七年级数学(上)思维特训(17)：线段上的动点问题(含答案)

思维特训(十七)线段上的动点问题方法点津·所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类问题．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．解题时要注意动点的起始位置和终止位置、运动方向，有时还要关注动点的运动速度，注意在运动过程中寻找等量关系．线段上的动点问题一般有两种类型：(1)动点无速度型，主要利用两点间的距离、线段的和差关系、线段中点的性质，结合方程求解；(2)动点有速度型，主要利用路程＝时间×速度，结合线段有关的知识，通过方程来求解．典题精练·类型一动点无速度型1．如图17－S－1所示，A，B，C是一条公路边的三个村庄，A，B间的距离为100km，A，C间的距离为40km，现要在A，B之间设一个车站P，设P，C间的距离为xkm.(1)用含x的式子表示车站到三个村庄的距离之和；(2)若车站到三个村庄的距离之和为105km，则车站应设在何处？(3)若要使车站到三个村庄的距离之和最小，则车站应设在何处？图17－S－12．如图17－S－2，某公司有三个住宅小区A，B，C，A，B，C各小区分别住有职工30人、15人、10人，且这三个小区在一条大道上(即A，B，C三点共线)，已知AB＝100米，BC＝200米，为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在某小区设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应该设在哪个小区？图17－S－23．已知数轴上A，B两点对应的数分别为a和b，且a，b满足等式(a＋9)2＋|7－b|＝0，P为数轴上一动点，对应的数为x.(1)求线段AB的长．(2)数轴上是否存在点P，使PA＝3PB？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．(3)在(2)的条件下，若M，N分别是线段AB，PB的中点，试求线段MN的长．类型二动点有速度型4．如图17－S－3，P是线段AB上任意一点，AB＝12cm，C，D两点分别从点P，B开始，同时向点A运动，且点C的运动速度为2cm/s，点D的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts.(1)若AP＝8cm.①求运动1s后，CD的长；②当点D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD.(2)如果t＝2，CD＝1cm，试探索AP的长．图17－S－35．如图17－S－4，B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，C是线段BD的中点，AD＝10cm，设点B运动的时间为ts.(1)当t＝2时，①AB＝________cm；②求线段CD的长．(2)在运动过程中，若AB的中点为E，则EC的长是否变化？若不变，求出EC的长；若发生变化，请说明理由．图17－S－46．如图17－S－5甲，O是线段AB上一点，C，D两点分别从O，B同时出发，以2cm/s，4cm/s的速度在直线AB上运动，点C在O，A之间，点D在O，B之间．(1)设C，D两点同时沿直线AB向左运动ts时，AC∶OD＝1∶2，求eq\f(OA,OB)的值；(2)在(1)的条件下，若C，D两点运动eq\f(5,2)s后都停止运动，此时恰有OD－AC＝eq\f(1,2)BD，求CD的长；(3)在(2)的条件下，将线段CD在线段AB上左右滑动如图17－S－5乙(点C在O，A之间，点D在O，B之间)，若M，N分别为AC，BD的中点，试说明线段MN的长度始终不发生变化．图17－S－5详解详析1．解：(1)如图①，当点P在线段BC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PB＋PC＝40＋x＋100－(40＋x)＋x＝(100＋x)km；如图②，当点P在线段AC上时，车站到三个村庄的距离之和为PA＋PC＋PB＝40－x＋x＋60＋x＝(100＋x)km.综上所述，车站到三个村庄的距离之和为(100＋x)km.(2)由(1)得100＋x＝105，解得x＝5.答：车站设在C村左侧或右侧5km处．(3)当x＝0时，x＋100＝100，此值最小．答：车站设在C村时到三个村庄的距离之和最小．2．解：以A小区为停靠点，则所有人的路程之和为15×100＋10×300＝4500(米)，以B小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×100＋10×200＝5000(米)，以C小区为停靠点，则所有人的路程之和为30×300＋15×200＝12000(米)．因为4500<5000<12000，所以该停靠点的位置应设在A小区．3．解：(1)由(a＋9)2＋|7－b|＝0，得a＋9＝0，7－b＝0.解得a＝－9，b＝7.所以线段AB的长为b－a＝7－(－9)＝16.(2)当点P在线段AB上时，PA＋PB＝AB，即3PB＋PB＝AB＝16，PB＝4，此时7－x＝4，解得x＝3；当点P在线段AB的延长线上时，PA－PB＝AB，即3PB－PB＝AB＝16，PB＝8，此时x＝7＋8＝15.综上所述，x的值为3或15.(3)当点P在线段AB上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MB＝eq\f(1,2)AB＝8，NB＝eq\f(1,2)PB＝2.由线段的和差，得MN＝MB－NB＝8－2＝6；当点P在线段AB的延长线上时，由M，N分别是线段AB，PB的中点，得MB＝eq\f(1,2)AB＝8，NB＝eq\f(1,2)PB＝4.由线段的和差，得MN＝MB＋NB＝8＋4＝12.综上所述，MN的长为6或12.4．解：(1)①由题意可知：CP＝2×1＝2(cm)，DB＝3×1＝3(cm)，因为AP＝8cm，AB＝12cm，所以PB＝AB－AP＝4cm，所以CD＝CP＋PB－DB＝2＋4－3＝3(cm)．②因为AP＝8cm，AB＝12cm，所以PB＝4cm，AC＝(8－2t)cm，所以DP＝(4－3t)cm，所以CD＝CP＋DP＝2t＋4－3t＝(4－t)cm，所以AC＝2CD.(2)当t＝2时，CP＝2×2＝4(cm)，DB＝3×2＝6(cm)．当点D在点C的右边时，如图①所示：因为CD＝1cm，所以CB＝CD＋DB＝7cm，所以AC＝AB－CB＝5cm，所以AP＝AC＋CP＝9cm；当点D在点C的左边时，如图②所示：因为AD＝AB－DB＝6cm，所以AP＝AD＋CD＋CP＝11cm.综上所述，AP＝9cm或11cm.5．解：(1)①因为B是线段AD上一动点，沿A→D以2cm/s的速度运动，所以当t＝2时，AB＝2×2＝4(cm)．②因为AD＝10cm，AB＝4cm，所以BD＝10－4＝6(cm)．因为C是线段BD的中点，所以CD＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(1,2)×6＝3(cm)．(2)不变．因为AB的中点为E，C是线段BD的中点，所以EB＝eq\f(1,2)AB，BC＝eq\f(1,2)BD，所以EC＝EB＋BC＝eq\f(1,2)(AB＋BD)＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)×10＝5(cm)．6．解：(1)设AC＝xcm，则OD＝2xcm，又因为OC＝2tcm，BD＝4tcm，所以OA＝(x＋2t)cm，OB＝(2x＋4t)cm，所以eq\f(OA,OB)＝eq\f(1,2).(2)设AC＝xcm，则OD＝2xcm，又OC＝2×eq\f(5,2)＝5(cm)，BD＝4×eq\f(5,2)＝10(cm)，由OD－AC＝eq\f(1,2)BD，得2x－x＝eq\f(1,2)×10，解得x＝5，所以OD＝2×5＝10(cm)，所以CD＝OD＋OC＝10