北京市西城区鲁迅中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年北京市西城区鲁迅中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若分式1a-1有意义，则a的取值范围是A.a≠1 B.a≠0 C.a=12.下列长度的三条线段，能组成三角形的是(

)A.3，4，7 B.5，6，10 C.2，3，6 D.5，6，113.下面式子计算正确的是(

)A.(-2a)(-a)2=2a3 4.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是(

)A.(x+2y)(x-2y)=5.如图，CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F，CD=EF.要根据“HL”A.∠A=∠B

B.∠C=∠D6.将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于(

)

A.50∘ B.60∘ C.75∘7.如图，已知∠AOB=58∘，C为射线OB上一点，用尺规按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；②以点C为圆心，OD为半径作弧，交OC于点F；③以点F为圆心，DE为半径作弧，交上一步作的弧于点G；④连接CG并延长，交OA于点H.则∠A.58∘ B.64∘ C.61∘8.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，将△ABC按如图所示的方式依次折叠：

有下面四个结论；

①DE平分∠FDC；②BF=AD；③∠ADB=3∠A.①③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.约分：-10mn210.计算：(3x3y)11.如图，在△ABC和△DEF，AC=DF，BF=CE，当添加一个条件

12.已知：如图，AD是△ABC中BC边上的高，∠ABC=42∘，AE平分∠BAC，∠ACB

13.若(x2-m)x+4x的展开式中只含有14.数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是

.(请填上正确的序号)

15.如果关于x的多项式x2+(m+1)x+4是完全平方式，那么16.在我国南宋数学家杨辉的《详解九章算法》一书中，给出了展开式(a+b)n的系数规律，如图.

当式子x4-12x3三、解答题：本题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：

(1)3a(5a-2)；

(2)18.(本小题10分)

分解因式：

(1)12ab-6b；

(2)x19.(本小题6分)

已知：如图，C是AE的中点，∠B=∠D，BC//20.(本小题10分)

(1)计算：(2a-3b)(a+2b)21.(本小题7分)

如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘.

(1)尺规作图，求作∠B的平分线交AC于点E；(保留作图痕迹)

(2)由(1)可知点E到AB，BC的距离相等，依据是______；

(3)取BC边的中点D，连接AD，画出AD边上的高BF；

(4)若△ABC的面积是20，22.(本小题7分)

已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE=CF.求证：23.(本小题12分)

【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：

如图1，在△ABC中，AB=6，AC=10，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.

【方法探索】(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE.这样就能把线段AB，AC，2AD集中在△ABE中.请根据小明的方法思考：

①补全图形，由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是______；

(A)SSS；

(B)SAS；

(C)AAS；

(D)ASA.

②利用三角形的三边关系可以确定AE的取值范围，从而可以得到AD的取值范围是______.

【问题解决】(2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题：

①如图2，在△ABC中，D是BC边上的一点，AE是△ABD的中线，CD=AB，∠BDA=∠BAD，证明AC=2AE；

②如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE=AB，AF=AC，直接写出线段EF与AD的关系.

【问题拓展】(3)我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形.

①如图4，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90∘，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG.求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；

②如图5，将△ABC分别以AB，BC，AC为边向外作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACMN，连接DG，24.(本小题8分)

(1)如图1，在直角△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，直接写出线段BD、CE、DE之间的数量关系；

(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角.(1)中结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)如图3，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以2cm/s的速度从点A出发，沿A→C→B移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿B→C→A移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点.过点答案和解析1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】-210.【答案】9x11.【答案】AB=DE(答案不12.【答案】14

13.【答案】4

14.【答案】①②

15.【答案】3或-516.【答案】2或4

17.【答案】解：(1)3a(5a-2)=15a18.【答案】(1)6b(2a-1)解：(1)12ab-6b

=6b⋅19.【答案】证明：∵C是AE的中点，

∴AC=CE.

∵BC//DE，

∴∠ACB=∠E.20.【答案】(1)2a2+ab-解：(1)(2a-3b)(a+2b)

=2a21.【答案】解：(1)如图，射线BE即为所求．

(2)由(1)可知点E到AB，BC的距离相等，依据是角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．

故答案为：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等．

(3)如图，BF即为所求．

(4)∵点D为BC边的中点，△ABC的面积是20，

∴S△ABD=12S△ABC22.【答案】证明：(1)∵点D是BC的中点，

∴BD=DC，

∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴∠DEB=∠DFC=90∘，

在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD=CDBE=CF，

23.【答案】(1)解：①如图1，延长AD到点E，使DE=AD，

∵D是BC的中点，

∴BD=CD，

在△ADC和△EDB中，

AD=ED∠ADC=∠EDBCD=BD，

∴△ADC≌△EDB(SAS)，

故答案为：B；

②∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC=10，

在△ABE中，10-6<AE<10+6，

∴4<2AD<16，

∴2<AD<8，

故答案为：2<AD<8；

故答案为：2<AD<8；

(2)①证明：如图2，延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF.

∵AE是BD边上的中线，

∴DE=EB，

在△ABE和△FDE中，

AE=EF∠AEB=∠DEFDE=EB，

∴△ABE≌△FDE(SAS)，

∴∠BAE=∠F，DF=AB，

∴DF//AB，

∴∠ADF+∠BAD=180∘，

∵CD=AB，DF=AB，

∴CD=DF，

∵∠ADC+∠ADB=180∘，∠BDA=∠BAD，

∴∠CDA=∠ADF，

在△ADC和△ADF中，

AD=AD∠ADC=∠ADFDC=DF，

∴△ADC≌△ADF(SAS)，

∴AC=AF，

∵AF=2AE，

∴AC=2AD；

②解：EF=2AD；EF⊥AD；理由如下：

如图3，延长DA交EF于点P，延长AD，使AD=DG，连接BG，

∵AD为BC边上的中线，

∴BD=DC，

∵∠BDG=∠ADC，

在△ADC和△GDB中，

DC=DB∠ADC=∠GDBAD=DG，

∴△ADC≌△GDB(SAS)，

∴BG=AC，∠CAD=∠G，

∴AC//BG，

∴∠ABG+∠BAC=180∘，

∵AE⊥AB，AF⊥AC，

∴∠BAE=∠CAF=90∘，

∴∠EAF+∠BAC=360∘-90∘-90∘=180∘，

∴∠ABG=∠EAF，

∵AF=AC，BG=AC，

∴BG=AF，

在△ABG和△EAF中，

AB=EA∠ABG=∠EAFBG=AF，

∴△ABG≌△EAF(SAS)，

∴EF=AG，∠BAG=∠E，

∵AG=2AD，

∴EF=2AD.

∵∠BAE=90∘，

∴∠BAG+∠EAP=90∘，

∴∠E+∠EAP=90∘，

∴∠APE=90∘，

∴EF⊥AD.

综上所述，EF=2AD；EF⊥AD.

(3)①证明：作EH⊥AG，交GA的延长线于H，如图，

∵四边形ABDE是正方形，

∴AB=AE，∠BAE24.【答案】解：(1)DE=BD+CE，理由如下：

如图1，∵∠BAC=90∘，∠1+∠BAC+∠2=180∘，

∴∠1+∠2=90∘，

∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，

∴∠BDA=∠AEC=90∘，

∵∠BAD+∠ABD=90∘，

∴∠ABD=∠2，

在△ADB和△CEA中，

∠ABD=∠2∠ADB=∠AECAB=AC，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴BD=AE，AD=