高考总复习优化设计二轮用书物理Y 专题2　数学方法和物理图像

专题二数学方法和物理图像高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025指导一数学方法在物理问题中的应用指导二图像在物理问题中的应用目录索引0102指导一数学方法在物理问题中的应用方法一三角函数法1.三角函数求极值(1)y=sinα,当α=90°时,ymax=1;(2)y=cosα,当α=0时,ymax=1。[针对训练1](2024河南濮阳一模)如图甲所示,游乐场内有多种滑梯,其中两组滑梯的示意图分别如图乙、丙所示。图乙中,A、B两滑梯着地点相同,倾角不同;图丙中,C、D两滑梯起滑点相同,着地点不同。可视为质点的小朋友从A、B、C、D四个滑梯自由下滑的时间分别为t1、t2、t3、t4,不计摩擦阻力,下列关系一定正确的是(

)A.t1>t2 B.t1=t2C.t3>t4 D.t3<t4D2.辅助角求极值三角函数式y=acosθ+bsinθ[针对训练2](2024河南南阳高三期末)如图所示,重力为G的物块受到拉力F作用在水平面上匀速运动,在力F与水平方向的夹角θ从0°缓慢增大到90°的过程中,该物块始终保持匀速,则拉力F(

)A.一直减小 B.一直增大C.先减小后增大 D.先增大后减小C解析

对物块受力分析,因物块始终保持匀速,则由水平方向受力平衡得Fcos

θ=μFN,由竖直方向受力平衡得FN+Fsin

θ=G,由数学知识可知,当夹角θ从0°缓慢增大到90°的过程中,拉力F先减小后增大。故选C。3.正弦定理在如图所示的三角形中,各边与所对应角的正弦之比相等,[针对训练3](多选)(2024湖南卷)如图所示,在光滑水平面内建立直角坐标系xOy。A、B两小球同时从O点出发,A球速度大小为v1、方向沿x轴正方向,B球速度大小为v2=2m/s、方向与x轴正方向夹角为θ。坐标系第一象限中有一个挡板L,与x轴夹角为α。B球与挡板L发生碰撞,碰后B球速度大小变为1m/s,碰撞前后B球的速度方向与挡板L法线的夹角相同,且分别位于法线两侧。不计碰撞时间和空气阻力,若A、B两小球能相遇,下列说法正确的是(

)AC4.余弦定理在如图所示的三角形中,有如下三个表达式:a2=b2+c2-2bc·cosAb2=a2+c2-2ac·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC[针对训练4](2024辽宁抚顺三模)擦玻璃机器人可以帮助人们解决高层和户外擦玻璃难的问题。如图甲所示,一栋大厦表面均为玻璃材料,机器人牵引擦子(未画出)清洁玻璃时,将大厦某一表面简化为如图乙所示的正三角形ABC,与水平面夹角为30°。已知机器人对擦子的牵引力平行于玻璃表面,擦子质量为m,与玻璃间的动摩擦因数为,重力加速度为g。则机器人在该表面由B点匀速运动到AC中点D的过程中,擦子所受的牵引力为(

)C解析

擦子所受重力垂直于玻璃表面的分力大小等于擦子对玻璃表面的压力大小,则有f=mgcos

30°,而滑动摩擦力f=μFN,代入数据解得Ff=mg,滑动摩擦力与擦子相对玻璃表面的速度方向相反,机器人匀速运动,擦子所受合力为零,滑动摩擦力与重力沿斜面向下的分力的合力与牵引力大小相等、方向相反,在玻璃表面擦子受力分析如图所示,由几何关系可知滑动摩擦力与重力沿斜面向下的分力的夹角为60°,则在力三角形中,方法二均值不等式法(1)若两个正数的积为定值,当两数相等时,和最小;(2)若两个正数的和为定值,当两数相等时,积最大。[针对训练5](2024浙江嘉兴二模)如图是位于同一竖直平面内且各部分平滑连接的玩具模型,倾斜轨道AB和倾斜传送带BC倾角都为θ=24°,半径R=0.75m的细圆弧管道CD的圆心角也为θ。水平轨道DE右侧有一倾角为α的斜面FG,其底端F在E正下方,顶端G与E等高且距离为d=2.4m。DE上静置一小滑块N,AB上的小滑块M以一定初速度滑上传送带并通过CD滑上DE,M经过D点时与管道间恰好无挤压。(1)M首次经过D时的速度大小;(2)当N固定且M与N间发生弹性碰撞时,M在碰撞前与传送带间摩擦产生的热量,以及M在碰撞后经过B点的速度;(3)当N不固定且M与N间发生非弹性碰撞时,N从E水平飞出后击中FG的最小动能。解得vC=3

