． D．题型十五建立拟合函数模型解决实际问题（共7小题）89．（24-25高一上·江西·期末）近几年，直播平台逐渐被越来越多的人们关注和喜爱．某平台从2021年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2024年，该平台会员每年年．末的人数如下表所示：（注：第4年数据为截止至2024年10月底的数据）建立平台第年1234会员人数（千人）16285286(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末会员人数：①，②且，③且；(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．90．（24-25高一上·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：天数123舆论场指数1248156为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.91．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示：5101520254550555045已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③.(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式；(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？92．（24-25高一上·江西景德镇·期末）现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：时间/min012345水温/℃1009284.878.3272.4967.24设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型：①；②；③.(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）；93．（24-25高一上·贵州安顺·期末）正值安顺市创建全国文明城市之际，某单位积极倡导“环保生活，低碳出行”，其中电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速.经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据如表所示：为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，.(1)当时，请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)现有一辆该型号汽车从地驶到地，前一段是的国道，后一段是的高速路，若已知高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少?94．（24-25高一上·云南大理·期末）在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系如下表：236912153.23.53.844.14.2根据表格中的数据画出散点图如下：为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；(2)请选取表格中的，两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个.95．（24-25高一上·重庆万州·月考）有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的数据，如下表所示：607080901008.81113.616.620为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下两种函数模型供选择：①；②.(1)请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式.(2)现有一辆同型号电动汽车从A地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的B地，出发前汽车电池存量为，汽车到达B地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）.已知该高速公路上有一功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间）.（i）求出行驶过程中，耗电量的函数解析式，并说明其单调性（不需证明）.（ii）若不充电，该电动汽车能否到达B地？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从A地到达B地所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值.

专题6.2向量基本定理、向量的坐标表示及向量的应用【清单01】共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa【清单02】平面向量基本定理如果是一平面内的两个不共线向量，那么对于这个平面内任意向量，有且只有一对实数，使.其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．【点拨】(1)由平面向量基本定理可知，在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量的分解式是唯一的，即0＝λ1e1＋λ2e2，且λ1＝λ2＝0．(2)对于固定的e1，e2(向量e1与e2不共线)而言，平面内任一确定的向量的分解是唯一的，但平面内的基底却不唯一，只要平面内的两个向量不共线，就可以作为基底，它有无数组．(3)定理推广：平面内任意三个不共线的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一．【清单03】直线上向量的坐标对于直线l上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数x，使得a=xe，此时，x称为向a的坐标.【清单04】直线上向量的运算与坐标的关系1.直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.2.如果u,v是两个实数，x1,x2分别为向量a,b的坐标，那么ua+vb的坐标为ux1+vx2;ua-vb的坐标为ux1-vx2;3.设A(x1)，B(x2)，则数轴上两点之间的距离公式AB=|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2--x1|；中点坐标公式【清单05】平面向量的坐标1．平面向量的正交分解把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量，叫做平面向量的正交分解．2．平面向量的坐标表示(1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．(2)坐标：对于平面内的一个向量a，__有且只有一__对实数x、y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做向量a在x轴上的坐标，y叫做向量a在y轴上的坐标．(3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．(4)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．3．向量与坐标的关系设eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yi，则向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标(x，y)．因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示．即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．【清单06】平面向量上向量的运算与坐标的关系1.设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：文字描述符号表示加法两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)减法两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差a－b＝(x1－x2，y1－y2)数乘实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的__相应坐标__λa＝(λx1，λy1)向量坐标公式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)2.向量的模：【清单07】平面直角坐标系中两点距离公式、中点坐标公式设，A,B的中点M（x,y）,则，..【清单08】向量平行的坐标表示平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，当且仅当__x1y2＝x2y1__时，a∥b．【点拨】两个向量共线条件的三种表示方法已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)当b≠0时，a＝λb．这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0．这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和，程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)．即两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．【清单09】平面向量线性运算的应用1．向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下方面：(1)证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的意义．(2)证明线段平行、三角形相似，判断两直线(或线段)是否平行，常运用向量平行(共线)的条件：a∥b⇔a＝λb(或x1y2－x2y1＝0)．（3）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题．【点拨】向量方法在平面几何中应用的几点说明：(1)要证明两线段平行，如AB∥CD，则只要证明存在实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))成立，且AB与CD无公共点．(2)要证明A、B、C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))．2．向量在物理中的应用数学中对物理背景问题主要研究下面两类：(1)力向量力向量是具有大小、方向和作用点的向量，它与前面学习的自由向量不同，但力是具有大小和方向的量，在不计作用点的情况下，可用向量求和的平行四边形法则，求两个力的合力．(2)速度向量速度向量是具有大小和方向的向量，因而可用求向量和的平行四边形法则，求两个速度的合速度．【考点题型一】应用共线向量定理证明点共线【例1】（2021秋·新疆喀什·高一校考期末）如图，在中，，，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.【答案】证明见解析【分析】用、为一组基底表示出、，即可得到，从而得证.【详解】证明：设，，由已知点是的中点，点在上，且，，，、、三点共线.【变式1-1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】D【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.【详解】对于A，，与不共线，A不正确；对于B，，，则与不共线，B不正确；对于C，，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．故选：D．【变式1-2】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（

