上海市六十中学2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题含解析

上海市六十中学2026届高二数学第一学期期末统考模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线在y轴上的截距是A. B.C. D.2．设分别为圆和椭圆上的点,则两点间的最大距离是A. B.C. D.3．已知抛物线，过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有（）条A.0 B.1C.2 D.34．“”是“直线与直线垂直”的A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，已知，，，，则（）A. B.C. D.6．在下列函数中，求导错误的是（）A.， B.，C.， D.，7．已知奇函数，则的解集为（）A. B.C. D.8．命题任意圆的内接四边形是矩形，则为（）A.每一个圆的内接四边形是矩形B.有的圆的内接四边形不是矩形C.所有圆的内接四边形不是矩形D.存在一个圆的内接四边形是矩形9．2019年湖南等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式即语文、数学、英语必考，考生首先在物理、历史中选择1门，然后在思想政治、地理、化学、生物中选择2门，一名同学随机选择3门功课，则该同学选到历史、地理两门功课的概率为（）A. B.C. D.10．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A.y=±2x B.y=C. D.11．是等差数列，且，，则的值（）A. B.C. D.12．在等比数列中，，则的公比为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.14．设是数列的前项和，且，则_____________.15．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______.16．函数在处的切线方程是_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.18．（12分）某厂A车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：加工零件的个数x12345加工的时间y（小时）1.52.43.23.94.5（1）在给定的坐标系中画出散点图；（2）求出y关于x的回归方程；（3）试预测加工9个零件需要多少时间？参考公式：，19．（12分）已知圆：，定点，A是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于P点（1）求P点的轨迹C的方程；（2）设直线过点且与曲线C相交于M，N两点，不经过点．证明：直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值20．（12分）如图，在四棱锥中中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，.（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.21．（12分）已知圆.（1）过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.22．（10分）已知椭圆C：，斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点且（1）求椭圆C的离心率；（2）求直线l的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】在y轴上的截距只需令x=0求出y的值即可得出.【详解】令x=0，则y=-2，即直线在y周上的截距为-2，故选D.2、D【解析】转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加（半径）.【详解】设，圆心为，则，当时，取到最大值，∴最大值为故选：D.【点睛】本题考查圆上点与椭圆上点的距离的最值问题，解题关键是圆上的点转化为圆心，利用圆心到动点距离的最值加（或减）半径得出结论3、D【解析】设出过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程，再与的方程联立借助判别式计算、判断作答.【详解】抛物线的对称轴为y轴，直线过点P且与y轴平行，它与抛物线C只有一个公共点，设过点与抛物线C只有一个公共点且斜率存在的直线方程为：，由消去y并整理得：，则，解得或，因此，过点与抛物线C相切的直线有两条，相交且只有一个公共点的直线有一条，所以过点与抛物线C有且只有一个交点的直线有3条.故选：D4、B【解析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】因为直线与直线垂直，则，即，解得或；因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.故选B【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.5、A【解析】利用空间向量加法法则直接求解【详解】连接BD，如图，则故选：A6、B【解析】分别求得每个函数的导数即可判断.详解】；；；.故求导错误的是B.故选：B.7、A【解析】先由求出的值，进而可得的解析式，对求导，利用基本不等式可判断恒成立，可判断的单调性，根据单调性脱掉，再解不等式即可.【详解】的定义域为，因为是奇函数，所以，可得：，所以，经检验是奇函数，符合题意，所以，因为，所以，当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增，由可得，即，解得：或，所以的解集为，故选：A.8、B【解析】全称命题的否定特称命题，任意改为存在，把结论否定.【详解】全称量词命题的否定是特称命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A，C不符合题意，同时对结论进行否定，所以：有的圆的内接四边形不是矩形，故选：B.9、A【解析】先由列举法计算出基本事件的总数，然后再求出该同学选到历史、地理两门功课的基本事件的个数，基本事件个数比即为所求概率.【详解】由题意，记物理、历史分别为、，从中选择1门；记思想政治、地理、化学、生物为、、、，从中选择2门；则该同学随机选择3门功课，所包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，共个基本事件；该同学选到历史、地理两门功课所包含的基本事件有：，，共个基本事件；该同学选到物理、地理两门功课的概率为.故选：A.【点睛】本题考查求古典概型的概率，属于基础题型.10、B【解析】双曲线的离心率为，渐进性方程为，计算得，故渐进性方程为.【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.11、B【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，，也成等差数列，所以故选：B12、D【解析】利用等比数列的性质把方程都变成和有关的式子后进行求解.【详解】由等比数列的等比中项性质可得，又，所以，因，所以，所以,故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.【详解】由题可得，，设，因为点P在线段AB上，所以，∴，∴当时，的最小值为.故答案为：.14、【解析】根据题意可知，再利用裂项相消法，即可求出结果.【详解】因为，所以.故答案为：.15、【解析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数计算最值作答.【详解】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且，于是得，因，则当时，，所以的最大值为.故答案为：16、【解析】求得，利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.【详解】因为，则，，，故在处的切线方程是，整理得：.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得；由菱形边长和角度的关系可证得；利用线面垂直的判定定理可证得结论；（2）以为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.详解】（1）平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，，四边形为菱形且为中点，，又，，又，，平面，，平面.（2）以为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，设平面的法向量，则，令，则，，，，二面角为钝二面角，二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；涉及到面面垂直的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用，属于常考题型.18、（1）图见解析；（2）；（3）小时.【解析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点即可.（2）由表格中的数据代入公式算出，再求，即可得到方程；（3）中将自变量为9代入回归方程可得需用时间.【小问1详解】【小问2详解】由表中数据得：，，，，由x与y之间具有线性相关关系，根据公式知：，，∴回归直线方程为：【小问3详解】将代入回归直线方程得，，∴预测加工9个零件需要小时19、（1）；（2）证明见解析，定值为-1.【解析】(1)根据给定条件探求出，再利用椭圆定义即可得轨迹C的方程.(2)由给定条件可得直线的斜率k存在且不为0，写出直线的方程，再联立轨迹C的方程，借助韦达定理计算作答.【小问1详解】圆：的圆心，半径为8，因A是圆上一动点，线段的垂直平分线交半径于P点，则，于是得，因此，P点的轨迹C是以，为左右焦点，长轴长2a=8的椭圆，短半轴长b有，所以P点的轨迹C的方程是.【小问2详解】因直线过点且与曲线C：相交于M，N两点，则直线的斜率存在且不为0，又不经过点，即直线的斜率不等于-1，设直线的斜率为k，且，直线的方程为：，即，由消去y并整理得：，，即，则有且，设，则，直线MQ的斜率，直线NQ的斜率，，所以直线MQ的斜率与直线NQ的斜率之和为定值.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据平面得到，结合得到证明。（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式得到答案。【小问1详解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小问2详解】两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，设平面的一个法向量为设平面的一个法向量为，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值21、（1）；（2）或.【解析】（1）根据直线与圆相切，求得切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程；（2）利用弦长公式，结合已知条件求得直线的斜率，即可求得直线方程.【小问1详解】圆，圆心，半径，又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足，又，故满足题意的切线斜率，则过点的切线方程为，即.【小问2详解】直线过点，若斜率不存在，此时直线的