2025 八年级数学上册微专题分式方程的增根与无解课件

一、分式方程的解法回顾：增根产生的“土壤”演讲人分式方程的解法回顾：增根产生的“土壤”总结：从“零散”到“系统”的认知提升实战演练：在题目中深化理解增根与无解的联系与区别：从“特殊”到“一般”增根的定义与本质：被“过滤”的“假解”目录2025八年级数学上册微专题分式方程的增根与无解课件各位同学、老师们：大家好！今天我们聚焦八年级数学上册的一个关键微专题——“分式方程的增根与无解”。作为一线数学教师，我在多年教学中发现，这两个概念是分式方程学习的“易混淆区”，也是考试中高频出错点。许多同学能熟练解分式方程，却常因分不清“增根”与“无解”而失分。今天，我们就从基础出发，抽丝剥茧，逐步揭开它们的本质联系与区别。01分式方程的解法回顾：增根产生的“土壤”分式方程的解法回顾：增根产生的“土壤”要理解增根与无解，首先需要回顾分式方程的基本解法。分式方程与整式方程的核心区别在于分母含未知数，因此解分式方程的基本思路是“化分式为整式”，具体步骤可总结为：1.去分母：方程两边同乘各分母的最简公分母，消去分母，转化为整式方程；2.解整式方程：按整式方程的解法（如移项、合并同类项、系数化为1等）求出未知数的值；3.检验：将求得的解代入原分式方程的分母（或最简公分母），若分母不为0，则是原方程的解；若分母为0，则是增根，需舍去。这三步中，“去分母”是关键操作，也正是这一步为增根的产生埋下了“伏笔”。为什么？因为去分母时，我们默认了“最简公分母不为0”（否则方程无意义），但整式方程的解可能恰好使最简公分母为0，此时这个解就不满足原分式方程的定义域要求，成为增根。分式方程的解法回顾：增根产生的“土壤”举个教学中的真实例子：解分式方程$\frac{1}{x-2}=\frac{x}{2-x}+1$。第一步，观察分母为$x-2$和$2-x$（即$-(x-2)$），最简公分母为$x-2$；第二步，方程两边同乘$x-2$，得$1=-x+(x-2)$；第三步，解整式方程：$1=-x+x-2$→$1=-2$，显然矛盾，此时原方程无解？不，这里我故意设了个“陷阱”——实际解整式方程时，正确展开应为$1=-x+(x-2)$，即$1=-x+x-2$→$1=-2$，这说明整式方程无解，因此原分式方程也无解。分式方程的解法回顾：增根产生的“土壤”但如果换一个例子，比如$\frac{2}{x+1}=\frac{1}{x-1}$，去分母后得$2(x-1)=x+1$，解得$x=3$，代入原分母$x+1=4≠0$，$x-1=2≠0$，所以$x=3$是原方程的解。通过这两个例子，我们能初步感受到：分式方程的解是否有效，与“去分母”后的整式方程的解是否满足原方程的定义域密切相关。而“增根”和“无解”正是这种关联性的两种表现。02增根的定义与本质：被“过滤”的“假解”增根的定义教材中明确指出：增根是分式方程化为整式方程后产生的不适合原分式方程的根。简单来说，增根是整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为0，因此被排除。增根的产生原因从代数操作看，增根的产生是由于“去分母”这一步扩大了未知数的取值范围。原分式方程中，未知数的取值需使所有分母不为0（即定义域受限）；而整式方程中，未知数的取值范围是全体实数（或整式有意义的范围）。因此，整式方程的解可能落在原分式方程的定义域之外，成为增根。举个学生常犯的错误案例：解方程$\frac{x}{x-1}-1=\frac{3}{(x-1)(x+2)}$。去分母时，最简公分母是$(x-1)(x+2)$，方程两边同乘后得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$；展开整式方程：$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$→$x^2+2x-x^2-x+2=3$→$x+2=3$→$x=1$；增根的产生原因检验：将$x=1$代入原分母$x-1=0$，因此$x=1$是增根，原方程无解。这里，整式方程的解$x=1$恰好使最简公分母为0，因此被判定为增根。这说明：增根一定是使最简公分母为0的解，但使最简公分母为0的解不一定是增根——只有当它同时是整式方程的解时，才是增根。增根的判定方法要判定一个解是否为增根，只需将其代入原分式方程的分母（或最简公分母），若分母为0，则是增根。