）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题【分析】根据向量共线定理一一分析即可.【详解】对A，，则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；对D，，因为，故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误.故选：A.【变式1-3】（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（

）A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【答案】B【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误.，，则.则，则，两个向量由公共点.故A，B，D三点共线.故B正确.同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误.，，则，则不存在唯一，使得，故D也错误.故选：B.【变式1-4】（23-24高一下·四川乐山·期末）已知是不共线的向量，且，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】B【知识点】由坐标解决三点共线问题【分析】根据题意，结合向量的共线的坐标表示，列出方程组，即可求解.【详解】因为向量是不共线的向量，且，对于A中，设，即，可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以A不正确；对于B中，设，且，可得，可得，解得，所以三点共线，所以B正确；对于C中，设，且，可得，可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以C不正确；对于D中，设，可得，可得，此时方程组无解，所以三点不共线，所以D不正确.故选：B.【考点题型二】应用共线向量定理证明（向量）线平行【例2】（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，，(1)求证：；(2)判断三点的位置关系.【答案】(1)证明见解析；(2)三点共线【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、平面向量共线定理证明线平行问题【分析】（1）求出，找到使成立的即可证明；（2）根据可知三点共线.【详解】（1）证明：，因此，（2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线.【变式2-1】（多选）（23-24高一下·山东泰安·开学考试）下列各组向量中，一定能推出的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ABC【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题【分析】根据共线向量定理，即可判断选项.【详解】A.，即，故A正确；B.，即，故B正确；C.，，则，故C正确；D.，，只有当或，此时，否则，所以向量不平行，故D错误.故选：ABC【变式2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各小题中的向量，是否共线：(1)，；(2)，（其中两个非零向量和不共线）；(3)，.【答案】(1)共线；(2)共线；(3)共线.【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量数乘的有关计算【分析】用向量共线定理判断.【详解】（1），，所以，所以，共线.（2），,所以，所以，共线.（3）因为，，所以，所以.所以，共线.【变式2-3】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，，求证：与共线.【答案】证明见解析【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、平面向量的混合运算【分析】根据向量的线性运算及共线定理证明.【详解】因为，所以由共线向量定理知，与共线.【变式2-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知、、均为非零向量，其中的任意两个向量都不平行，且与是平行向量，与是平行向量，求证：与是平行向量．【答案】证明见解析【知识点】平行向量（共线向量）、平面向量共线定理证明线平行问题【分析】借助共线向量的性质推导即可得证.【详解】由题意可设，，则有，而不共线，即有，即，则，故与是平行向量.【考点题型三】有向量共线（平行）求参数【例3】（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（

）A． B．. C．1 D．2【答案】D【知识点】已知向量共线（平行）求参数【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值.【详解】由于，，三点共线，所以与共线.存在实数，使得，即.因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则.由，将其代入可得.故选：D.【变式3-1】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知向量共线（平行）求参数【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解.【详解】因为，设，则，即，解得，故选：C.【变式3-2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知向量共线（平行）求参数【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解.【详解】因为，设，则，即，解得，故选：C.【变式3-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【知识点】已知向量共线（平行）求参数、基本不等式求和的最小值【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即，又向量不共线，所以，由，所以，当且仅当时，取“=”号，故选：B【变式3-4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，则，解得：，.故选：C【考点题型四】用基底表示向量【例4】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在中，是边BC的中点，是AM上一点，且，则（

