2025-2026学年上海市民办上宝中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

2025-2026学年上海市民办上宝中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在△中，，如果，，那么的长为（）A． B．4 C．5 D．2．（4分）如果将一个锐角△的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角的正切值（）A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的3．（4分）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（）A． B． C． D．4．（4分）下列命题中，判断正确的个数为（）（1）如果与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）经过三点一定可以作一个圆；（4）同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．A．4 B．3 C．2 D．15．（4分）已知二次函数（其中、、为常数，且的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（）01230A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C．（4） D．6．（4分）已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于、两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点，的顶点为点，则这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为A．8 B．16 C．32 D．无法计算二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比是，那么它们的面积比是．8．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为30米，坡度，那么这段斜坡的铅垂高度为．9．（4分）若正边形的中心角为，边长为10．那么它的边心距为（用含的代数式表示）．10．（4分）将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是．11．（4分）如图，是高为60米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为．12．（4分）如图，分别在三角形纸板的顶点，处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点．，，．则的长度是．13．（4分）已知二次函数的顶点在轴上，则的值为．14．（4分）在△中，，，，以为圆心、为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是．15．（4分）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为．16．（4分）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为．17．（4分）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线把网格图分成了两个部分，其中△的面积为3，则的值为．18．（4分）如图，矩形中，，点在边上，，联结，将△沿着翻折，点的对应点为点，联结、，分别交边于点、，如果，则的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为边上一点，且．设，．（1）用，表示向量；（2）如果点是△的重心，那么向量（用，表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，已知△中，，，，过点作，且，联结交于点．（1）求的长．（2）以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．22．（10分）【实践情境】数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作、、的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四支木工笔、小刀、橡皮、手工锯子．【实践任务】仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后木板的一边．对核心任务进行数学抽象：如图①，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度直尺，在上确定点，使得．下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤：组：第一步：如图②，分别以点、为顶点，、为边作的角与交于点、，联结，交于点，过点作于点，并延长交于点；第二步：如图③，擦除线段，，，，点，，，仅保留，联结，交于点，过点作于点，并延长交于点．组：第一步，如图④，分别以点，点为顶点，为边作的角交于点；第二步：【书面任务】（1）在图②中，证明：为的中点；（2）在图③中，证明：；（3）组某同学计划先在上确定点，使，然后再确定点，使，请你结合该同学的操作思路，在图④上利用含直角三角板和无刻度直尺作出满足条件的点，并说明理由．23．（12分）如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且．（1）证明：；（2）证明：正方形的边长是与的比例中项．24．（12分）已知二次函数的图象与轴交于、，与轴交于点，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，点为轴上一动点．（1）求二次函数的解析式及点的坐标．（2）当点位于直线下方时，求点到直线距离的最大值．（3）将上述抛物线沿着轴翻折，得到的新抛物线与轴交于点，当时，求出点坐标．25．（14分）（1）如图1，正方形的边长为2，点为边的中点，联结，将△绕点顺时针旋转至△，联结交于点，爱思考的小王同学做了这样的辅助线，过点作，交于点，请沿着小王同学的思路思考下去，则的值为；（2）如图2，菱形的边长为6，，联结，点为边上一点，联结，将△绕点顺时针旋转至△，联结交于点，若，求的值；（3）如图3，在四边形中，，，，点为边上一点，将△绕点顺时针旋转至△，联结交于点，，求的长．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在△中，，如果，，那么的长为（）A． B．4 C．5 D．解：在△中，，，则，即，解得，，故选：．2．（4分）如果将一个锐角△的三边的长都扩大为原来的5倍，那么锐角的正切值（）A．没有变化 B．不能确定 C．扩大为原来的5倍 D．缩小为原来的解：由题知，将一个锐角△的三边的长都扩大为原来的5倍，所得新三角形与原三角形相似，所以锐角的大小没有改变，所以锐角的正切值没有变化．故选：．3．（4分）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（）A． B． C． D．解：由题知，因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且，所以．故选：．4．（4分）下列命题中，判断正确的个数为（）（1）如果与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）经过三点一定可以作一个圆；（4）同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等．A．4 B．3 C．2 D．1解：（1）如果与非零向量平行，那么存在唯一的实数，使得，正确，符合题意；（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；（3）经过不在同一直线上的三点一定可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；（4）同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等，错误，不符合题意．