江苏省苏州市2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

PAGE1苏州市2024~2025学年第一学期学业质量阳光指标调研卷高一数学2025.1注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求；1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题），本卷满分150分，答题时间为120分钟，答题结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整.笔迹清楚.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，故.故选：A.2.若命题，，则的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.【详解】由题意可知，命题为全称量词命题，该命题的否定为“，”.故选：B.3.下列函数中，定义域为的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域.【详解】选项A，函数的定义为，故A错误；选项B，由得，故的定义域为，故B错误；选项C，由得，故的定义域为，故C错误；选项D，由得，故的定义域为，故D正确，故选：D4.“点在第二象限”是“角为第三象限角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据三角函数值在各象限的符号及充分条件与必要条件的概念判断.【详解】若点在第二象限，则，则角为第三象限角，故充分性成立，若角为第三象限角，则，则点在第二象限，故必要性成立，∴“点在第二象限”是“角为第三象限角”的充要条件.故选：C.5.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复合函数的单调性可求得函数的减区间.【详解】对于函数，由可得或所以，函数的定义域为，因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，外层函数在上为增函数，由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.故选：A.6.函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示：再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，故图②所示图象对应的函数为.故选：D.7.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（）A.5级 B.6级 C.7级 D.8级【答案】B【解析】【分析】先根据所给关系式分别表示出日本东北部海域地震和俄罗斯东南部地震释放的能量，再结合两者能量的倍数关系列出等式，最后通过对数运算求出俄罗斯东南部地震的震级.【详解】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为，俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为.对于日本东北部海域的9级地震有；对于俄罗斯东南部的地震有.

因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即.两边同时取对数可得，根据对数运算法则，.又因为，已知，所以.

将，，代入可得：，解得.俄罗斯东南部地震震级大约是级.故选：B8.已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，由题意可知，由可得，即，因为，则，故，因为，则，所以，，因为，函数、在上单调递减，故函数上单调递减，当时，，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：C.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若，，则（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据不等式的性质判断AB；举反例判断CD.【详解】根据，则，A正确；由，又，则，B正确；当时，，C错误；当时，，D错误故选：AB10.设集合，，若，则实数的值可能是（）A. B. C.0 D.2【答案】ACD【解析】【分析】根据题意分析可知，分类讨论结合包含关系求实数的取值范围.【详解】因为，且，则，对于，则有：若，则，符合题意；若，则，可得；若，则，可得；综上所述：实数的取值范围为，结合选项可知：ACD正确，B错误.故选：ACD.11.已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（）A. B.是增函数C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称【答案】AD【解析】【分析】对于A：令，即可得结果；对于D：令，可得；对于BC：举反例说明即可.【详解】因为，对于选项A：令，可得，即，故A正确；对于选项D：令，可得，即，可得，所以的图象关于点对称，故D正确；对于选项BC：例如，则，符合题意，但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误；故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为______.【答案】##【解析】【分析】利用扇形面积公式可求得该扇形的面积.【详解】因为某扇形的圆心角为，半径为，该扇形的面积为.故答案为：.13.计算的值为______.【答案】【解析】【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果.【详解】原式.故答案为：.14.设函数若不等式对恒成立，则实数的值为______.【答案】【解析】【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，结合，，得出，再结合二次函数值域列式计算即可.【详解】当，，所以，若不等式，恒成立，则，所以，当，，对称轴为，当时，单调递减，单调递增，所以，则，所以，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若，求及；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）求出集合，利用补集的定义可求得集合，当时，写出集合，利用并集的定义可得出集合；（2）由题意可得，分、两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【小问1详解】集合，且全集，则.因为，所以，所以.【小问2详解】因为，则.当，即时，，合乎题意；当，即时，，则，可得.综上所述，实数的取值范围是.16.如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，.（1）若的横坐标为，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值；（2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值.【小问1详解】因为点在单位圆上且横坐标为，所以，因为，所以.因为，所以，所以.所以.【小问2详解】因为，所以①，由，得，所以.因为，所以，所以②，联立①②得，，，所以.17.已知、均为正实数，.（1）若，求的最小值：（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；（2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值.【小问1详解】当时，，则.因为、均为正实数，所以，当且仅当时，即当，时取等号，所以的最小值为.【小问2详解】当时，，可得，则，所以，因为，，所以，进而得，所以，.所以，当且仅当时，即当，时取等号，所以的最小值为.18.已知函数.（1）当时，求方程的解：（2）若存在，使得，求的取值范围：（3）若函数在上的最小值为，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，直接求解一元二次方程；（2）分离参数得在上有解，求函数的最值得解；（3）先得为偶函数，利用换元法研究函数在上的最小值即可.【小问1详解】当时，函数.令，当时，，方程可化为，解得，所以；当时，，方程可化为，解得，舍去.综上所述，方程的解为.【小问2详解】当时，，所以，由题意得在上有解，即在上有解，所以在上有解，因为在上的最小值为，所以.【小问3详解】因为的定义域为，，所以为偶函数.由题意知，只需考虑函数在上的最小值.当时，，.因为，所以.令，则在上单调递增，所以，当即时，在上单调递增，所以，舍去；当即时，，解得（正值舍去）.综上所述，的值是.【点睛】关键点点睛：第（3）问中研究函数在上的最小值，令，进而利用二次函数最值的研究法求解.19.已知函数且.请从以下两个条件中选择一个作为已知，解答下面的问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.（1）求实数的值；（2）当时，判断函数在区间上零点个数，并说明理由；（3）已知，若，当且仅当，求实数、的值.【答案】（1）选①，或选②，（2）选①或选②，个（3）选①，，；选②，，【解析】【分析】（1）若选①，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；若选②，由，结合对数的运算性质可求得实数的值；（2）若选①或②，当时，求出函数的解析式，分析函数在上的单调性，结合零点存在定理可得出结论；（3）若选①或②，分、两种情况解不等式，根据其解集为，由此可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值.【小问1详解】若选①，因为的定义域为，则由得，对于任意都成立，所以；若选②，因为的定义域为，则由得，对于任意都成立，所以.【小问2详解】若选①，当时，函数.因为在上单调递减，且在定义域上单调递增，所以在上单调递减，又因为在定义域上单调递减，所以函数在上单调递减.又因为的图象连续不间断，且，，则，所以在区间上有唯一的零点.若选②，（2）当时，函数.因为在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又因为在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增.又因为的图象连续不间断，且，，所以在区间上