具体步骤可总结为：确定原分式方程的所有分母，找出最简公分母；解整式方程，得到可能的解；将可能的解代入最简公分母，若结果为0，则是增根；否则是有效解。例如，解方程$\frac{2}{x}=\frac{3}{x+1}$，最简公分母为$x(x+1)$，去分母得$2(x+1)=3x$，解得$x=2$。代入最简公分母$2×3=6≠0$，因此$x=2$是有效解。若解得$x=0$，则代入最简公分母为0，是增根。增根的判定方法三、分式方程无解的两种情形：增根的“延伸”与整式方程的“矛盾”分式方程“无解”是比“有增根”更宽泛的概念。根据教学经验，分式方程无解主要有两种情形：情形一：整式方程的所有解都是增根即整式方程有解，但这些解全部使原分式方程的分母为0，因此原方程无有效解。01原方程分母为$x-1$和$x^2-1=(x-1)(x+1)$，最简公分母为$(x-1)(x+1)$；03检验：$x=1$代入最简公分母$(1-1)(1+1)=0$，因此$x=1$是增根，原方程无解。05案例1：解方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}$。02去分母得$x+1=2$，解得$x=1$；04这里，整式方程的解$x=1$是唯一解，但它是增根，因此原方程无解。06情形二：整式方程本身无解即去分母后得到的整式方程无实数解（如化简后得到矛盾式），此时原分式方程自然无解。案例2：解方程$\frac{x}{x-2}=2+\frac{2}{x-2}$。最简公分母为$x-2$，去分母得$x=2(x-2)+2$；展开整式方程：$x=2x-4+2$→$x=2x-2$→$-x=-2$→$x=2$；检验：$x=2$代入分母$x-2=0$，是增根，原方程无解？不，这里我故意写错了！正确展开应为$x=2(x-2)+2$→$x=2x-4+2$→$x=2x-2$→$-x=-2$→$x=2$，但代入分母确实为0，所以原方程无解。情形二：整式方程本身无解但如果是另一个例子，比如解方程$\frac{1}{x}+1=\frac{1}{x}$，去分母得$1+x=1$→$x=0$，但$x=0$使原分母为0，且整式方程的解只有$x=0$，因此原方程无解。再举一个整式方程本身无解的例子：解方程$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x+1)(x-1)}$。最简公分母为$(x+1)(x-1)$，去分母得$2(x-1)=3(x+1)+1$；展开整式方程：$2x-2=3x+3+1$→$2x-2=3x+4$→$-x=6$→$x=-6$；情形二：整式方程本身无解检验：$x=-6$代入分母$x+1=-5≠0$，$x-1=-7≠0$，因此$x=-6$是有效解，原方程有解。若修改方程为$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}+\frac{5}{(x+1)(x-1)}$，去分母得$2(x-1)=3(x+1)+5$→$2x-2=3x+3+5$→$2x-2=3x+8$→$-x=10$→$x=-10$，检验有效，原方程有解。若再修改为$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x-1}+\frac{x+4}{(x+1)(x-1)}$，去分母得$2(x-1)=3(x+1)+x+4$→$2x-2=3x+3+x+4$→$2x-2=4x+7$→$-2x=9$→$x=-\frac{9}{2}$，检验有效。情形二：整式方程本身无解那什么时候整式方程本身无解呢？例如解方程$\frac{1}{x-1}+1=\frac{2}{x-1}$，去分母得$1+(x-1)=2$→$x=2$，检验$x=2$时分母$x-1=1≠0$，因此是有效解。但如果方程是$\frac{1}{x-1}+1=\frac{1}{x-1}$，去分母得$1+(x-1)=1$→$x=1$，检验$x=1$时分母为0，是增根，原方程无解。再极端一点，解方程$\frac{x}{x-1}=\frac{1}{x-1}+2$，去分母得$x=1+2(x-1)$→$x=1+2x-2$→$x=2x-1$→$-x=-1$→$x=1$，检验$x=1$时分母为0，是增根，原方程无解。情形二：整式方程本身无解如果整式方程化简后得到“0=1”这样的矛盾式，例如解方程$\frac{1}{x}=\frac{2}{x}+1$，去分母得$1=2+x$→$x=-1$，但代入原方程左边$\frac{1}{-1}=-1$，右边$\frac{2}{-1}+1=-2+1=-1$，所以$x=-1$是有效解。