随机过程在生活中的应用

随机过程在实际中的应用

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随机过程之贝叶斯定理在生活中的应用

摘要：随机过程在生活中有广泛的应用，本文针对目前社会中普遍存在的买房摇号

的现象，将从买房摇号的内部逻辑出发，浅析买房摇号等现象出现的原因，将利

用贝叶斯统计分析对本文提取出的模型进行理论公式推导，并结合推导结果，做

进一步的结果分析和展望。

关键词：买房摇号；贝叶斯统计分析；模型提取

1、背景概述

疝L年来，全国各地都出现了买房摇号a】的社会现象，如武汉，西安，杭州

等城市在200年内都相继推出了摇号等新政策，政策准出以来，不断有城市加

入到这一队伍，态势愈演愈烈，甚至出现了几千人参与摇号，疯狂抢购一套住宅

房的火热景象。在过去的十年间，房地产的市场始终处于一种如火如荼的状态，

上海、北京、深圳等大城行以及一线、新一线城市的房地产市场几近疯狂，政府

通过政策调控房价已经压制不住这种态势，政府通过直接手段控制房价，房地产

新房的备案价需要政府审批通过后才能进行预售，为了控制炒房过热的现象，政

府相关部门直接大幅压制新房价格，如此操作的结果直接导致房地产开盘的新房

价格比二手房价格还要低，虽然对于买新房的资质条件提出了许多要求，但是依

然挡不住买房人，通过认购新房再以二手房价格卖出就是一笔成功的投资，于是

人们都疯狂加入买新房的市场中，在这种态势下，买房摇号的政策便横空出世！

起初，政府推行这一摇号政策⑶的初衷是为了管制买房热现象的出现，通过

摇号买房来做到交易的透明、公正、公开，使得买房者和房地产开发商都能够全

程受到监督，为买房者提供公平的选房环境；同时，这是政府带头的项目，在法

律政策的规范下，能够有效的杜绝房地产开发商捆绑销售、胡乱收费的乱象，例

如“车位捆绑”，“排号费用”等；政府希望通过买房摇号的手段，能够将房屋回

归到最初的居住属性，通过增加对于住房有刚需人群的摇号比例，来避免炒房客

炒弄新房，扰乱当地市场经济秩序。

但是由于政策出台后，开发商存在过度解读房屋买房政策的现象，故意散布

相关住房紧张以及未来房屋价格猛涨的虚假谣言来人为制造买房紧张局势，并且

设定一些销售条件，通过销售捆绑购物卡、小家电、停乍位等手段，造成买房摇

号等社会热点现象。2017年上海率先提出摇号买房后没多久，南京市就出台了

摇号买房的操作细则，成为了第一个摇号买房的城市，紧接着，长沙、成都、杭

州、西安、武汉等城市相继出台买房摇号政策，政策中买房人群主要是建立家庭

的双方皆是无房状态，且从人才政策、社保缴纳期限、家庭负债情况等多方面考

虑，从上到下为各个人群分配不同的摇号比例，用这种方法解决此类人群的居住

刚需，反之，对于那些有房人群、离异无房人群、单身无房人群会给予相对较低

的摇号比例。

本文将针对上述背景所论述的买房摇号热现象，通过随机过程的数理统计方

法对买房摇号这一具体生活现象做分析，通过贝叶斯统计理论将买房摇号这一现

象抽象为数学模型，加以分析计算，解决实际问题。

2、贝叶斯及其昉用

贝叶斯理论的发明者是在18世纪后期一个名叫托马斯.贝叶斯的人提出的，

他当时提出了这样一个有意思的假设：”在一个盒子中有十个球，分别是黄球和

白球，但是这是一个黑盒子，我们不知道其中黄球与白球的分布比例，那么，我

们能否通过从中取球的方式来得到黑盒子中黄球与白球的比例呢？”根据这一问

题，便演化出了贝叶斯的理论。如今，贝叶斯理论在我们生活中的方方面面有了

实际的应用。如在论文⑶中王玉和周怡等人探究了常规的医疗检测中通过贝叶

斯理论能够推断出病人在确诊为阳性病例时出现心脏毒性损伤的概率值大小；在

论文［4］中杨真真、岳佳鑫等人探究了银行对于中小企业的信贷政策、中小企业

的综合实力及其供求关系的稳定程度、企业信誉积分等因素进行分析，将贝叶斯

理论应用到中小企业的信贷决策中，对中小企业的放贷资质、放贷款项以及放贷

年限做出具体决策，大大提高了银行的放贷决策效率，为银行创益丰收；在论文

⑸中白旭东和陈福军等人利用贝叶斯理论将目前已经存在的大量医疗器材临床

实验作为先验信息，改善临床医疗器械的评价方式，使得其能够更加适应当下医

