江苏省扬州市2024-2025学年高一上学期期末检测数学试卷（解析版）

PAGE12024—2025学年第一学期期末检测高一数学2025.1注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1.命题“，”的否定是（）A.， B.不存在，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可得到答案.【详解】全称命题的否定是特称命题命题“，”的否定是：，.故选：D.2.集合的真子集个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用真子集个数公式可求得结果.【详解】集合的元素个数为，该集合的真子集个数为.故选：C.3.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分式不等式可以转化整式不等式，注意分母不为零.【详解】因为等价于，解得：，即：，所以不等式的解集为.故选：C4.若，，则下列式子一定正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数幂与根式关系、对数的运算性质判断各项正误.【详解】A：，对；B：，错；C、D：由对数的运算性质有、，错.故选：A5.函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除两个选项，再根据上的单调性，即可得到正确答案.【详解】因为的定义域为关于原点对称，且，所以为偶函数，故排除C，D；因为在均为增函数，且函数值均为正，所以在上单调递增.故选：B．【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性选择函数图象，考查数形结合思想的运用，求解时要注意排除法的应用.6.若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.方程的实数根为C.在上为增函数 D.的值域为【答案】B【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.【详解】设，代入点可得，所以，所以，因为，所以，即函数的定义域为，对于A：因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误；对于B：令，所以，解得，故B正确；对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误；对于D：因为，所以，所以，的值域为，故D错误.故选：B.7.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先指对互化，求，再将表示为对数形式，再结合函数的单调性，比较大小.【详解】，，，，，所以.故选：C8.在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度.若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第（）次相遇.A.10 B.11 C.12 D.13【答案】B【解析】【分析】根据题设，经过秒相遇，有，且，得，再由且，即，结合各选项判断是否满足即可.【详解】由题设，两点相遇时的坐标是，则分别最少旋转了、，经过秒相遇，有，且，则，所以，要使相遇，则且，即，若，则，此时，A错；若，则，此时，B对；若，则，此时，C错；若，则，此时，D错；故选：B二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列三角函数值的符号为负的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据角所在的象限，确定三角函数值的正负.【详解】A.角的终边在第四象限，所以，故A正确；B.的角的终边在第二象限，所以，故B错误；C.弧度的角的终边在第二象限，所以，故C正确；D.的角的终边在第三象限，所以，故D错误.故选：AC10.已知实数满足且，则下列说法正确的有（）A.若，则对任意实数， B.若，则C.的最小值是 D.的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】应用特殊值判断A；作差法判断B；应用基本不等式“1”的代换求最小值判断C；由且求最小值判断D.【详解】A：当，此时，错；B：由，则，即，对；C：，当且仅当时取等号，对；D：由，则，故，当时，取得最小值，对；故选：BCD11.已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有（）A.B.C.若，则D.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】利用函数过原点求出，又因为值域为，求出，A正确；利用函数的单调性判断B选项；利用不等式性质得到C选项正确；再利用换元法将函数转化为二次函数，即可求得的取值范围得到D选项正确.【详解】对于选项A:因为函数过坐标原点，所以，即.因为函数的值域为，即在处取得最大值，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减；当x趋于无穷大时，趋于0，趋于，即，即，故A正确；对于选项B:因为，又函数在上单调递减，所以，即，故B错误；对于选项C：当时，，,故C正确；对于选项D:令，，当时，取最小值，当或时，值为0，所以方程有实数根，则实数的取值范围为，故D正确；故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.计算：__.【答案】3；【解析】【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解即可.【详解】，故答案为：3.【点睛】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.13已知函数满足下列三个条件：①对任意，；②对任意，；③的值域为，则______.