m/s滑块M在传送带上上滑过程中,由牛顿第二定律有-mMgsin

θ-μmMgcos

θ=mMa1解得a1=-6

m/s2其与传送带间相对位移为s=vt+L=12

m摩擦产生的热量Q=μmMgcos

θ·s=4.8

J滑块M与滑块N弹性碰撞后,等速返回,再次到达C点时速度仍为3

m/s,设滑块M与传送带达到共速时的位移为s1,由运动学公式有解得s1=2.25

m达到共速后,由于滑块M沿斜面向下的重力的分力大于最大静摩擦力,因此传送带会继续加速下滑,设该阶段滑块M的加速度为a2,由牛顿第二定律有mMgsin

θ-μmMgcos

θ=mMa2解得a2=2

m/s2滑块M再次到达B点的过程,由运动学公式有vB'2-v2=2a2(L-s1)方法三二次函数求极值法二次函数式y=ax2+bx+c(若二次项系数a>0,y有极小值;若a<0,y有极大值)。(2)利用一元二次方程判别式求极值。用判别式Δ=b2-4ac≥0有解可求某量的极值。[针对训练6]如图所示,用内壁光滑细圆管弯成的半圆形轨道APB(半圆轨道半径远大于细圆管的内径)和直轨道BC组成的装置,把它竖直放置并固定在水平面上,已知半圆轨道半径R=1m,质量m=100g的小球(视为质点)压缩弹簧由静止释放,小球从A点弹入半圆轨道,从C点以v0=8m/s离开轨道,随即进入长L=2m、动摩擦因数μ=0.1的粗糙水平地面(图上对应为CD),最后通过光滑轨道DE,从E点水平射出,已知E点距离地面的高度为h=1m,除CD段外其他处摩擦阻力忽略不计,重力加速度g取10m/s2,不计空气阻力。(1)求小球到达C点时对圆管的压力;(2)求弹簧储存的弹性势能的大小;(3)若E点的高度h可以调节,当h多大时,水平射程x最大,此最大值是多少?答案

(1)1N,方向竖直向下(2)1.2J(3)1.5m

3m解析

(1)小球在BC段做匀速直线运动,所受合力为零,小球所受支持力为FN=mg=1

N根据牛顿第三定律,圆管对小球的支持力和小球对圆管的压力是作用力与反作用力,大小相等,方向相反,则小球对圆管的压力大小为1

N,方向竖直向下。方法四数学归纳法和数列法凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点,但每一个重复过程均不是原来的完全重复,而是一种变化了的重复。随着物理过程的重复,某些物理量逐步发生着前后有联系的变化,求解该类问题的基本思路为:(1)逐个分析开始的几个物理过程;(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键);(3)最后分析整个物理过程,应用数列特点和规律求解。无穷数列的求和,一般是无穷递减数列,有相应的公式可用。

[针对训练7](2024四川内江一模)如图所示,现有一个以v0=6m/s的速度匀速向左运动的水平传送带。传送带左端点M与光滑水平平台相切,在平台上距M点较近的P处竖直固定一个弹性挡板,质量为m0=6kg的小物块b在PM段运动的时间忽略不计。在M点与平台之间缝隙处安装有自动控制系统,当小物块b每次向右经过该位置时都会被控制系统瞬时锁定从而保持静止。传送带右端点N与半径r=5m的光滑四分之一圆弧相切,质量为m=2kg的小物块a,从圆弧最高点由静止下滑后滑上传送带,当小物块a到达M点时控制系统对小物块b自动解锁,a、b发生第一次弹性正碰。小物块a与传送带间的动摩擦因数μ=0.2,M、N两点间的距离L=19.6m,g取10m/s2。不计物块经过M、N两点处时的能量损失。求:(1)小物块a滑到圆弧轨道最底端时的加速度;(2)小物块a与b在传送带上第一次碰撞后,物块a的速度;(3)从小物块a与b第一次碰撞后,直到最后静止的过程中,物块a运动的总时间。答案

