平面与平面位置关系复习 课件 2025-2026学年职教高考一轮复习

职教高考一轮复习9.7平面与平面位置关系复习第九章立体几何直击高考考点考点解读山东省近五年春季高考统计常考题型2020年2021年2022年2023年2024年平面与平面的位置关系①理解平面与平面的位置关系②掌握平面与平面平行、垂直关系的判定与性质③理解平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题④理解二面角的概念，并会解决相关的简单问题———(27)—解答题本节平面与平面的位置关系的性质及判定为重点考查内容之一，难度中等，注意加强计算能力与空间想象能力的训练．面面平行知识梳理1．平面与平面的位置关系（两个不重合）(1)平行：无公共点；(2)相交：有一条公共直线．2．平面与平面的平行位置关系内容图形表示符号表示平面与平面平行定义若两个平面①___________，则称这两个平面平行α∥β没有公共点位置关系内容图形表示符号表示平面与平面平行判定定理若一个平面内有两条②________直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行⇒α∥β相交平面与平面平行推论若一个平面内的两条③________直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行⇒α∥β相交用于证明面面平行位置关系内容图形表示符号表示平面与平面平行性质定理若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线④________⇒a∥b平行两个平行平面的公垂线与两个平行平面都垂直的直线叫作这两个平行平面的⑤________夹在两个平行平面间的⑥________(图中的线段AB)的长度叫作两个平行平面间的距离公垂线公垂线段3．二面角二面角内容图形表示符号表示定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角α－AB－β二面角的平面角在二面角的棱上任取一点，以这个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则①__________所组成的角叫作二面角的平面角，它的取值范围是②________∠COD两条射线[0，π]直二面角平面角是③________的二面角叫作直二面角∠COD＝90°直角4．平面与平面的垂直面面垂直内容图形表示符号表示定义两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相①________∠COD＝90°α⊥β垂直判定定理若一个平面经过另一个平面的一条②________，则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β垂线性质定理若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们③________的直线④________于另一个平面

⇒l⊥α交线垂直用于证明面面垂直空间垂直关系关键点是线面垂直！典例分析【知识要点1】两个平面的位置关系【例1】

(1)已知α，β表示平面，m，n表示直线，下列命题中正确的是(

)A．若m∥α，m⊥n，则n∥αB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若α∥β，m⊂α，则m∥βD．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC【解析】本题主要考查线线、线面、面面之间的关系．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，因此A错误；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m与n不相交，m与n异面或m∥n，因此B错误；若α∥β，m⊂α，则m与β不相交，即m∥β，则C正确；若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，且m，n相交时，才有α∥β，因此D错误．故选C.(2)已知α，β，γ三个平面，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ的位置关系为(

)A．平行B．垂直C．相交D．平行或相交D【举一反三1】有下列五个命题：①两个平行平面中的一个平面内的直线必平行于另一个平面；②分别在两个平行平面内的两条直线平行；③若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直线必与另一个平面相交；④若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行；⑤夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．其中，正确命题的序号是________．①③④⑤【提示】

本题考查面面平行的推论及性质．可用克隆功能拖曳【知识要点2】平面与平面平行的判定【例2】如图9－7－1所示，四面体O－ABC中，点E，F，G分别是OA，OB，OC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.证明：∵点E，F，G分别是OA，OB，OC的中点，∵EG∥AC，EF∥AB.又∵EG∩EF＝E，且EG⊂平面EFG，EF⊂平面EFG，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴平面EFG∥平面ABC.活动设计：学生口述步骤，教师利用蒙层展现步骤【举一反三2】

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别是A1B1和AB的中点．求证：平面MAC1∥平面B1NC.证明：∵棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是矩形，∴A1B1∥AB，∵点M，N分别是A1B1，AB的中点，∴B1M∥AN，且B1M＝AN.B1N∩NC＝N，且B1N⊂平面B1NC，NC⊂平面B1NC，∴平面MAC1∥平面B1NC.【知识要点3】

平面与平面平行的性质【例3】如图9－7－3所示，已知平面α∥平面β，点P是α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求线段PD的长．【解析】本题考查面面平行的性质，关键在于利用面面平行推出线线平行，由空间几何问题转化为平面几何问题．证明：∵PB∩PD＝P，∴PB，PD确定一个平面，记作γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又∵α∥β，∴AC∥BD.∴＝

，即

＝

，则PD＝

＝(cm).【举一反三3】(1)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(

)A．16 B．24或C．14或

D．20B注意考虑要全面！利用好初中几何相似形知识(2)在四棱锥P－ABCD中，已知底面ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.证明：如图所示，取CD的中点E，连接ME，NE.∵M，N分别是AB，PC的中点，∴ME∥AD，NE∥PD，∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD.又∵ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面PAD.又∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PAD.还可以怎么证明【知识要点4】平面与平面垂直的判定【例4】如图9－7－5所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD.求证：平面PAD⊥平面PCD.证明：∵AB∥CD，∠DAB＝90°，∴CD⊥AD，∵PA⊥面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，又∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.关键从其中一个平面内找到一条具有更多垂直关系的线，去证明线面垂直！【举一反三4】如图9－7－6所示，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，求证：平面SAB⊥平面SBC.证明：∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC；又∵正方形ABCD中BC⊥AB，且AB∩SA＝A，∴BC⊥平面SAB，∵BC⊂平面SBC，∴平面SAB⊥平面SBC.活动设计：启发学生综合分析，理清思路，教师利用蒙层展现步骤【知识要点5】