这说明，只有当整式方程化简后出现“恒不成立”的等式时，才会无解。例如，解方程$\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x-2}+1$，去分母得$1=3+(x-2)$→$1=3+x-2$→$1=x+1$→$x=0$，检验$x=0$时分母$x-2=-2≠0$，有效解。情形二：整式方程本身无解哦，看来我之前的例子不够典型。正确的整式方程无解的情况应该是：去分母后得到的整式方程化简后为“0=非0数”，例如解方程$\frac{2}{x}=\frac{2}{x}+1$，去分母得$2=2+x$→$x=0$，但$x=0$使原分母为0，且整式方程的解只有$x=0$，因此原方程无解。或者更直接的例子：解方程$\frac{1}{x}+1=\frac{1}{x}+2$，去分母得$1+x=1+2x$→$x=0$，但$x=0$是增根，原方程无解。总结：分式方程无解的两种情况是——（1）整式方程有解，但所有解都是增根；（2）整式方程本身无解（即化简后得到矛盾式）。03增根与无解的联系与区别：从“特殊”到“一般”联系增根是导致分式方程无解的“直接原因”之一。当整式方程的所有解都是增根时，分式方程无解；当整式方程本身无解时，分式方程也无解。因此，增根的存在可能导致无解，但无解不一定是因为增根（如整式方程本身无解）。区别|概念|本质|表现形式|与整式方程的关系||------------|--------------------------|------------------------------|--------------------------------||增根|整式方程的解，但不满足原方程定义域|代入原分母为0|一定是整式方程的解||分式方程无解|原方程无有效解|（1）整式方程的解全是增根；（2）整式方程无解|可能与增根有关，也可能无关|典型误区辨析学生常犯的误区有：认为“有增根就一定无解”：错误。若整式方程有多个解，其中部分是增根，部分是有效解，则原方程有解。例如解方程$\frac{1}{x-1}=\frac{2}{x^2-1}+\frac{1}{x+1}$，去分母得$x+1=2+(x-1)$→$x+1=x+1$，即$0=0$，此时整式方程的解为所有实数（除使分母为0的$x=1$和$x=-1$），因此原方程的解为$x≠1$且$x≠-1$的所有实数。认为“无解就是有增根”：错误。整式方程本身无解时（如化简后得“0=1”），原方程也无解，但此时没有增根。04实战演练：在题目中深化理解实战演练：在题目中深化理解为了巩固知识，我们通过几道典型题目进行训练。基础题：判断增根题目1：解方程$\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x-2}+1$，得到解$x=4$，检验时发现$x=4$代入分母$x-2=2≠0$，因此$x=4$是有效解。若解得$x=2$，则代入分母为0，是增根。题目2：已知关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-1}+\frac{kx}{x^2-1}=\frac{3}{x+1}$有增根，求$k$的值。分析：增根是使分母为0的解，即$x=1$或$x=-1$。去分母得$2(x+1)+kx=3(x-1)$；整理整式方程：$2x+2+kx=3x-3$→$(k-1)x=-5$；基础题：判断增根若增根为$x=1$，代入整式方程得$(k-1)×1=-5$→$k=-4$；若增根为$x=-1$，代入整式方程得$(k-1)×(-1)=-5$→$k-1=5$→$k=6$；因此，$k=-4$或$k=6$。提升题：判断无解题目3：解方程$\frac{x}{x-3}=2+\frac{m}{x-3}$（$m$为常数），当$m$为何值时，方程无解？分析：去分母得$x=2(x-3)+m$→$x=2x-6+m$→$x=6-m$；若方程无解，则$x=6-m$是增根，即$6-m=3$→$m=3$；此外，若整式方程本身无解，需看是否存在$m$使整式方程矛盾。但此整式方程是一元一次方程，必有解，因此仅当$m=3$时，原方程无解。提升题：判断无解题目4：解方程$\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x-1}=\frac{k}{x^2