(1)20m/s2,方向竖直向上指向圆心O(2)3m/s,方向水平向右(3)6s解得v=10

m/s,a=20

m/s2方向竖直向上指向圆心O。(3)物块a与b第一次碰撞后,物块a向右做匀减速直线运动,减速至0的位移指导二图像在物理问题中的应用类型一运动学图像角度1

s-t图像1.一般曲线(1)曲线不表示物体做曲线运动,而是表示物体做变速直线运动;(2)一般割线的斜率等于平均速度,某点切线斜率等于瞬时速度;(3)注意路程和位移区别。0~t1,路程等于位移大小(s1);0~t2,路程(2s1-s2)大于位移大小(s2)。2.抛物线

[针对训练1](2024山东青岛一模)在同一直线车道上,甲车和乙车正同向匀速行驶,甲车在前乙车在后,t=0时,甲车发现前方有险情立即刹车,为避免两车相撞,2s后乙车也开始刹车,图甲、乙分别是两车位置随时间变化的图像,图中曲线均为抛物线。已知甲车匀速行驶的速度为10m/s,司机反应时间不计,下列说法正确的是(

)A.甲车加速度大小为2m/s2B.当t=7s时,两车速度大小相等C.若d=28m,则两车恰好没有相撞D.若没有相撞,两车相距最近时乙车的位移为48mC角度2

v-t图像

[针对训练2](多选)(2021广东卷)赛龙舟是端午节的传统活动。下列v-t和s-t图像描述了五条相同的龙舟从同一起点线同时出发、沿长直河道划向同一终点线的运动全过程,其中能反映龙舟甲与其他龙舟在途中出现船头并齐的有(

)BD解析

龙舟甲与其他龙舟齐头并进,说明龙舟甲与其他龙舟在相同的时刻位移大小相等;v-t图像中,图线下的面积表示位移,在选项A、B中,只有选项B在相同时刻两条图线下的面积可能相等,选项A错误,选项B正确;s-t图像中,两图线的交点表示相遇,即表示龙舟甲与其他龙舟齐头并进,选项C错误,选项D正确。角度3

a-t图像[针对训练3](2023广东卷)铯原子喷泉钟是定标“秒”的装置。在喷泉钟的真空系统中,可视为质点的铯原子团在激光的推动下,获得一定的初速度。随后激光关闭,铯原子团仅在重力的作用下做竖直上抛运动,到达最高点后再做一段自由落体运动。取竖直向上为正方向。下列可能表示激光关闭后铯原子团速度v或加速度a随时间t变化的图像是(

)D解析

铯原子团仅受重力的作用,加速度竖直向下,大小恒定,在v-t图像中,斜率为加速度,故斜率不变,所以v-t图像应该是一条倾斜的直线,选项A、B错误;因为加速度恒定,且方向竖直向下,故为负值,选项C错误,D正确。类型二动力学图像[针对训练4](2022广东卷)右图是滑雪道的示意图。可视为质点的运动员从斜坡上的M点由静止自由滑下,经过水平NP段后飞入空中,在Q点落地。不计运动员经过N点的机械能损失,不计摩擦力和空气阻力。下列能表示该过程运动员速度大小v或加速度大小a随时间t变化的图像是(

)C解析

设MN段斜坡倾角为θ,运动员在斜坡MN段做匀加速直线运动,根据牛顿第二定律得mgsin

θ=ma1,可得a1=gsin

θ;运动员在水平NP段做匀速直线运动,加速度a2=0;运动员从P点飞出后做平抛运动,加速度为重力加速度,a3=g,选项C正确,

D错误。设在P点的速度为v0,则从P点飞出后速度大小的表达式为v=,可知从P点飞出后速度大小与时间的关系图像不可能为直线,

选项A、B错误。类型三功、能、动量中的图像角度1

机车启动中的图像

[针对训练5](2024广东二模)某实验兴趣小组对新能源车的加速性能进行探究。他们根据自制的电动模型车模拟汽车启动状态,并且通过传感器,绘制了模型车从开始运动到刚获得最大速度过程中速度的倒数

和牵引力F之间的关系图像,如图所示。已知模型车的质量m=1kg,行驶过程中受到的阻力恒定,整个过程时间持续5s,获得最大速度为4m/s,则下列说法正确的是(

)A.模型车受到的阻力大小为1NB.模型车匀加速运动的时间为2sC.模型车牵引力的最大功率为6WD.模型车运动的总位移为14mD根据以上分析可知,模型车牵引力功率最大即为匀加速结束时获得的功率,可知最大功率为8

W,故C错误;根据题意,模型车速度达到最大用时5

s,而匀加速阶段用时1

s,则可知,模型车以恒定功率运动的时间t2=4

s,根据动能定角度2

功能关系中的图像

[针对训练6](多选)(2024广东广州阶段练习)如图甲所示,某水电站建筑工地用发动机沿倾斜光滑轨道将建材拉到大坝顶上,已知轨道的倾角θ=37°,每次从大坝底端向上拉建材的过程中,发动机所做的功与位移的关系如图乙所示。图乙中s<6m时图线为直线,当s=6m时发动机达到额定功率,6m<s<18m对应的图线为曲线;当s=18m时建材达到最大速度,s>18m时图线为直线。已知每个建材的质量m=100kg,g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。据图中数据可知(

)A.建材在前6s做匀加速运动,加速度大小为3m/s2B.从6m到18m的过程中,建材做加速度增大的加速运动C.发动机的额定功率为5400WD.建材能达到的最大速度为9m/sCD解析

因W-s图像的斜率等于拉力F,可知建材在前6

m所受的拉力恒定不变,做匀加速运动,拉力F=

N=900

N,设加速度大小为a,有F-mgsin

37°=ma,解得a=3

m/s2,根据s=at2可得,建材在前6

m运动时间为t=2

s,所以建材在前2

s所受的拉力恒定不变,做匀加速直线运动,但是2

s后发动机达到额定功率,拉力减小,建材做加速度减小的加速运动,最后做匀速直线运动,故A项错误;当s=6

m时发动机达到额定功率,此后建材做加速运动,根据P=Fv可知,建材做加速度不断减小的加速运动,故B项错误;设s=6

m时建材的速度大小为v1,有

=2as,解得v1=6

m/s,则发动机的额定功率为P=Fv1=5

400

W,故C项正确;s=18

m时建材达到最大速度,则P=mgsin

37°·vm,解得vm=9

m/s,故D项正确。[针对训练7](2024浙江嘉兴二模)如图是跳台滑雪运动示意图,运动员从助滑雪道末端A点水平滑出,落到倾斜滑道上。若不计空气阻力,从运动员离开A点开始计时,其在空中运动的速度大小v、速度与水平方向夹角的正切tanθ、重力势能Ep、机械能E随时间t变化关系正确的是(

)B角度3

动量中的图像[针对训练8](2024全国联考二模)质量为m=1kg的木箱静止在水平地面上,在一水平拉力的作用下,由静止开始在水平地面上做直线运动,以开始运动时作为时间的零点,拉力的冲量I与时间t的关系如图所示。木箱与水平地面之间的动摩擦因数μ=0.4,重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是(

)A.在t=1s时,拉力的功率为24WB.木箱在运动过程中最大的动能为4JC.木箱在0~7s内克服摩擦力做的功为48JD.木箱在0~7s内受到摩擦力的冲量大小为24N·sC由0=v2+a2t'可得t'=4

s,即木箱在第6

s停止,在0~6

s内,木箱运动的位移为s=

×6

s=12

m,第7

s木箱静止不动,木箱在0~7

s内克服摩擦力做的功为Wf=fs=48

J,故C正确;木箱在0~7

s内受到摩擦力的冲量大小为If=(4×6+3×1)

