专题12概率原卷版及全解全析

专题12概率【清单01】古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．【清单02】概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．【考点题型一】随机事件【例1】.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（

）A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球【变式1-1】.有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（

）A．互斥但非对立事件 B．对立事件C．非互斥事件 D．以上都不对【变式1-2】.某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生”（

）A．是对立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件【变式1-3】.（多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（

）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件【考点题型二】古典概率【例2】.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？【变式2-1】.中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（

）A． B． C． D．【变式2-2】.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（

）A． B． C． D．【变式2-3】.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（

）A． B． C． D．【变式2-4】.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.【变式2-5】.黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求x的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.【考点题型三】概率的性质【例3】.已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（

）A． B． C． D．【变式3-1】.已知样本空间，事件，，则（）A． B． C． D．【变式3-2】.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”（

）A．与互斥 B．与对立C． D．【变式3-3】.下列说法正确的是（

）A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小B．若，则事件与是对立事件C．当不互斥时，可由公式计算的概率D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的【变式3-4】.如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（

）

A． B． C． D．【考点题型五】事件相互独立【例5】.（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥B．事件与事件对立C．事件与事件相互独立D．【变式5-1】.为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（

）A． B． C． D．【变式5-2】.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（

）A． B． C． D．【变式5-3】.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（

）A． B． C． D．【变式5-4】.2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.(1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率；(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.【变式5-5】.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.【考点题型六】频率估计概率【例6】.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（

）A． B． C． D．【变式6-1】.下列说法中正确的是（

）A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1【变式6-2】.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6【变式6-3】.已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（

）A．患此疾病的病人被治愈的可能性为B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的【变式6-4】.甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（

）A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.5171．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（

）A． B． C． D．3．掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（

）A． B． C． D．4．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（

）A．2% B．3% C．6% D．8%4．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（

）A．若，是对立事件，则B．若，是互斥事件，，则C．若，且，则，是独立事件D．若，是独立事件，，则5．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（

）A．A与B，A与，与B，与都相互独立B．与是对立事件C．D．6．（多选）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（

）A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”7．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（

）A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．8．（多选）已知事件两两互斥，若，则（

）A． B． C． D．9．（多选）下列说法不正确的是（

）A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水10．（多选）已知事件，满足：，，则（

）.A．若，互斥，则B．若，互斥，则C．若，互相独立，则D．若，互相独立，则11．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（

）A．与是互斥事件 B．与互为对立事件C．发生的概率为 D．与不相互独立12．某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为．13．已知事件两两互斥，若，则.14．为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值;(2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标?(3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率.15．已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.16．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．(1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？(2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）(3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．17．树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层随机抽样中，已知总体划分为2层，把第一层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把第二层样本记为，，，…，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．(1)证明：；(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差（精确到1）；(3)如果数学成绩分数在内，记为C等，成绩等级为C的有4名学生；数学成绩分数在60分以下，记为D等，成绩等级为D的有2名学生．现从成绩等级为C，D的学生中随机抽取2名学生进行调研，求抽出的2名学生中至少有1名学生成绩等级为D的概率．附：，，．18．用分层随机抽样从某校高一年级学生的数学月考成绩（满分为100分，成绩都是整数）中抽取一个样本量为100的样本，其中男生成绩数据40个，女生成绩数据60个，再将40个男生成绩样本数据分为6组：，绘制得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计男生成绩样本数据的第75百分位数；(2)在区间和内的两组男生成绩样本数据中，随机抽取两个进行调查，求调查对象来自同一组的概率；(3)已知男生成绩样本数据的平均数和方差分别为71和177.75，女生成绩样本数据的平均数和方差分别为73.5和119，求总样本的平均数和方差.19．某教育集团高一期末考试，从全集团的政治成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：(1)求图中的值；(2)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率；(3)已知落在的平均成绩，方差，落在的平均成绩，方差，求落在的平均成绩，并估计落在的成绩的方差.20．我省实行“”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高二年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A等级排名占比，赋分分数区间是86～100；B等级排名占比，赋分分数区间是71～85；C等级排名占比，赋分分数区间是56～70；D等级排名占比，赋分分数区间是41～55；E等级排名占比，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：(1)求图中a的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的众数和中位数（结果为准确值）；(2)用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B等级及以上（含B等级）；（结果保留整数）(3)若采用分层抽样的方法，从原始成绩在和内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在内的概率．