）

A． B． C． D．【答案】A【知识点】用基底表示向量【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】因为是上一点，可设，由题意知所以解得，所以，故选：A.【变式4-1】（2024高二下·福建·学业考试）如图，已知平行四边形ABCD，，E为CD中点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用基底表示向量【分析】根据平面向量的线性运算求解即可.【详解】.故选：D.【变式4-2】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.【详解】依题意，，而，所以故选：D【变式4-3】（24-25高三上·河南三门峡·期中）如图，平行四边形ABCD中，，若，则（

）

A． B．C． D．【答案】C【知识点】用基底表示向量【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形为平行四边形，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所以.故选：C.【变式4-4】（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，已知在平行四边形中，E，F分别是，边上的中点.若，，试以为一组基表示，【答案】【知识点】平面向量基本定理的应用【分析】直接利用平行四边形法则和三角形法则求解．【详解】解：由于在中，，分别是，边上的中点，则，，故答案为；，．【考点题型五】平面向量基本定理的应用【例5】（2024高一·全国·专题练习）如图，在△ΟAB中，，，F是OA中点，线段OE与BF交于点G，试用基底表示．【答案】【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】根据平面向量基本定理和共线定理，建立方程组解出参数，即可得出结论．【详解】由点O，G，E共线，设，易得．由点共线，设，所以，即．①所以，所以，即，解得，所以．【变式5-1】（2019·山东滨州·二模）在中，为的重心，为上一点，且满足，则（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论．【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：根据向量加法运算可得,因为G为的重心，所以.又M满足，即.所以.故选：D.【变式5-2】（多选）（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】CD【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性.【详解】如图：对A：，故A错误；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D正确.故选：CD【变式5-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在中，已知D是的中点，G是的重心，设向量，向量．试用向量、分别表示向量、、．【答案】；；【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量的基本定理求解即可．【详解】解：在中，已知是的中点，是的重心．又向量，向量．则；；．【变式5-4】（2023·高一课时练习）设,是不平行的向量，且，．(1)证明：,是平面向量的一个基；(2)用,的线性组合表示．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面向量共线定理解决即可；（2）根据平面向量基本定理解决即可.【详解】（1）证明：若,平行，则，即，所以．因为,不平行，所以，因为该方程组无解，所以，平行不成立，所以，不平行，所以，是平面向量的一个基．（2）设，又因为，由向量基本定理，得，解得所以．【考点题型六】利用平面向量基本定理求参数【例6】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，过重心E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设，，（，），则的最小值是.【答案】【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论求出的关系，再利用基本不等式求出最小值.【详解】在中，点为重心，则，而点共线，则，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值是.故答案为：【变式6-1】（21-22高一下·江苏扬州·期中）在中，为的中点，为的中点，若，则等于（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数【分析】由向量的线性运算结合图形特征，求出的值即可.【详解】在中，为的中点，为的中点，则，所以，.故选：B【变式6-2】（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是AB的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【知识点】平面向量基本定理的应用、用基底表示向量、向量的线性运算的几何应用【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.【详解】因为，所以为的中点，又D是AB的中点，所以，则，.故选：B.【变式6-3】（22-23高一下·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得.【详解】由，得，则，而三点共线，则，所以.故选：B【变式6-4】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】向量加法的法则、平面向量基本定理的应用【分析】设，根据图形由向量的加法法则运算即可；【详解】设，因为是边的中点，所以，所以，，又，所以，解得，故选：B.【考点题型七】向量的坐标运算【例7】（22-23高一下·全国·课后作业）设D是所在平面内一点，，设，，则在基下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用坐标表示平面向量、用基底表示向量、平面向量的混合运算【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理计算可得.【详解】因为，所以，所以，因此向量在基下的坐标为.故选：D.【变式7-1】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据向量的坐标表示运算求解.【详解】因为，所以.故选：C.【变式7-2】（22-23高一下·全国·课后作业）已知，则下面说法正确的是（

）A．A点的坐标是 B．B点的坐标是C．当B点是原点时，A点的坐标是 D．当A点是原点时，B点的坐标是【答案】D【知识点】用坐标表示平面向量【分析】根据平面向量的坐标运算逐项判断即可.【详解】由平面向量的坐标表示可知，当A点是原点时，B点的坐标是.故选：D.【变式7-3】（17-18高一下·湖南岳阳·期末）已知中，，，对角线、交于点，则的坐标为（