N·s=27

N·s,故D错误。[针对训练9](多选)(2024辽宁沈阳一模)如图甲所示,一滑块静置在水平面上,滑块的曲面是半径为R的四分之一圆弧,圆弧最低点切线沿水平方向。小球以水平向右的初速度v0从圆弧最低点冲上滑块,且能从圆弧最高点冲出滑块。小球与滑块水平方向的速度大小分别为v1、v2,作出某段时间内v1-v2图像如图乙所示,不计一切摩擦,重力加速度为g。下列说法正确的是(

)A.滑块与小球相互作用的过程中,水平方向动量守恒B.当滑块的速度为0.5v0时,小球运动至最高点C.小球与滑块的质量之比为1∶2AC解析

小球与滑块组成的系统在水平方向上不受外力,所以滑块与小球相互作用的过程中,水平方向动量守恒,A正确;设小球的质量为m,类型四电场中的图像角度1

电场中的φ-x图像1.电场强度的大小等于φ-x图线的斜率的绝对值,电场强度为零处φ-x图线存在极值,其切线的斜率为零。2.在φ-x图像中可以直接判断各点电势的大小,并可根据电势大小关系确定电场强度的方向,如图所示。[针对训练10](2024湖南卷)真空中有电荷量为+4q和-q的两个点电荷,分别固定在x轴上-1和0处。设无限远处电势为0,x正半轴上各点电势φ随x变化的图像正确的是(

)D解析

解法一

根据异种点电荷的电场分布情况,可知两个点电荷的连线上,在两电荷中间及电荷量小的点电荷外侧,均有电势为零的点,所以x正半轴上各点电势φ应先负后正,由此可判断选项D正确。角度2

电场中的E-x图像问题1.E-x图像反映了电场强度随位移变化的规律,E>0表示电场强度沿x轴正方向;E<0表示电场强度沿x轴负方向。2.在给定了电场的E-x图像后,可以由图线确定电场强度、电势的变化情况,E-x图线与x轴所围图形“面积”表示电势差(如图所示),两点的电势高低根据电场方向判定。在与粒子运动相结合的题目中,可进一步确定粒子的电性、动能变化、电势能变化等情况。[针对训练11]在x轴上固定两个不等量异种点电荷,其中正电荷标记为M,负电荷标记为N。x轴上某一段电场强度E随x变化的关系图像如图所示,其中x1到x2、x2到x3段图像与x轴所围的面积相等,取无穷远处电势为零。下列说法正确的是(

)A.M在N的右侧,且M的电荷量的绝对值大于N的B.M在N的左侧,且M的电荷量的绝对值小于N的C.x1和x3处的电势相等,且都大于0D.一电子从x1处由静止释放,运动到x2处时速度为0,加速度也为0C解析

由于是两异种点电荷,两点电荷间无电场强度为零的点,根据图像,x2位置的电场强度为0,即两点电荷处于x2的同一侧;两个不等量异种点电荷连线上,在电荷量绝对值较小的电荷外侧有合电场强度为0的点,且对于合电场强度为0的点与电荷量较小的电荷之间区域的合电场强度由电荷量小的点电荷起主要作用,合电场强度为0的点的外侧区域的合电场强度是电荷量大的点电荷起主要作用。由图像可知,x2处合电场强度为0,且x2右侧合电场强度为正,说明两点电荷在x2左侧,正点电荷带电荷量的绝对值大,且在负点电荷左侧,A、B错误;根据U=Ed可知,E-x图像与x轴所围的面积等于两点间的电势差,沿电场线方向电势降低,根据题图可知,x2到x1电势逐渐降低,x2到x3电势逐渐降低,且x2到x1和x2到x3的电势差相等,所以x1和x3处的电势相等,从x3处到无穷远处,电势逐渐降低,可知x1和x3处的电势都大于0,C正确;若一电子从x1处由静止释放,从x1处到x2处向右加速,到x2处加速度减小到0,速度达到最大,D错误。角度3

