清单01 集合与逻辑（考点清单知识导图+10个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学上学期期末考点大串讲（湘教版2019必修第一册）（原卷版）

清单01集合与逻辑（10个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.【清单02】元素与集合关系元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N，正整数集，记作N*或N+，整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R【清单03】集合的表示方法1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.【清单04】集合与集合的关系（子集、真子集、空集）（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.记作：（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.记作：A=（3）真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。记作：AB（或BA）（4）空集：不含有任何元素的集合称为空集，记作：.规定：空集是任何集合的子集。高端结论：（1）（类比）（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。（3）若则（类比，则）（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。【清单05】集合的运算（并集、交集、补集）（1）并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn图表示：（2）交集一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：（3）补集：全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：高端结论（1）（2）（3），（4）若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立（5）若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB【清单06】充分条件与必要条件充要条件概念与判断(1)概念:符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.(2)充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.【清单07】全称量词与全称量词命题1.全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述句中表示所述事物的全体，称为全称量词，用符号“”表示.2.全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题.3.全称量词命题的形式：对集合M中的所有元素x，，简记为：对.【清单08】存在量词与存在量词命题1.全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分，称为全存在量词，用符号“”表示.2.存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题.3.存在量词命题的形式：存在集合M中的元素x，，简记为：对.【清单09】命题的否定1.一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定.

2.如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然.（1）全称量词命题的否定一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题：.（2）存在量词命题的否定一般地，存在量词命题“”的否定是全称量词命题：.【清单10】判断命题真假的方法(1)真命题的判定方法.要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.(2)假命题的判定方法.通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.【考点题型一】元素与集合的关系技巧：判断元素与集合关系的两种方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可。（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征。【例1】若，则的所有可能的取值构成的集合为（）A． B．C． D．【变式1-1】已知集合，且，，则（

）A． B．C． D．【变式1-2】已知集合，若，则（

）A． B． C． D．或【变式1-3】已知集合，若，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．【变式1-4】已知集合，若，则实数的值为（

）A． B．1 C．或 D．无解【考点题型二】韦恩图及其应用技巧：Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.【例2】已知全集，集合，，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（

）A． B． C． D．【变式2-1】自年起，江西新高考采用“”模式，其中，“”为全国统考科目，即语文、数学、外语；“”为首选科目，考生要在物理、历史科目中选择门；“”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物学个科目中选择门.已知某校首选科目为物理的考生有人，其中再选科目选了化学的有人，再选科目没有选生物学的有人，再选科目同时选了化学和生物学的有人，则该校首选科目为物理的考生中，再选科目同时选了思想政治和地理的人数是（

）A． B． C． D．【变式2-2】已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【变式2-3】已知全集，集合，，那么下面的韦恩图中，阴影部分所表示的集合为（

）A． B． C． D．【变式2-4】已知集合或，则图中的阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【考点题型三】根据集合间的关系求参数技巧：根据集合之间关系，求参数的值或范围：1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示.2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视.【例3】已知集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C．0,2 D．【变式3-1】已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-2】已知集合，非空集合，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3-3】已知集合，，且，则（

）A．0 B．0或 C． D．1【变式3-4】已知集合或x>1，，且，则的取值范围是（

）A． B．C． D．或【考点题型四】根据两集合相等求参数技巧：集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．【例4】若集合，则（

）A．0 B．1 C． D．1，【变式4-1】设，集合，集合，若，则的值为（

）A．1 B．0 C． D．【变式4-2】若集合，集合，且，则（

）A．， B．，C．， D．不确定【变式4-3】已知，若集合，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【变式4-4】含有三个实数的集合可以表示为，也可以表示为，则的值为（

）A．1 B． C．0 D．或1【考点题型五】集合的交集、并集与补集的混合运算技巧：求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.【例5】已知全集，，，则（

）A． B．C． D．【变式5-1】设全集，，，则（

）A． B． C． D．【变式5-2】已知集合，则（

）A． B．C． D．【变式5-3】设全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【变式5-4】已知全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【考点题型六】充分、必要条件的判断技巧：1．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：(1)充分不必要条件，即p⇒q，而qp.(2)必要不充分条件，即pq，而q⇒p.(3)充要条件，既有p⇒q，又有q⇒p.(4)既不充分也不必要条件，既有pq，又有qp.2．充分条件与必要条件的判断．(1)直接利用定义判断：即“若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)(2)利用等价命题的关系判断：“p⇒q”的等价命题是“¬q⇒¬p”即“若¬q⇒¬p”成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．【例6】已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-1】（已知集合，则“”是“”（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-2】（“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式6-3】（已知集合（），则“”是“集合仅有1个真子集”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式6-4】（“”的一个充分不必要条件是（

）A． B． C．或 D．【考点题型七】根据充分、必要条件求参数取值范围技巧：(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．【例7】若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-1】已知或，，若是的必要条件，则实数的范围是（）A． B． C． D．【变式7-2】已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式7-3】关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（

）A． B． C． D．【变式7-4】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【考点题型八】由全称或存在量词命题的真假确定参数取值范围技巧：解题方法：（等价转化，分离参数）（1）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围（2）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围A，最后取A的补集（3）对于命题p，，通过否定转化为恒成立问题，确定出a的取值范围（4）对于命题p，，通过分离参数的方法求得参数的取值范围【例8】已知命题，，若为真命题，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式8-1】若“”为真命题.“”为假命题，则集合可以是（

）A． B．C． D．【变式8-2】已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式8-3】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式8-4】已知命题p：“，”，命题q：“，”.若命题p和命题都是真命题，则实数a的取值范围是（

）A．或 B．