正确的有2个，故选：．5．（4分）已知二次函数（其中、、为常数，且的自变量与函数的对应值如表，根据表中的数据，下列判断中不正确的是（）01230A．函数图象开口向上 B．对称轴是直线 C．（4） D．解：观察表格可知（1）（3），故对称轴为直线，故选项正确；，故选项不正确；观察对称轴左边数据，自变量从0到2逐渐增大，函数值从0到逐渐减小，故在对称轴左边呈“左降”趋势，故抛物线开口向上，选项正确；，根据“左降”变化趋势，，故选项正确；故选：．6．（4分）已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于、两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线，，其中的顶点为点，的顶点为点，则这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为A．8 B．16 C．32 D．无法计算解：，，，则．又当时，，则，故．抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果两个相似三角形的对应角平分线之比是，那么它们的面积比是．解：两个相似三角形的对应角平分线之比是，它们面积的比是相似比的平方，它们的面积比是，故答案为：．8．（4分）如果一段斜坡的水平宽度为30米，坡度，那么这段斜坡的铅垂高度为10米．解：设这段斜坡的铅垂高度为米，斜坡的坡度，水平宽度为30米，，，则这段斜坡的铅垂高度为10米，故答案为：10米．9．（4分）若正边形的中心角为，边长为10．那么它的边心距为（用含的代数式表示）．解：如图，由题意得，，，，，，，在△中，，，，即正边形的中心角为，边长为10．那么它的边心距为，故答案为：．10．（4分）将抛物线向左平移2个单位，所得抛物线的表达式是．解：，将抛物线向左平移2个单位则平移后的抛物线解析式为：．故答案为：．11．（4分）如图，是高为60米的某一建筑，在水塘的对面有一段以为坡面的斜坡，小明在点观察点的俯角为，在点观察点的俯角为，若坡面的坡度为，则的长为米．解：延长，交于，过作于，由题意得，，，，米，米，（米，米，，，坡面的坡度为，，，米，米．故答案为：米．12．（4分）如图，分别在三角形纸板的顶点，处系一根线，把该三角形纸片悬挂起来，在纸板上分别画出悬线的延长线和，相交于点．，，．则的长度是．解：如图所示，连接并延长交于点，，，，，△是直角三角形，依题意，为△的重心，，在△中，，，故答案为：．13．（4分）已知二次函数的顶点在轴上，则的值为．解：二次函数的对称轴为直线，把代入解析式可得，顶点在轴上，，解得，故答案为：．14．（4分）在△中，，，，以为圆心、为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是．解：如图，，以为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点．根据勾股定理求得．圆与相切时，即；与线段有且只有两个公共点，．故答案为：．15．（4分）等腰三角形的底边长24，它内接于半径为13的中，腰长为或．解：设△是的内接三角形，，，的半径为13，如图1，顶点与圆心在直线异侧，连接交于点，连接，则，，，垂直平分，，，，，；如图2，顶点与圆心在直线同侧，连接并延长交于点，连接，则，，，垂直平分，，，，，，综上所述，该等腰三角形的腰长为或，故答案为：或．16．（4分）已知，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，则的长度为或．解：设与相交于点，连接，，与的半径分别为和，两圆相交于、两点，且，，，，，△和△都是直角三角形，依题意有以下两种情况：①当点在的外部时，如图所示：在△中，由勾股定理得：，在△中，由勾股定理得：，，此时的长度为：；②当点在的内部时，如图2所示：同理：，，，此时的长度为：，综上所述：的长度为或．故答案为：或．17．（4分）如图，网格图中每个小正方形的面积都为1，经过网格点的一条直线把网格图分成了两个部分，其中△的面积为3，则的值为．解：如图，设，，，又，△△，，即，，网格图中每个小正方形的面积都是1，△的面积为3，，，，，解得，（舍去），，，故答案为：．18．（4分）如图，矩形中，，点在边上，，联结，将△沿着翻折，点的对应点为点，联结、，分别交边于点、，如果，则的长为．解：延长交的延长线于点，如图所示：，设，，四边形是矩形，且，，，，，点在边上，，，由翻折性质得：，，，，，△△，，，，在△中，由勾股定理得：，由三角形面积公式得：，，，，解得：，，在△中，，在△中，，，，又，，在△和△中，，，△△，，，，，的长为．故答案为：．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．解：原式．20．（10分）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，点为边上一点，且．设，．（1）用，表示向量；（2）如果点是△的重心，那么向量（用，表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．解：（1），，，．（2）四边形为平行四边形，，，点为的中点，为△的中线．取的中点，连接交于点，，．，．，，，．如图，分别为在和方向上的分向量．故答案为：．21．（10分）如图，已知△中，，，，过点作，且，联结交于点．（1）求的长．（2）以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．解：（1）在△中，，，，，，，，△△，，，解得；（2）直线与相切．由（1）得，在△中，设边上的高为，，解得，即边上的高为，是半径，直线与相切．22．（10分）【实践情境】数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作、、的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四支木工笔、小刀、橡皮、手工锯子．【实践任务】仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后木板的一边．对核心任务进行数学抽象：如图①，已知矩形，利用含的直角三角板和无刻度直尺，在上确定点，使得．下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤：组：第一步：如图②，分别以点、为顶点，、为边作的角与交于点、，联结，交于点，过点作于点，并延长交于点；第二步：如图③，擦除线段，，，，点，，，仅保留，联结，交于点，过点作于点，并延长交于点．组：第一步，如图④，分别以点，点为顶点，为边作的角交于点；第二步：【书面任务】（1）在图②中，证明：为的中点；（2）在图③中，证明：；（3）组某同学计划先在上确定点，使，然后再确定点，使，请你结合该同学的操作思路，在图④上利用含直角三角板和无刻度直尺作出满足条件的点，并说明理由．【解答】（1）证明：如图③中，四边形是矩形，，，，△△，，，，，△△，，，，，，，点是的中点；（2）证明：如图3中，四边形是矩形，，，，，，，，，，，四边形是矩形，，，，，，即；（3）解：如图，点，点即为所求．作法：①连接，交于点；②作直线交于点，连接交于点；③利用角，作于点，于点，点，点即为所求．理由：四边形是矩形，，，，垂直平分线段，，，由（2）可知，，，，，，，．23．（12分）如图所示，正方形中，点、分别在边、上，且．（1）证明：；（2）证明：正方形的边长是与的比例中项．【解答】（1）证明：连接，由正方形对角线性质可知，，．，△△，，即；（2）证明：，，又，，又，△△，，，即，即正方形的边长是与的比例中项．24．（12分）已知二次函数的图象与轴交于、，与轴交于点，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，点为轴上一动点．（1）求二次函数的解析式及点的坐标．（2）当点位于直线下方时，求点到直线距离的最大值．（3）将上述抛物线沿着轴翻折，得到的新抛物线与轴交于点，当时，求出点坐标．解：（1）由题可得交点式：，对称轴为直线，当时，，；（2）如图，过作于点，则即为点到直线距离，令，得，，即，，，再过作轴交于点，则，△为等腰直角三角形，，由点、