）.A． B． C． D．【答案】B【知识点】平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据平行四边形法则可得，根据即可得结果.【详解】∵，，根据平行四边形法则可得，则，故选：B.【变式7-4】（23-24高一下·全国·单元测试）已知，，求：(1)；(2).【答案】(1)(2)【知识点】平面向量线性运算的坐标表示【分析】（1）（2）由向量线性运算的坐标运算，即可得到结果..【详解】（1）因为，，所以.（2）因为，，所以.【考点题型八】根据向量的坐标运算求参数【例8】（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为.【答案】【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数【分析】由题意得，设点，结合已知即可列方程组求解.【详解】因为点P在的延长线上，使，所以，设点，而，所以，解得.故答案为：.【变式8-1】（23-24高一下·新疆·期中）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数【分析】由平面向量加法的坐标运算求解即可．【详解】已知向量，，则，解得．故选：B．【变式8-2】（19-20高一下·北京·期末）已知向量，，若，则实数的值为（

）A．-4 B．4 C．-1 D．1【答案】C【知识点】平面向量线性运算的坐标表示【解析】可求出，从而可得出，解出的值即可.【详解】由题意，向量，，所以，可得，解得.故选：C.【变式8-3】（多选）（23-24高一下·四川绵阳·期中）点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】AD【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算结果求参数【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解.【详解】设点坐标为，因为向量，，则，，当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为，当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为，故选：AD【变式8-4】（23-24高一下·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是．【答案】【知识点】由向量线性运算结果求参数【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求的坐标.【详解】设，则，故，即，解得，故点的坐标为.故答案为：.【考点题型九】向量共线的坐标判断【例9】（23-24高一下·湖南永州·阶段练习）已知，，三点的坐标分别为，，，且，．(1)求点，的坐标(2)判断与是否共线．【答案】(1)，(2)共线【知识点】由坐标判断向量是否共线、由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示【分析】（1）根据向量的坐标运算列方程组求出坐标；（2）根据向量的坐标表示判断向量的共线.【详解】（1）依题意得，．设，由，可知，即解得点的坐标为由，可知，即解得点的坐标为．（2）由（1）可知，又，，故与共线．【变式9-1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知识点】基底的概念及辨析、由坐标判断向量是否共线【分析】根据向量的共线与否，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，与共线，所以不能作为基底，故A错误，对于B，，故两向量共线，B错误，对于C，，，，两向量不共线，故可作为基底，C正确，对于D，，两向量共线，D错误，故选：C【变式9-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）下列各组向量中，不共线的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【知识点】由坐标判断向量是否共线【分析】根据平面向量共线的充要条件进行判断．【详解】A．，共线，不符合题意；B．，共线，不符合题意；C．不存在一个实数使得，不共线，符合题意；D．，共线，不符合题意；故选：C．【变式9-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列向量中与共线的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【知识点】由坐标判断向量是否共线【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断.【详解】对于A，，所以不共线，A错误；对于B，，所以共线，B正确；对于C，，所以不共线，C错误；对于D，，所以不共线，D错误.故选：B【变式9-4】（2024高一下·全国·专题练习）下列各组向量是平行向量的有．(填序号)①；②；③；