专题12概率【清单01】古典概型（1）定义一般地，若试验具有以下特征：①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率．【清单02】概率的基本性质（1）对于任意事件都有：．（2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．（3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．（5）概率的单调性：若，则．（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．【考点题型一】随机事件【例1】.从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A与事件B互斥却不互为对立（

）A．事件A：3个球中至少有1个红球；事件B：3个球中至少有1个白球B．事件A：3个球中恰有1个红球；事件B：3个球中恰有1个白球C．事件A：3个球中至多有2个红球：事件B：3个球中至少有2个白球D．事件A：3个球中至多有1个红球；事件B：3个球中至多有1个白球【答案】B【详解】对于A，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故A错误；对于B，事件与事件不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件与事件互斥却不互为对立，故B正确；对于C，事件与事件可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件与事件不是互斥事件，故C错误；对于D，事件与事件不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件与事件是互斥事件也是对立事件，故D错误．故选：B．【变式1-1】.有—个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，事件“甲向南”与事件“乙向南”是（

）A．互斥但非对立事件 B．对立事件C．非互斥事件 D．以上都不对【答案】A【详解】因为甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每个方向一人，所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不能同时发生，但能同时都不发生，故事件“甲向南”与事件“乙向南”是互斥但非对立事件；故选：A【变式1-2】.某小组有名男生和名女生，从中任选名学生参加比赛，事件“至少有名男生”与事件“至少有名女生”（

）A．是对立事件 B．都是不可能事件C．是互斥事件但不是对立事件 D．不是互斥事件【答案】D【详解】解：根据题意，从2名男生和1名女生中任选2名学生参加比赛，有“2名男生”和“1名男生和1名女生”两种情况，易得“至少有1名女生”即“1名男生和1名女生”，是“至少有1名男生”的子事件，故事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”不是互斥事件．故选：D．【变式1-3】.（多选）从装有3个红球和3个黑球的口袋内任取两个球，则下列说法正确的是（

