湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）

襄阳四中2024级高二年级上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数满足，则（）A. B. C. D.2.过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程为（）A. B. C. D.3.一组正数的平均数为，则的最小值为（）A. B. C. D.4.若满足，则的最小值为（）A. B. C. D.5.若既在直线上，又在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率的最大值为（）A. B. C. D.6.我们知道，空间中，过点且一个法向量为的平面，其方程可以写成，则点到平面的距离（）A. B. C. D.7.已知正四棱柱中，(点E在棱BB1上)，，则该四棱柱被过点，，平面截得的截面面积为A. B.36 C. D.8.若，向量满足，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则与相互独立B.若与互斥，则C.方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度D.数据的第百分位数为10.设椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上的动点，则下列结论正确的是（）A.离心率B.的最小值为C.的大小可以是D.满足为等腰三角形的点有个11.如图，在长方体中，，分别是棱的中点，点在侧面内，且，则（）A.的最小值是B.C.三棱锥的体积是定值D.三棱锥的外接球表面积的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从集合中任取两个不相等正数，则成立的概率是__________.13.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______．14.已知椭圆：两条弦相交于点（点在第一象限），且轴，轴.若，则椭圆的离心率为______．四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知顶点，边上中线所在直线方程为，边上高所在直线方程为．（1）求边所在直线方程；（2）求点和点的坐标．16.某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率:（3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差.17.如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使．（1）若，在折叠后的线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（2）求三棱锥的体积的最大值，并求出此时点到平面的距离.18.在平面直角坐标系中，求两条直线的夹角的大小有以下公式：设直线，的夹角为，斜率分别为，，则.求椭圆的切线方程有以下结论：已知椭圆的左右焦点分别为，，为上一点，则在点的切线的方程为椭圆的光学性质：自发出的光线照射到点处，被切线反射，反射光线一定经过点．（1）证明椭圆的光学性质；（2）如图，过直线交椭圆于，两点非左右顶点求面积的最大值；19.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到的“切比雪夫距离”，记作.（1）已知点和点，直线：，求和.（2）已知圆C：和圆E：.（i）若两圆心的