④.【答案】①【知识点】由坐标判断向量是否共线【分析】根据向量共线的坐标公式逐一判断即可.【详解】对于①，因为，所以；对于②，因为，所以不平行；对于③，因为，所以不平行；对于④，因为，所以不平行.故答案为：①.【考点题型十】利用向量共线（平行）求参数【例10】（23-24高一下·广东茂名·期中）已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为.【答案】【知识点】线段的定比分点、平面向量有关概念的坐标表示【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解.【详解】设，因为点在线段AB上，且，即，所以，即，解得：，，即点的坐标为.故答案为：【变式10-1】（21-22高一下·江苏盐城·期中）已知向量，，．若，则．【答案】5【知识点】由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据给定条件，求出向量的坐标，再借助向量共线的坐标表示计算作答.【详解】向量，，，则，因，则有，解得，所以.故答案为：5【变式10-2】（22-23高一下·江苏扬州·期中）已知点，，且，则点P的坐标为．【答案】【知识点】用坐标表示平面向量、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数【分析】设，由得到方程组，求出，得到答案.【详解】设，则由得，所以，解得，故点P的坐标为.故答案为：【变式10-3】（21-22高三上·陕西延安·阶段练习）已知向量，且，则实数的值为.【答案】/【知识点】由向量共线（平行）求参数【分析】利用向量共线的坐标表示列出方程式，解得.【详解】因为，，且，所以，得.故答案为：.【变式10-4】（23-24高一下·甘肃白银·阶段练习）设，是两个不共线的向量，，，．(1)求证：三点共线；(2)试确定的值，使与共线．【答案】(1)证明见解析.(2).【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理证明点共线问题【分析】（1）证明和共线即可证三点共线；（2）由向量共线定理求解即可．【详解】（1）由题意，且，所以,所以和共线，故三点共线.（2）因为与共线，所以存在实数，使得，又因为不共线，所以，解得或.所以.【考点题型十一】坐标运算与三点共线问题【例11】（23-24高一下·上海·期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．【答案】或【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数、平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量，，，所以，,因为，，三点共线，所以平行，所以，即，将代入中，得或.【变式11-1】（23-24高一下·山东滨州·期末）已知点，，，若A，B，C三点共线，则x的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数【分析】运用向量共线可解．【详解】若A，B，C三点共线，则共线.即，则.故选：C.【变式11-2】（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，且实数，若A，B，C三点共线．则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、由坐标解决三点共线问题【分析】由三点共线转化为两个向量共线，即共线，由向量共线的坐标表示计算．【详解】，，因为A，B，C三点共线，所以，则，解得或，，.故选：D.【变式11-3】（23-24高一下·北京·期中）若三点共线，则实数的值为.【答案】5【知识点】由坐标解决三点共线问题、由向量共线（平行）求参数【分析】由共线即可列方程求解.【详解】因为，所以，而三点共线，所以共线，所以，解得.故答案为：5.【变式11-4】（23-24高一·上海·课堂例题）已知为坐标原点，在中，向量，，且，，．求、、三点的坐标，并判断、、三点是否共线．【答案】，，，、、三点共线【知识点】由坐标解决三点共线问题、平面向量线性运算的坐标表示【分析】根据平面向量线性运算的坐标运算表示出，，，即可求出、、三点的坐标，再求出，，即可判断三点共线.【详解】因为，，则，所以；又，，则，所以；又，所以；因为，，所以，即，又直线与直线有公共点，所以、、三点共线.【考点题型十二】向量的线性运算应用--几何【例12】（23-24高一·上海·课堂例题）在中，已知点分别是三角形的外心、重心和垂心．求证：、、三点共线．（此直线称为欧拉线）【答案】证明见解析【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、向量在几何中的其他应用【分析】法一：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，根据平行四边形的判定得出四边形为平行四边形，再根据平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质可得为的重心，即与重合，即可证明；法二：由平面向量线性运算及三角形重心的性质证明即可．【详解】方法一：证明：作的外接圆，连接，并延长交外接圆于点，作中线，连接，设交于点，如图所示，因为为直径，所以，则，又因为点为的垂心，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，因为是中点，是中点，所以，，所以，，所以，则，又为的中线，所以点是的重心，即点和点重合，所以、、三点共线．方法二：由法一得，四边形为平行四边形，所以，所以，因为点为的重心，所以，所以，即，由，，得，所以、、三点共线．【变式12-1】（19-20高一下·全国·课后作业）四边形是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形是矩形，试用向量法证明：.【答案】证明见解析.【知识点】向量在几何中的其他应用、用向量解决线段的长度问题【分析】根据给定条件，建立坐标系，利用向量的坐标表示推理计算即得.【详解】在正方形中，建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则，由P是对角线DB上一点(不包括端点)，令，而，则，即，由四边形是矩形，得，因此，则，，于是，所以.【变式12-2】（22-23高一·全国·随堂练习）用向量的方法证明：梯形的中位线等于两底和的一半．【答案】证明见解析【知识点】用向量解决线段的长度问题【分析】利用向量加法法则，结合梯形的特征用两底边所表示向量表示出中位线所表示向量，即可证结论.【详解】如下图，梯形ABCD中，且为中位线，则，，又，所以，又同向，所以所以梯形的中位线等于两底和的一半.

【变式12-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设P、Q分别是梯形的对角线与的中点，求证：.【答案】证明见解析【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量减法的运算律、向量加法的运算律【分析】根据梯形特征得出向量关系再结合向量加减法，得出向量的数乘关系可以