七年级数学(上)思维特训(5)：有理数运算的特殊方法(含答案)

思维特训(五)有理数运算的特殊方法方法点津·1．整体法：整体法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．2．倒数法：由于除法对加法没有分配律，因此一个数除以几个加数的和的运算可以转化成先求其倒数，即将除法对加法转化为加法对乘法，再利用分配律，实现巧求解的目的．3．拆项法：在计算分数的加、减法时，将其中一些分数拆开，使得拆开后的一些分数可以互相抵消，以达到简化运算的目的，我们把这种方法称为拆项法或列项法．4．特殊两位数乘法的口算技巧：利用数位和数字特点，可以研究得到一些特殊两位数的乘法技巧．典题精练·类型一整体法1．计算(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4))×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5))－(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5))×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4))时，若把(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5))与(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4))分别看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝A，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＝B，则原式＝B(1＋A)－A(1＋B)＝B＋AB－A－AB＝B－A＝eq\f(1,5).请用上面的方法计算：(1)(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6))×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7))－(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7))×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6))；(2)(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n))×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n＋1))－(1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n＋1))×(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n))．类型二倒数法2．课本P38有这样一道题(第8题第(3)小题)：计算：(1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))÷(－eq\f(7,8))＋(－eq\f(7,8))÷(1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))．佳佳发现，这个算式求的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答出了这道题．(1)前后两部分之间存在着什么关系？(2)先计算哪部分比较简便？并求出这部分的结果；(3)利用(1)中的关系，直接写出另一部分的结果；(4)根据以上分析，求出原式的结果．类型三拆项法3.eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)，eq\f(1,2×3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(1,3×4)＝eq\f(1,3)－eq\f(1,4)，将以上三个等式左右两边分别相加，得eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).用你发现的规律解答下列问题：(1)猜想：eq\f(1,2018×2019)＝__________；(2)计算：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2018×2019)；(3)探究并计算：eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2016×2018).类型四特殊两位数乘法的口算技巧4．七年级学生佳佳在研究两位数乘法时，得到如下结果：(1)研究“十位上的数字都为1”的两位数乘法的口算技巧时，如计算13×12，具体算法如下：第一步：用乘数13加上乘数12的个位数字2，即13＋2＝15；第二步：把第一步得到的结果乘10，即15×10＝150；第三步：用乘数13的个位数字3乘乘数12的个位数字2，即3×2＝6；第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即150＋6＝156.于是得到13×12＝156.请模仿上述算法计算14×17并填空．第一步：用乘数14加上乘数17的个位数字7，即__________；第二步：把第一步得到的结果乘10，即__________；第三步：用乘数14的个位数字4乘乘数17的个位数字7，即__________；第四步：把第二步和第三步所得的结果相加，即__________．于是得到14×17＝________．(2)研究“十位上的数字相加等于10，个位数字相等”的两位数乘法的口算技巧：如34×74＝2516.结果中的前两位数是用3×7＋4得25，后两位数是用4×4＝16，经过直接组合就可以得到正确结果2516.请用上述方法直接计算：①45×65；②56×56.

详解详析1．解：(1)设eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＝A，eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,7)＝B，则原式＝B(1＋A)－A(1＋B)＝B＋BA－A－AB＝B—A＝eq\f(1,7).(2)原式＝eq\f(1,n＋1).2．解：(1)这两部分的结果互为倒数．(2)先算前一部分比较简便．(1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))÷(－eq\f(7,8))＝(eq\f(7,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))×(－eq\f(8,7))＝－2＋1＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,3).(3)另一部分的结果是－3.(4)(1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))÷(－eq\f(7,8))＋(－eq\f(7,8))÷(1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))＝－eq\f(1,3)－3＝－eq\f(10,3).3．解：(1)eq\f(1,2018)－eq\f(1,2019)(2)eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋…＋eq\f(1,2018×2019)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2018)－eq\f(1,2019)＝1－eq\f(1,2019)＝eq\f(2018,2019).(3)eq\f(1,2×4)＋eq\f(1,4×6)＋eq\f(1,6×8)＋…＋eq\f(1,2016×2018)＝eq\f(1,4)×(1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(