）A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”是互斥而不对立的事件B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”不是互斥事件C．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而且是对立的事件D．“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件【答案】BD【详解】“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故A错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故B正确；“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故C错误；“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故D正确．故选：BD．【考点题型二】古典概率【例2】.甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？【答案】(1)答案见解析(2)(3)游戏不公平，理由见解析【详解】（1）分别用2，3，4，表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为，共12种不同的情况.（2）甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是，（3）甲抽到的牌的数字比乙的大，有，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为.因此＜，所以此游戏不公平.【变式2-1】.中国古代数学著作主要有《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，若从上述5部书籍中任意抽取2部，则抽到《九章算术》的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】用分别表示《周髀算经》，《九章算术》，《海岛算经》，《四元玉鉴》，《张邱建算经》，从上述5部书籍中任意抽取2部，则样本空间为，可知，设抽到《九章算术》为事件M，则，可知，所以.故选：D.【变式2-2】.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，样本空间包含，共个，抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件为，个数，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为.故选：C.【变式2-3】.一场数字游戏在两个非常聪明的学生甲､乙之间进行，老师在黑板上写出，2024共2023个正整数，然后随意擦去一个数，接下来由乙､甲两人轮流擦去其中一个数（即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去一个数），如此下去，若最后剩下的两个数互为质数（如2和3），则判甲胜；否则（如2和4），判乙胜，按照这种游戏规则，甲获胜的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是要看裁判擦去哪个数，注意2，3，4，⋅⋅⋅，2024中有1011个奇数，1012个偶数.（1）若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.理由如下：乙不管甲擦去什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后剩下两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜.（2）若裁判擦去的是偶数，则甲一定获胜.理由如下：设裁判擦去的是，则将余下的数配成1011对，每对数由一奇一偶的相邻两数组成：这样，不管乙擦去什么数，甲只要擦去所配对中的另一个数，最后剩下两个相邻的整数，它们互质，故甲必获胜.甲获胜的概率为.故选:B.【变式2-4】.数学来源于生活，约3000年以前，我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有5根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.【答案】【详解】因为1根算筹只能表示1；2根算筹可能表示2和6；3根算筹可能表示3和7；4根算筹可能表示4和8；5根算筹可能表示5和9，所以5根算筹可能表示的两位数有14，18，41，81，23，27，63，67，32，72，36，76，共12个，其中能被4整除的有32，72，36，76，共4个，所以用1~9这9个数字表示的所有两位数中，能被4整除的概率是.故答案为：【变式2-5】.黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求x的值；(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率.【答案】(1)(2)83.33(3)【详解】（1）由图知：，可得.（2）由，所以分位数在区间内，令其为，则，解得.所以满意度评分的分位数为83.33.（3）因为评分在的频率分别为，则在中抽取人，设为；在中抽取人，设为；从这6人中随机抽取2人，则有：，，共有15个基本事件，设选取的2人评分分别在和内各1人为事件，则有，共有8个基本事件，所以.【考点题型三】概率的性质【例3】.已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由事件互斥，且都不发生为13，则，又，所以，解得，，所以.故选：C.【变式3-1】.已知样本空间，事件，，则（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，且事件，，则，所以.故选：A【变式3-2】.抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件为“向上的点数为1或4”，事件为“向上的点数为奇数”（

）A．与互斥 B．与对立C． D．【答案】C【详解】抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A为“向上的点数为1或4”，对于A，事件A与事件B能同时发生，A错误；对于B，事件A与事件B能同时发生，B错误；对于CD，抛掷一颗质地均匀的骰子，包含的基本事件个数为，而基本事件总数，∴，故C正确，D错误；故选：C.【变式3-3】.下列说法正确的是（

）A．同时发生的概率一定比中恰有一个发生的概率小B．若，则事件与是对立事件C．当不互斥时，可由公式计算的概率D．某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的【答案】C【详解】对于A，对于两个不可能事件来说，同时发生的概率与恰有一个发生的概率相等，均为零，故A中说法错误；对于B，在条件下，事件与事件不一定互斥，故事件A与B不一定是对立事件，故B中说法错误；对于C，根据概率的性质可知，当，不互斥时，，故C中说法正确；对于D，某事件发生的概率只与该事件本身有关，与实验次数无关，故D中说法错误.故选：C.【变式3-4】.如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】，则,则.故选：B【考点题型五】事件相互独立【例5】.（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（

）A．事件与事件互斥B．事件与事件对立C．事件与事件相互独立D．【答案】AC【详解】样本空间为，，，．对于A，因为，所以事件与事件互斥，故A正确；对于B，因为，，所以事件与事件不对立，故B错误；对于C，，，，，即事件与事件相互独立，故C正确；对于D，因为，所以事件与事件不互斥，故D错误．故选：AC.【变式5-1】.为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛.已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为，，，则甲、乙、丙三位同学在比赛中都不能成功包制一个粽子的概率为，则在比赛中至少一人成功的概率为.故选：C【变式5-2】.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时，则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．都付0元的概率为；都付2元的概率为；都付4元的概率为．所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．故选：D.【变式5-3】.投掷一枚均匀硬币和一个均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件，“骰子向上的点数大于4”为事件，则事件，中至少有一个发生的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意得事件，中至少有一个发生的对立事件是事件，都不发生，而事件不发生的概率为，事件不发生的概率为，所以事件，都不发生的概率为，故事件，中至少有一个发生的概率是，故D正确.故选：D【变式5-4】.2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题.已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立.(1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率；(2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率.【答案】(1)和(2).【详解】（1）设甲､乙､丙三名同学各自成功解出该道题分别为事件.因为，所以.又，所以，即.又，所以，即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为和.（2）设这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件，则，所以这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为.【变式5-5】.为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是.(1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率；(2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；(3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是，甲考生通过某校强基招生面试的概率为.（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为，甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：.（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为，甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：.【考点题型六】频率估计概率【例6】.【变式6-1】.下列说法中正确的是（

）A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率B．在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有确定性C．随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率D．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1【答案】C【详解】频率与概率不是同一个概念，故A错误；在次随机试验中，一个随机事件发生的频率具有随机性，故B错误；随着试验次数的增大，一个随机事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，故C正确；在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故D错误．故选：C．【变式6-2】.已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6【答案】C【详解】由题意可知，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：533

224

344

254

424

435

335

233

232

353

442共11组，因此，所求概率为.故选：C.【变式6-3】.已知某医院治疗一种疾病的治愈率为，下列说法正确的是（

）A．患此疾病的病人被治愈的可能性为B．医院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈C．如果前9位病人都没有治愈，第10位病人一定能被治愈D．医院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的【答案】A【详解】某医院治疗一种疾病的治愈率为，对于A，患此疾病的病人被治愈的可能性为，故A正确；对于B，医院接收10位患此疾病的病人，每个人被治愈的可能性为，不一定有一位病人被治愈，故B错误；对于C，如果前9位病人都没有治愈，第10位病人不一定能被治愈，故C错误；对于D，医院接收10位患此疾病的病人，不一定有能被治愈的，故D错误．故选：A.【变式6-4】.甲同学在数学探究活动中做抛硬币实验，共抛掷了2000次，其中正面朝上的有1034次，则下列说法正确的是（

）A．抛掷一枚硬币，正面朝上的概率为0.517B．甲同学的实验中，反面朝上的频率为0.483C．抛掷一枚硬币，反面朝上的概率小于0.5D．甲同学的实验中，正面朝上的频率接近0.517【答案】B【详解】甲同学的实验中，正面朝上的频率为0.517，反面朝上的频率为0.483，故B正确；抛掷一枚硬币，正面朝上与反面朝上的概率均为0.5，为定值，故AC错误；甲同学的实验中，正面朝上的频率就是0.517，而不是接近0.517，故D错误.故选：B【变式6-5】.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生之间的随机数：425123423344144435525332152342534443512541135432334151312354若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设事件“三天中至少有两天下雨”，20个随机数中，至少有两天下雨有，即事件发生了13次，用频率估计事件的概率近似为．故选：D．1．一个袋中有6个大小和质地相同的球，其中红球4个，黑球2个，现从中不放回地依次随机摸取2次，每次摸出1个球，则第二次摸出的球是红球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】第二次摸出的球是红球的事件有两种情况：第一次摸到黑球，第二次摸到红球的概率为，第一次摸到红球，第二次摸到红球的概率为，所以第二次摸出的球是红球的概率为.故选：A.2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：

，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率.故选：A.3．掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为掷出的两个骰子点数之和是5，则事件A发生的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】掷两枚质地均匀的骰子根据题意总共有36种可能，掷出的两个骰子点数之和是5有：,共有4种可能.根据古典概型概率公式得，.故选：D4．某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.调查中使用了两个问题.问题1：你父亲的公历出生月份是不是奇数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的密封袋子，每个被调查者随机地从袋中摸取1个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最终盒子中的小石子为56个，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（

）A．2% B．3% C．6% D．8%【答案】C【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球，摸到白球和红球的概率都为，因此，这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年12个月中，奇数的占一半，所以对第一个问题回答“是”的概率为所以这100个回答第一个问题的学生中，约有50人回答了“是”，从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为．故选：C4．设，为两个随机事件，以下命题正确的为（

）A．若，是对立事件，则B．若，是互斥事件，，则C．若，且，则，是独立事件D．若，是独立事件，，则【答案】C【详解】对于A，若是对立事件，则，A错误；对于B，若是互斥事件，，则，B错误；对于C，，则，，又，则是独立事件，C正确；对于D，若是独立事件，则是独立事件，而，则，D错误.故选：C5．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，设“甲中靶”，“乙中靶”，则（

）A．A与B，A与，与B，与都相互独立B．与是对立事件C．D．【答案】A【详解】对于A：由于两人射击的结果没有相互影响，则A与B，A与，与B，与都相互独立，故A正确；对于B：表示事件“甲中靶且乙未中靶”，其对立事件为“甲中靶且乙中靶或甲未中靶”，即与不是对立事件，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：A6．（多选）从装有3只红球，3只白球的袋中任意取出3只球，则下列每对事件，是互斥事件，但不是对立事件的是（

）A．“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”B．“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”C．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”D．“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”【答案】AB【详解】从袋中任意取出3个球，可能的情况有：“3个红球”“2个红球、1个白球”“1个红球、2个白球”“3个白球”.对于A：“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同事发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件，故A正确；对于B：“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”不可能同事发生，是互斥事件，但有可能同时不发生，故不是对立事件，故B正确；对于C：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”不可能同事发生，是互斥事件，其中必有一事件发生，故是对立事件，故C错误；对于D：“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同事发生，故不是互斥事件，不可能是对立事件，故D错误.故选：AB.7．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件“出现点数为奇数”，事件“出现点数为3”，事件“出现点数为3的倍数”，事件“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（

）A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．【答案】ABD【详解】由题意，样本空间为，对于A，，这意味着不可能同时发生，故A正确；对于B，，这意味着中有且仅有一个事情发生，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，所以，故D正确.故选：ABD.8．（多选）已知事件两两互斥，若，则（

）A． B． C． D．【答案】ACD【详解】因为事件两两互斥，所以，故D正确；，则，故A正确；，则，故B错误；，故C正确.故选：ACD9．（多选）下列说法不正确的是（

）A．某种福利彩票的中奖概率为，那么买1000张这种彩票一定能中奖B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率C．某医院治疗一种疾病的治愈率为，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈D．某市气象台预报“明天本市降水概率为”，指的是该市气象台专家中，有认为明天会降水，30%认为不降水【答案】ACD【详解】对于A，中奖概率为是指买一次彩票，可能中奖的概率为，不是指1000张这种彩票一定能中奖，故A错误；对于B，试验次数越多，频率就会稳定在概率的附近，故B正确；对于C，某医院治疗一种疾病的治愈率为，是指一位病人被治愈的概率为，不是说每10名患者就一定有一人被治愈，故C错误．对于D，“明天本市降水概率为”指下雨的可能性为，故D错．故选：ACD．10．（多选）已知事件，满足：，，则（

）.A．若，互斥，则B．若，互斥，则C．若，互相独立，则D．若，互相独立，则【答案】AD【详解】当，互斥时，，又，，所以，A正确；当，互斥时，事件，不可能同时发生，所以，B错误；当，互相独立，则，又，，所以，D正确；当，互相独立时，，C错误.故选：AD.11．（多选）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（