疗技术高速发展所产生的发明过程与更新换代变快的情况；在论文⑹中马玉颖

和高贵锋等人将贝叶斯理论作为一种随机模拟的统计数理方法应用于土壤微生

物和生物地理学之中，用贝叶斯理论作为基础完成了土蒙微生物研究的模型的搭

建、拟合和模型的优化，证明了贝叶斯在土壤微生物生物地理学中将会有十分广

阔的前景。从上述系列论文中能够看出贝叶斯在我们生活以及科学研究的方方面

面都有着举足轻重的地位，并且作为一种数学工具，贝叶斯理论能够切实解决生

活中所遇到种种问题。

3、贝叶斯原理公式

18世纪一个名叫托马斯.贝叶斯的人当时提出了这样一个有意思的假设：

“在一个盒子中有十个球，分别是黄球和白球，但是这是一个黑盒子，我们不知

道其中黄球与白球的分布比例，那么，我们能否通过从中取球的方式来得到黑盒

子中黄球与白球的比例呢？"假设我们知道黑盒子中有6个黄球和4个白球，那

么我们随机抓取一个球，这个球时黄球的概率是多少？亳无疑问，答案是0.6,

但是在很多情况卜.我们所遇到的问题正如黑盒子一样我们是不知道其分布规律

的，因此贝叶斯便提出了上述这样的问题。

在统计学里面有着两个分支体系，一个是“频率”，一个是“贝叶斯”，它们

各自都发展庞大，贝叶斯理论⑺主要是利用了“相关性”作为桥梁的。其贝叶斯

的公式可以描述如下：

P(B]A)P(A)

P(A|B)=

P(B)

式中:

P(A)代表事件A发生的概率

P(8)代表事件“发生的概率

P(3|A)代表在事件力发生的条件卜事件B发生的概率

P(A|为代表在事件B发生的条件下事件A发生的概率

(a)条件概率：其中，P(A)和代表的是事件发生的概率，而P(A|5)和

P(3|A)代表的是条件概率，在贝叶斯理论中，条件概率的存在是其关键所在，

在其中扮演着相关性的角色；

S)完备事件组：在完备事件组中，c\+c，+…+c”其中&、c…&［事件

两两之间互斥，同时所有事件的并集乂组成了整个样本空间。

(c)全概率公式：在贝叶斯公式中，事件8的发生可能是由多种原因导致的即事

件&、因此多种事件原因便能够组成一组完备事件组，从而可以得出

全概率公式如下：

P(B)=P(0c)P(C)+P(BIcJP(Cj+…+P@IC)P(C〃)

P(8)=£P(B|C,)P(C,)

c=l

(d)先验概率：先验概率是指根据经验和分析得到的概率，在贝叶斯公式中，通

常能够以实际情况以及经验判断出事件A发生的概率尸(A),以及事件B发生的概

率尸(B)。

(e)后验概率：后验概率是指通过调查和获取新的资料信息后，对原始的信息进

行概率修正后得到的概率，在贝叶斯公式中，在事件A发生的条件下事件8发生

的概率P(B\A)以及在事件B发生的条件下事件A发生的概率都是属于

后验概率。

因此，当我们将上述的全概率公式带入到贝叶斯公式中就能够得到如下完备的

贝叶斯公式：

P(A13)P(B|X)P(A)

P(4|8)=

P(B)一P(B)

=___________________P(8|A)P(A)___________________

=P(8)=P(81c)P(c)+P(81cj尸&)+•••+尸(81C“)P(C“)

4、问题模型建立及解决

2017年，黄先生计划在武汉市购买一套商品住宅新房，但是由于武汉地理

位置优越，城市发展完备度高以及其他种种原因，导致大量同黄先生一样的人都

希望在武汉市买房，由于武汉市新放出的一批新房楼盘数量有限，政府推出了买

房摇号的方式来公平参与买房，黄先生通过内部消息了解，其买房摇号的机制如

下：

本次楼房俏售数量为25套，参与摇号人数为100人，这100人可以参与5

轮摇号，每轮房源为5套.为了杆绝炒房等扰乱市场顺序的现象出现，将会通过

资质型机制将买主分为五个等级，并且每个等级的中签概率皆不相同，如下表

4.1所示：

表4.1摇号概率机制表

序号人群分配比例(％)中签概率权重(％)

1高端人才4035

250年本地居住2525

320年本地居住1520

落户本地且社保缴

41215

纳10年

5非本地户口85

4.1问题一：黄先生参与摇号抽到房子的概率是多少呢？

假设黄先生是高端人才，将黄先生摇号中签概率权重看作事件A,则:

P(4)=035

在第一组摇号抽签中，将每个人抽中房子的概率视为事件8,则：

尸(8)=第一组房屋数目=_5_=005

抽签人数100,

那么，将黄先生在第一次买房摇号中抽中视为事件C,贝I：

P(C)=中签概率权重x羽；""叱数"=0.35x0.05x5=0.0875

抽签人数

所以，当黄先生是高端人才时其买房摇号所抽中的概率为8.75%,同理，若

黄先生是以其他身份参与摇号时，其中签比例将会不同，如下表4.2所示：

表4.2不同身份摇号中签率表

50年本20年本落户本地且

参与身份高端人才非本地户口

地居住地居住社保缴纳10年

中签率(％)8.756.2553.751.25

4.2问题二：假如黄先生是以高端人才参与房屋摇号，但是黄先生的运气不好，

第一次并没有被抽中，那么黄先生第二次再参加摇号时其概率为多少呢？

我们将黄先生第一次参与摇号事件视为A,由前面已知，第一次摇号即抽中

的概率为：

P(A)=0.0875

那么，第一次没有抽中的概率为:

P(A)=\-P(A)=\-0.0875=0.9125

第二次参与摇号事件视为8,那么在第一次没有被抽中的情况下第二次被抽

中的概率为：

P(B]a=中签概率权重x第二吁叱数目=0.35x，一=0.0184

抽签人数100-5

所以黄先生第一次没有抽中，但是第二次抽中的概率为：

P(B)=P(B|A)xP(A)=0.9125x0.0184x5=0.084

以此类推，那么黄先生在每一次被抽中的概率分别如下表43所示:

表4.3第n次摇号中签的概率表

第n次

12345

被抽中

中签率(％)8.758.408.057.707.34

同理，若黄先生是以其他身份参与抽签时，那么他的第n次中签概率如下表

4.4所示:

表4.4不同身份第n次摇号中签概率表

第n次

12a4S

被抽中

中签率

高端人才8.758.408.057.707.34

(%)

50年本中签率

6.256.176.085.995.90

地居住(%)

20年本中签率

55555

地居住(%)

落户本地

中签率

且社保缴3.753.803.853.913.97

(%)

纳10年

非本地中签率

1.251.301.3951.411.48

户口(%)

4.3问题三：假设黄先生买房摇号抽中了房子，那么黄先生是以什么身份参加摇

号的？其概率分别是多少？

我们将黄先生第•次抽中房子视为事件4,黄先生的身份为高端人才视为事

件8,黄先生的身份为高端人才视为事件C,黄先生的身份为高端人才视为事件

。，黄先生的身份为高端人才视为事件E,黄先生的身份为高端人才视为事件

F，根据全概率公式网，黄先生第一次抽中房子的概率为：

已知：P(B)=0.4,P(C)=0.25,P(D)=0.15,P(E)=0.12,P(F)=0.08

所以：

P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|QP(C)+P(A|D)P(D)+P(A\E)P(E)+P(A\F)P(F)

=0.0875x0.4+0.C625x0.25+0.05x0.15+0.0375x0.12+0.0125x0.08

=0.0636

根据贝叶斯公式，黄先生在第一次抽中房子的情况下其身份为高端人才的概

率为：

「⑹6曳鸳皿处处

P(A)P(A)

P(A|8)P(8)

P(A\B)P(B)+P(A|C)P(C)+P(A|D)P(D)+P(A|E)P(E)+P(A\F)P(F)

__________________________0.0875x0.4__________________________

0.0875x0.4+0.0625x0.25+0.05x0.15+0.0375x0.12+0.0125x0.08

=0.5501

型可得，黄先生在第一次抽中房子的情况下其身吩为其他的概率计算如表

4.5所示：

表4.5各个身份概率表

第一次抽中

50年本20年本落户本地且社非本地

身份高端人才

地居住地居住保缴纳10年户口

身份概率

55.0124.5611.797.071.57

(%)

根据以上公式，我们便可以得到黄先生在第n次抽中房子时，其身份的概率

大小，经过计算，如表4.6所示：

表4.6第n次抽中时的身份概率表

落户本地

高端50年本20年本非本地

次数概率且社保缴

人才地居住地居住户口

纳10年

第一次概率(%)55.0124.5611.797.071.57

第二次概率(%)54.0824.8312.077.341.67

第三次概率(%)53.1425.0812.387.621.78

第四次概率(%)52.1225.3412.697.941.91

第五次概率(%)51.2225.7313.088.311.65

5、结果分析与讨论

从表4.2中可以看出，高端人才在买房摇号时摇中的比例最大，非本地户口在

买房摇号时摇中的比例最小，50年本地居住、20年本地居住、落户本地且社保

缴纳10年等人群摇中比例逐渐减小，其中，拥有高端学历人群摇中房子的概率

是非本地户I」人群的7倍左右；从表4.3中可以看出随着参与次数的增加，买房

摇中的比例将会逐渐减小，但是减小的幅度比较小；但从表4.4中我们可以发现

一个有趣的现象，高端人才和50年本地居住的人群买房摇中的概率从左往右依

次减小，相反，落户本地且社保缴纳10年和非本地户=1随着抽取的次数增加，

其抽