《三角形的高、中线与角平分线》课件

第十一章

三角形11.1与三角形有关的线段

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

1.经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线；2.会画三角形的高、中线与角平分线；3.了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点.学习重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.学习难点：掌握钝角三角形的两短边上高的画法.1.画一画如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线.P

●AB2.

如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ACBAC=BC=AB3.如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？∠AOC=∠BOCACBO三角形的高的定义A从三角形的一个顶点，BC向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足D之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.012345678910012345012345知识点1三角形高的概念学生活动一

【一起探究】ABCD如右图，

线段AD是BC边上的高.012345678910012345012345几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°.你还能画出一条高来吗？一个三角形有三个顶点，应该有三条高.画一画(1)你能画出这个三角形的三条高吗?(2)这三条高之间有怎样的位置关系？O(3)锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?锐角三角形的三条高交于同一点；锐角三角形的三条高都在三角形的内部.如图所示；锐角三角形的三条高直角边BC边上的高是

;直角边AB边上的高是

;(2)AC边上的高是

;ABC(1)画出直角三角形的三条高，ABBC它们有怎样的位置关系？D直角三角形的三条高交于直角顶点.BD直角三角形的三条高

(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？ABCDEF(2)

AC边上的高呢？AB边上呢？BC边上呢？BFCEAD钝角三角形的三条高ABCDF(3)钝角三角形的三条高交于一点吗？(4)它们所在的直线交于一点吗？OE钝角三角形的三条高不相交于一点；钝角三角形的三条高所在的直线交于一点.311相交相交不相交相交相交相交三角形的三条高所在直线交于一点.三条高所在直线的交点的位置三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形内部直角顶点三角形外部例1作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(

)D素养考点1识别三角形的高方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段.在下图中，正确画出△ABC中边BC上高的是(

)

A

B

C

DADCBADCBADCBADCBC例2如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．素养考点2利用三角形的高求值解析：当BP⊥AC时，BP的值最小.∵S△ABC=BC·AD，S△ABC=AC·BP，∴BC·AD=AC·BP∴BC·AD=AC·BP∴6×4=5BP，BP=所以BP的最小值为方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度.解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC.(2)设AB边上的高为x，∵S△ABC=

BC·AE=AB·x∴BC·AE=AB·x，8×3=6x解得x=4.

我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？三角形中线的概念知识点2学生活动二

【一起探究】如图，点D是BC的中点，则线段AD是△ABC的中线，几何语言：BD=DC=BC．

在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线．三角形的中线的定义如上页图，画出△ABC的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线.

三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．

三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形.1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线.2.三角形的重心：三角形三条中线的交点.3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部.4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD.5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC.归纳总结例

如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为(

)A.19cm

B.22cm

C.25cm

D.31cm

利用三角形的中线求线段的值A素养考点3解：∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB

–AC.

∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，

∴△ACD的周长为25–6=19(cm).

如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线．

(1)AC=

AE，AE=_____；

CD=

；

AF=

AB；

(2)若S△ABC

=12cm2，

则S△ABD=

．2BD6cm²ABCDEFGEC

如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线．(3)若AB=4，AC=3，则△ABD的周长与△ACD的周长之差是______.ABCDEFG1在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗?知识点3三角形的角平分线学生活动三

【一起探究】BAC用量角器画最简便，用圆规也能.

在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.ABCD在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.12ABCD“三角形的角平分线”是一条线段.几何语言：∠1=∠2=∠BAC三角形的角平分线的定义每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.

(1)你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗?

(2)你能用折纸的办法得到它们吗?

(3)在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系?做一做三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点.三角形角平分线的性质

例

如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，

AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数.ABDC利用三角形的角平分线求角的度数素养考点4解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°，

∴∠DAC＝∠BAD＝34°.

在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，

∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD＝180°–36°–34°

＝110°.ABDC

如图，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则：

∠1=

；∠3=

；

∠ACB=2

.ABCDEF12341234∠2∠ABC∠41.（2023•裕华区校级二模）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）DABCD2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是（

）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形B3．下列说法正确的是（）A．三角形三条高都在三角形内B．三角形三条中线相交于一点C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在

三角形外D．三角形的角平分线是射线B4.如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B落在点B′的位置,则线段AC具有性质()

A.是边BB′上的中线

B.是边BB′上的高

C.是∠BAB′的角平分线

D.以上三种性质合一D5.填空：（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB=2＿＿,BD=＿＿，AE=＿＿＿.图①AFDCAC5.填空：(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=_______，∠3=________，∠ABC=2______.

图②∠CAD∠2∠BCF6.如图，在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm,△DBC的周长为25cm,求△ADC的周长.ADBC解：∵CD是△ABC的中线，

∴BD=AD

.

∵BC-AC=5cm,∴

△DBC与△ADC的周长差是5cm.又∵

△DBC的周长为25cm，∴

△ADC的周长为25-5=20(cm).ADBC7.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.解：∵点D是AC的中点，∴AD＝

AC.∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.三角形的重要线段概念图形表示法数量及交点位置三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段∵AD是△ABC的高线.∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°.3条高，锐角三角形：形内；钝角三角形：形外；直角三角形：直角顶点三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段3条，交点叫作三角形的重心.形内三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段3条，形内.学前温故新课早知1.由不在同一条直线上的三条线段

相接所组成的图形叫做三角形.

2.从一个角的顶点出发,把这个角分成

的两个角的

,叫做这个角的平分线.

首尾顺次

相等

射线

学前温故新课早知1.(1)如图①,从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的

.

(2)如图②,连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的

.

高

中线

学前温故新课早知(3)如图③,三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做

.

(4)如图④,画∠A的平分线AD,交∠A所对的边BC于点D,所得线段AD叫做△ABC的

.

三角形的重心

角平分线

学前温故新课早知2.如图,下列说法正确的是(

).A.如图①,由AB,BC,DE三条线段组成的图形是三角形B.如图②,已知∠BAD=∠CAD,则射线AD是△ABC的角平分线C.如图③,已知D为边BC上的中点,则射线AD是△ABC的中线D.如图④,已知AD⊥BC于点D,则线段AD是△ABC的边BC上的高D1.认识三角形的三条重要线段【例1】

下列说法中正确的是(

)A.平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线B.三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线C.钝角三角形的三条高都在三角形外D.三角形的三条中线总在三角形内解析:选项A,三角形的角平分线是一条线段,故本选项说法错误,不符合题意;选项B,三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段,故本选项说法错误,不符合题意;选项C,钝角三角形的两条短边上的高都在三角形外,最长边上的高在三角形内,故本选项说法错误,不符合题意;选项D,三角形的三条中线总在三角形内,本选项说法正确,符合题意.故选D.答案:D2.三角形的三条重要线段的简单应用【例2】

如图,已知AD,AE分别是△ABC的高和中线,A