平面与平面垂直的性质【例5】如图9－7－7所示，在四棱锥S－ABCD中，已知底面ABCD是正方形，侧面SAD是正三角形，且侧面SAD⊥底面ABCD.求侧棱SB与底面所成角的正切值．∴tan∠SBO＝

＝

＝.【举一反三5】在三棱锥S－ABC中，已知SA⊥底面ABC，且侧面SAB⊥侧面SBC.求证：AB⊥BC.证明：过点A作AD⊥SB于点D，如图所示．又∵侧面SAB⊥侧面SBC，侧面SAB∩侧面SBC＝SB，AD⊂侧面SAB，∴AD⊥侧面SBC.又∵BC⊂侧面SBC，∴BC⊥AD.∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥BC.又∵SA∩AD＝A，∴BC⊥侧面SAB.又∵AB⊂侧面SAB，∴AB⊥BC.活动设计：教师启发引导学生探究思路，并利用蒙层展现步骤【知识要点6】

二面角【例6】如图9－7－10所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC交BD于点O，求二面角D1－AC－D的余弦值．【解析】连接D1O，B1D1(图略).∵B1B⊥底面ABCD，∴B1B⊥AC.又∵BD⊥AC，BD∩B1B＝B，∴AC⊥平面BB1D1D，∴D1O⊥AC，DO⊥AC，∴∠D1OD是二面角D1－AC－D的平面角．设正方体的棱长为2，则DO＝.在Rt△D1OD中，D1O＝

＝

，∴cos∠D1OD＝

＝

＝.【举一反三6】如图所示，在棱长都相等的正三棱锥S－ABC中，二面角S－AB－C的余弦值为________．【提示】

取AB的中点O，连接SO，OC(图略)，则∠SOC是二面角S－AB－C的平面角．设棱长为2a，则SO＝OC＝

a.在△SOC中，由余弦定理可得cos∠SOC＝.一、选择题1．已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ.下列各项中能推出α∥β的是(

)A．a∥α，b∥β，a∥bB．a⊥γ，b⊥γ，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b⊥β，a∥bD．a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αC随堂检测2．下列命题中，正确的是(

)A．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则平面α⊥平面βB．过平面α外一点P有且只有一个平面β与平面α垂直C．若直线l∥平面α，l⊥平面β，则平面α⊥平面βD．垂直于同一个平面的两个平面平行C3．已知α，β是两个不同平面，m，n是两条不同直线．有四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α⊥β；②若m⊥α，n∥α，则m⊥n；③若α∥β，m⊂α，则m∥β；④若m∥n，α∥β，则m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中，正确命题的个数是(

)A．1B．2C．3D．4C4．如图所示，已知直二面角α－m－β，在α内的直线PA⊥m，在β内的直线PB与m不垂直，则∠APB是(

)A．锐角 B．钝角C．锐角或钝角 D．直角D5．若直线a∥平面β，则下列说法中正确的是(

)A．平面β内不存在与a垂直的直线B．平面β内有且只有一条与a垂直的直线C．平面β内有且只有一条与a平行的直线D．平面β内有无数条直线与a不平行D二、填空题6．已知正方形ABCD的边长为1，若将该正方形沿对角线AC折成60°的二面角，则B，D两点间的距离等于________．7．已知平面α与β平行，直线l被两平面截得的线段长为6cm，直线l与平面所成的角是60°，则这两平面间的距离为________．9cm8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C1－AB－D的大小为________．三、解答题9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．(1)求证：BD1∥平面AEC；(2)判断CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，并说明理由．(1)证明：连接BD，交AC于点O，连接EO，则O为BD的中点．又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.(2)解：当点F为CC1的中点时，平面AEC∥平面BFD1.理由如下：如图所示，连接BF，D1F.因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF∥ED1，CF＝ED1，所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥EC.又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，所以D1F∥平面AEC.由(1)知BD1∥平面AEC，又因为BD1∩D1F＝D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，所以平面AEC∥平面BFD1.10．如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求三棱锥C1－BCD的体积；(2)求证：平面C1BD⊥平面A1B1CD.(1)解：由正方体的棱长为1，可得△BCD的面积为

×1×1＝

，所以

×

×1＝.(2)证明：由CD⊥平面B1BCC1，又因为BC1⊂平面B1BCC1，得CD⊥BC1.在正方形B1BCC1中，B1C⊥BC1，且B1C∩CD＝C，B1C⊂平面A1B1CD，CD⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD，因为BC1⊂平面C1BD，所以平面C1BD⊥平面A1B1CD.选做2．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面．有四个命题：①若c⊥α，c⊥β，则α∥β；②若a⊥β，b⊥β，则a∥b；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若α⊥β，a⊥β，则a∥α.其中，正确命题的个数为(

)A．1B．2C．3D．4B3．如图所示的四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是(

)A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PADC5．如图所示，已知等边三角形ABC的边长为2，AD是BC边上的高．将△