2025-2026学年上海市宝山区通河中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区通河中学高一（上）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员

管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、填空题（共12题，满分42分，其中1-6题每题3分，7-12题每题4分）.1．已知全集，1，，集合，则．2．将化成有理数指数幂的形式．3．用反证法证明：若“且”，则“且”，第一步应假设．4．已知，则．5．已知幂函数的图象过点，则实数．6．“”是“一元二次方程有实数解”的条件．7．（4分）若、是方程的两根，则．8．（4分）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是．9．（4分）若不等式的解集为，，，则不等式的解集为．10．（4分）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为时成立．11．（4分）已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为．12．（4分）（文对任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是．这个函数叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么．二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．已知且，则下列不等式正确的是A． B． C． D．14．设，，则的值是A． B． C． D．15．下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．若，且，则的最大值为A．2 B． C．4 D．8三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤。17．（8分）已知集合，，，，，，若，求实数的值及．18．（8分）（1）已知，，，，，求证：；（2）已知实数，比较与的值的大小．19．（8分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求正数的取值范围．20．（10分）如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．（1）若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；（2）若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．21．（12分）法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；（3）已知集合，，有且仅有3个元素，这3个元素恰为直角三角形的三条边长，求，的值．

参考答案一、填空题（共有12题，满分42分，其中1-6题每题3分，7-12题每题4分）1．已知全集，1，，集合，则，．解：由于全集，1，，集合，根据集合补集运算可得，．故答案为：，．2．将化成有理数指数幂的形式．解：．故答案为：．3．用反证法证明：若“且”，则“且”，第一步应假设或．解：若“且”，则“且”，第一步应假设：或．故答案为：或．4．已知，则．解：因为，所以，故答案为：．5．已知幂函数的图象过点，则实数．解：幂函数的图象过点，则，解得．故答案为：．6．“”是“一元二次方程有实数解”的必要不充分条件．解：若一元二次方程有实数解，则△，解得：，故是的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．7．（4分）若、是方程的两根，则．解：和是方程的两个实数根，，，．故答案为：．8．（4分）若对任意实数恒成立，则实数的取值范围是，．解：对任意实数恒成立，若，则，满足题意；若，而不等式对任意实数恒成立，所以，综上：．故答案为：，．9．（4分）若不等式的解集为，，，则不等式的解集为，．解：因为不等式的解集为，，，所以，解得，则不等式即为，解得，故的解集为，．故答案为：，．10．（4分）对任意给定的实数，有，且等号当且仅当实数的取值范围为时成立．解：依题意，，由绝对值不等式的取等条件可得，当，即或时等号成立．故答案为：．11．（4分）已知集合，2，，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为4．解：由集合，2，，可得的可能情况有：，，，，，，，，，，，2，，其中，满足“若，则”的集合有：，，，，，故满足条件的集合的个数为4．故答案为：4．12．（4分）（文对任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，在实数轴（箭头向右）上是在点左侧的第一个整数点，当是整数时就是．这个函数叫做“取整函数”，它在生产实践中有广泛的应用．那么3595．解：根据题意可得，有1个0，，有2个1，，有4个2，有8个3，所以，令所以，．．故答案为：3595．二、选择题（本大题共有4题，满分12分，每题3分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题卷的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。13．已知且，则下列不等式正确的是A． B． C． D．解：因为，取，，则，故错误；因为且，取，则，故错误；若，则，故错误；因为且，所以，所以，故正确．故选：．14．设，，则的值是A． B． C． D．解：由，，得．故选：．15．下列函数中：①；②；③；④．其中图像不经过原点的函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：的图象过原点，，在处没定义，不过原点，的图象经过原点．故选：．16．若，且，则的最大值为A．2 B． C．4 D．8解：若，，可得，所以，当且仅当时等号成立，取，，得，所以，则，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为8．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题卷的相应位置写出必要的步骤。17．（8分）已知集合，，，，，，若，求实数的值及．解：，，，，，，且，中，或，解得：或，①当时，，1，，，，，不满足题意舍去；②当时，，0，，，，，满足题意，综上所述：实数的值为，，，0，1，．18．（8分）（1）已知，，，，，求证：；（2）已知实数，比较与的值的大小．解：（1）证明：因为，，，则，当且仅当，即，时，等号成立；（2）因为，因为，则，，当且仅当时，等号成立，可得，即，所以，当且仅当时，等号成立．19．（8分）已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为．（1）若，求；（2）若，求正数的取值范围．解：（1）根据题意，若，则有且，解可得，即不等式的解集为，，即，；（2），则；且，又由，，即，；若，则，必有，即的取值范围是，．20．（10分）如图所示，刘邦文化节期间，沛县文旅在大风歌广场搭建三块完全相同的矩形沛县传统文化展台，在三块展台四周（斜线部分）铺设观赏通道已知观赏通道宽度相同，三块展台面积均为150平方米．（1）若矩形沛县地方特产展台的长比宽至少多5米，求展台宽的取值范围；（2）若矩形沛县传统文化展台四周及中间观赏通道的宽度均为2米，在（1）的条件下，求矩形沛县传统文化展台宽为多少时，整个展示区域（展示区域包含三块展台和四周（斜线部分）观赏通道）面积最小，并求其最小值．解：（1）设矩形展台的宽为米，以为展台的面积为150平方米，则长为米，依题意，即，即，即，所以矩形展台宽的取值范围是，；（2）整个展示区域的宽为米，长为米，所以整个展台的面积为：，当且仅当，即时等号成立．所以矩形展台宽为10米时，整个展示区域的面积最小，最小值是722平方米．21．（12分）法国数学家佛朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理．韦达定理有着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定理完成以下问题．（1）关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值；（2）关于的方程有两个实数根、，若，求实数的值；（3）已知集合，，