电场中的Ep-x图像1.反映了电势能随位置变化的规律。2.图线的切线斜率大小等于静电力大小。3.进一步判断电场强度、动能、加速度等随位移的变化情况。[针对训练12](2024黑龙江二模)如图甲所示,AB是某电场中的一条电场线,若有一电子以某一初速度仅在电场力的作用下沿AB由A点运动到B点,其电势能Ep随距A点的距离x变化的规律如图乙所示。下列说法正确的是(

)A.电场的方向由A指向BB.A点的电场强度小于B点的电场强度C.电子在A点的速度小于在B点的速度D.若一质子以同一初速度由A点释放,一定能运动到B点C解析

由图乙可知,电子的电势能减小,则电场力做正功,故电子的速度变大,又电子带负电,故电场的方向由B指向A,A错误,C正确;Ep-x图像的斜率表示电场力,可知A点的电场强度大于B点的电场强度,B错误;由电场强度方向可知,质子所受电场力做负功,质子有可能运动到B点前减速到零,D错误。类型五电路中的图像[针对训练13]如图所示的U-I图像中,直线a表示某电源的路端电压U与电流I的关系,直线b、c分别表示电阻R1、R2的电压U与电流I的关系。下列说法正确的是(

)A.电阻R1、R2的阻值之比为4∶3B.该电源的电动势为6V,内阻为3ΩC.只将R1与该电源组成闭合电路时,电源的输出功率为6WD.只将R2与该电源组成闭合电路时,内、外电路消耗的电功率之比为1∶1D只将R1与该电源组成闭合电路时,电源的输出功率为P1=4×1

W=4

W

,C错误;只将R2与该电源组成闭合电路时,内、外电路消耗的电功率分别为P内=I2r,P外=I2R2,解得P内∶P外=1∶1,D正确。类型六电磁感应、交变电流中的图像[针对训练14](2024广东江门一模)图甲为汽车的传统点火装置,称为蓄电池点火系统。此装置的核心部件是一个变压器,该变压器的原线圈通过开关连接到12V的蓄电池上,副线圈连接到火花塞的两端。在开关闭合或断开的瞬间,将会在副线圈中产生脉冲高电压形成电火花,点燃可燃混合气体。图乙和图丙分别是原线圈、副线圈电压随时间变化的图像,则下列说法正确的是(

)A.原线圈的匝数比副线圈的匝数多B.t2至t3间穿过副线圈的磁通量为零C.开关断开与闭合瞬间副线圈产生的感应电动势方向相同D.开关断开时比开关闭合时,更容易点燃混合气体D解析

依题意,该变压器为升压变压器,所以原线圈的匝数比副线圈的匝数少,故A错误;由图乙可知,t2至t3间原线圈中有电流流过,则穿过副线圈的磁通量不为零,故B错误;由图丙可知,开关断开与闭合瞬间副线圈产生的感应电动势方向相反,故C错误;由图丙可知,开关断开时比开关闭合时,副线圈产生的电压更高,所以更容易点燃混合气体,故D正确。类型七近代物理中的图像[针对训练15](2024江苏南京一模)用图甲所示实验装置探究光电效应规律,得到a、b两种金属材料遏止电压Uc随入射光频率ν变化的图线分别如图乙中1和2所示,则下列有关说法正确的是(

)A.图线的斜率表示普朗克常量hB.金属材料a的逸出功较大C.用同一种光照射发生光电效应时,a材料逸出的光电子最大初动能较大D.光电子在真空管中被加速C由爱因斯坦光电效应方程有hν-W0=Ek,由于a材料的逸出功较小,则用同一种光照射发生光电效应时,a材料逸出的光电子最大初动能较大,C正确;图中光电管加的是反向电压,光电子在真空管中被减速,D错误。类型八热学中的图像[针对训练16](2024广东二模)如图所示,一定量的理想气体从状态a沿直线变化到状态b,在此过程中,其体积(

)A.逐渐增大

B.逐渐减小C