）A．与是互斥事件 B．与互为对立事件C．发生的概率为 D．与不相互独立【答案】BC【详解】由题意，不放回地随机取两次，共有种情况，={(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}共15个样本点，={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，(1，3)，(2，3)，(4，3)，(5，3)，(6，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(4，5)，(6，5)}共15个样本点，故，故C正确;事件与可以同时发生，不是互斥事件，故A错误;={(1，3)，(1，5)，(2，4)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，2)，(4，6)，(5.1)，(5，3)，(6，2)，(6，4)}共12个样本点，故，D={(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，1)，(4，3)，(4，5).(5，2)，(5.4)，(5，6)，(6，1)，(6，3)，(6，5)}共18个样本点，所以C与D互为对立事件，故B正确;事件BC={(3，1)，(5，1)，(1，3)，(5，3)，(1，5)，(3，5)}共6个样本点，所以，所以B与C相互独立，故不D正确.故选：BC.12．某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为．【答案】【详解】利用概率性质求解【分析】设掷一枚质地均匀的骰子出现点数为1或2为事件，则，骰子出现点数为3，4，5，6为事件，则，甲箱摸出红球为，乙箱摸出红球为，设顾客中奖为事件，所以，，所以．故答案为：．13．已知事件两两互斥，若，则.【答案】【详解】因为事件两两互斥，所以，又因为，所以，同理可得，所以.故答案为：.14．为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值;(2)若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过9小时，则认为该市区高中生阅读量达标.以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标?(3)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率.【答案】(1)(2)该市区高中生阅读量达标(3)【详解】（1）由题意可知：每组的频率依次为，则，解得，所以a的值为.（2）周平均阅读时间的平均数的估计值为，且，，可知周平均阅读时间的中位数的估计值，则，解得，因为，，所以该市区高中生阅读量达标.（3）在抽取学生人数为，设为；在三组中抽取学生人为，设为；在三组中抽取学生人数为，设为；设样本空间为，这两人周平均阅读时间均在内为事件M，列表可得：12345ABCDb1╱╳╳╳╳╳╳╳╳╳2╱╱╳╳╳╳╳╳╳╳3╱╱╱╳╳╳╳╳╳╳4╱╱╱╱╳╳╳╳╳╳5╱╱╱╱╱╳╳╳╳╳A╱╱╱╱╱╱√√√╳B╱╱╱╱╱╱╱√√╳C╱╱╱╱╱╱╱╱√╳D╱╱╱╱╱╱╱╱╱╳b╱╱╱╱╱╱╱╱╱╱可知，,所以.15．已知甲、乙两袋中各装有4个质地和大小完全相同的小球，甲袋中有红球2个、白球1个、蓝球1个，乙袋中有红球1个、白球1个、蓝球2个.(1)从两袋中随机各取一球，求取到的两球颜色相同的概率；(2)从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，求取到至少一个红球的概率.【答案】(1)(2)【详解】（1）设甲袋中的红球为，白球为，篮球为，乙袋中的红球为，白球，篮球为，则从两袋中各取一球，所有基本事件如下：，，，，故基本事件的总数为.设为“取到的两球颜色相同”，则含有的基本事件如下：共5个基本事件，则.（2）如（1）中所设，从甲袋中随机取两球，从乙袋中随机取一球，总的基本事件如下：，，，，，，基本事件的总数为，设为“取到至少一个红球”，其对立事件设为，则为“没有取到红球”，含有的基本事件如下：，共有3个，故，故.16．某滑雪场开业当天共有600人滑雪，滑雪服务中心根据他们的年龄分成，，，，，六个组，现按照分层抽样的方法选取20人参加有奖活动，这些人的样本数据的频率分布直方图如下图所示，从左往右分别为一组、二组、三组、四组、五组、六组．(1)求并估计开业当天所有滑雪的人年龄在有多少人？(2)由频率分布直方图估计样本平均数和中位数；（求得数据四舍五入保留两位小数，同一组的数据用该组区间的中点数值代替）(3)在选取的这20人样本中，从年龄不低于35岁的人中任选两人参加抽奖活动，求这两个人来自同一组的概率．【答案】(1)，(2)，(3)【详解】（1）由题意可得：，则，所以估计开业当天滑雪的人年龄在内有人.（2）由题意可得：，又因为，可知，则解得：.（3）中的人数：，分别记为；中的人数：，分别记为中的人数：，记为则任选两人的情况有，共种，其中来自同一组有，共种，所以两个人来自同一组的概率为.17．树人中学高一（1）班某次数学质量检测（满分150分）的统计数据如下表：性别参加考试人数平均成绩标准差男3010016女209019在按比例分配分层