（写出满足要求的一个函数即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】首先确定三个条件的意义，再确定函数的解析式.【详解】条件①说明函数的周期为，条件②说明函数关于对称，根据三角函数性质可知，满足条件的函数为故答案为：（答案不唯一）14.已知函数，若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】根据分段函数解析式分析函数性质，并画出大致图象，随变化，的图象只在轴上平移，结合题设条件，只需保证，时有，即可求参数范围.【详解】由在上单调递增，且过点，在上，在上单调递减，在上单调递增，结合解析式，其大致图象如下图，随变化，的图象只在轴上平移，令过且平行于的直线为，则，所以，故，联立与，消去y得，所以或，对任意，都有成立，由图知，在上不单调，必有，需保证，时有，所以，，整理得，所以，综上，实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质及图象，结合不等式恒成立得到，时有为关键.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）首先求解集合和，再根据交集和并集的定义，即可求解；（2）根据必要条件的定义，转化为集合的包含关系，即可列式求解.【小问1详解】当，所以，【小问2详解】因为“”是“”的必要条件，所以，所以解得.16.在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点.（1）若，求的值；（2）若，求的值及点的坐标.【答案】（1）（2）点P的坐标为.【解析】【分析】（1）根据单位圆的性质，以及三角函数的定义，求角的三角函数值，方法1，根据诱导公式化解，再代入三角函数值，即可求解；方法2，构造齐次分式，代入正切值求解；（2）方法1，首先将正切化为正弦和余弦，再根据同角三角函数基本关系式，结合三角函数的定义，即可求解；方法2，直接由同角三角函数基本关系式，求解和，即可求解.【小问1详解】因为角与单位圆交于第四象限内的点，所以，，，，，由，得法1：法2：，【小问2详解】法1：，因为，①所以两边平方得，即，所以，由角终边位于第四象限，得，，所以，②由①②解得：，，所以点P的坐标为.法2：由角终边位于第四象限，得，，因为，①且，②所以由①②解得：，，所以点P的坐标为.17.已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称.（1）求实数m的值；（2）判定的单调性并证明；（3）若实数满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数性质求参数，注意验证即可；（2）利用函数单调性定义及指数函数性质证明函数单调性；（3）法1：根据函数的单调性有，由指数函数单调性求参数范围；法2：应用换元法及函数单调性求参数范围.【小问1详解】因为在上的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，检验如下，此时，所以，故是奇函数，满足要求.所以.【小问2详解】在上单调递减，证明如下：任取且，则，因为，所以，又，，所以，所以在上单调递减.【小问3详解】法1：因为，所以可化为因为在上单调递减，所以，即，所以，解得.法2：在中，令，则，即，即，所以，即，所以，解得.18.已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下：0000（1）求的解析式；（2）将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.①求在上的单调增区间；②若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求的值.【答案】（1）（2）①；②.【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，确定最值和周期，即可求解函数解析式的参数，即可求解；（2）①首先根据三角函数图象的平移和伸缩规律，确定函数的解析式，再结合函数的性质确定函数的单调区间；②将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，根据①的结果，利用换元法转化为与的交点问题，利用对称性，即可求解.【小问1详解】由题意得，，所以.所以.因为，所以，即，因为，所以.所以.小问2详解】①将图象上所有点向右平移个单位长度后得到的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，所以，令，得，又，所以在上的增区间为.②令，因为，所以.由得，即.因为方程在上有四个不相等的实数根，所以方程在上有四个不相等的实数根，所以，且，，所以，，所以，所以.19.已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3），的最大值为1.【解析】【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可；（2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值；（3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围.【小问1详解】，不是，的“友好函数”，理由如下：取，因为，所以不存在，使得，所以，不是，的“友好函数”；【小问2详解】由题意，对任意，存在唯一使成立，即，所以函数的值域是函数值域的子集.因为，，所以，其值域为，而在上单调递增，故值域为，从而，即，所以；【小问3详解】当是的“友好函数”时，由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，即，则的值域是值域的子集.当是的“友好函数”时，由题意，对任意的，存在唯一的使成立，即，则的值域是值域的子集.所以的值域与值域相同（且值域中