第1章 有理数期末复习（知识清单）（学生版）-浙教版(2024)七上

第1章有理数1.整数包括、和负整数；分数包括和.2.有理数的概念：和统称为有理数．3.有理数的分类：（1）按概念分：；（2）按符号分：．4.数轴的定义：规定了、和的直线叫做数轴.（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．5.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理教，还可以表示其他数，比如π.6.一般地，数轴上原点右边的点表示，左边的点表示；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.7.只有不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.（1）“只”字是说仅仅是不同，其它部分完全相同.

（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.（5）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离（这两个点关于原点对称）.（6）互为相反数的两数和为.7.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫做数a的绝对值，记作.（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是．即对于任何有理数a都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的，离原点的距离越远，绝对值；离原点的距离越近，绝对值．（3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的．8.绝对值的性质：绝对值具有，即任何一个数的绝对值总是正数或0．9.绝对值的求法（1）0除外，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为．（2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．10.数轴法比较有理数的大小：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数.如：a与b在数轴上的位置如图所示，则ab．11.有理数大小比较的符号法则两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：－个数为0正数与0：正数0负数与0：负数0两数异号正数负数两数同号同为正号：绝对值大的数同为负号：绝对值大的反而利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小.一、有理数及其概念1.相反意义的量错误：判断相反意义的量时不按规定确认正负数；注意：首先确定正数表示的含义，然后确定一个数据所表示的数的正负，然后再写出这个数。例1负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，负数与对应的正数“数量相等，意义相反”．若气温上升6°C记作+6°C，则气温下降5°C记作例2找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米．2.根据规则表示有理数错误：未正确阅读表示数的规则，导致表示错误，如下题中：如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是．错误的答案有：65、652、﹣65等注意：如上题所述的算筹的定义中，需要注意三点：①判断是几位数；②判断每个位数上的数是多少；③判断这个数的正负。因此“”表示的数应为：﹣652。例3中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示．二、有理数的分类1.分类时忽略“0”的分类错误：在分类时忘记将“0”分类进去，如将整数只分为正整数和负整数；有理数只分为正数与分数.注意：整数可以分为正整数，0和负整数，因此也需要知道：0既不是正整数，也不是负整数。例4在13.9，-26，+13，0，-0.6，+45这些数中，正数有()，负数有2.判断一个数的类别时考虑不全错误：只考虑有理数的正负性，或者只考虑有理数是整数还是分数。比如将-3注意：在对每个数判断类别时，要充分。例5在以下各数中：167；-0.05；-614；-3.3145；+10；-2.3；3.无限不循环小数不是有理数错误：认为π是有理数，对标了分数13注意：π是无限不循环小数，不是有理数；而分数是有限小数或无限循环小数，是有理数。例6下列7个数，-74，1.010010001，433，0，-2，0.12，-3.2626626662…（每两个2A．3个 B．4个 C．5个 D．6个三、数轴及作图1.画图时忽略数轴的三要素错误：画图时未规定正方向，或者漏掉原点的标注，或者没有规定单位长度。注意：原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可2.数轴的单位长度不一致错误：注意：例7下列所画数轴正确的是（

）A．B．C．D．3.有理数与数轴上的点的对应关系错误：认为数轴上的点与有理数一一对应注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，但反之不成立，有些点不表示有理数。例8公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点M所表示的数可能是（）A．-5 B．-3 C．-1.5例9在直线上表示下列各数：-1.5，2，-72，2.54.满足数轴上的点的位置的分类讨论错误：一个有理数在数轴上的点到已知点的距离已知的情况下，忽略分类讨论只考虑一种情况。注意：到数轴上已知点的相同距离（距离不为零）满足的点有两个，他们分别位于已知点的左右两侧。例10如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是-3(1)则B所表示的数是______．(2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为______．(3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______．四、相反数及其性质1.求一个数的相反数时只看符号错误：认为a的相反数是﹣a，﹣a一定是负数。注意：要先确定a是正数还是负数还是0,0的相反数是它本身。如果a是正数，则﹣a为负数；如果a是负数，那么﹣a是正数。例11如图，以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上的点A，B；C刚好对应着直尺上的刻度2，刻度8和刻度10．设点A，B，C所表示的数的和是m，该数轴的原点为O，向右为正方向．(1)若点A所表示的数是-3，则点C所表示的数是_______(2)若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点O对应直尺上的刻度为_______；(3)若点B，O之间的距离为4，求m的值．五、绝对值及其性质1.认为一个数的绝对值一定是正数错误：在判断“一个数的绝对值一定是正数”时认为是正确的，忽略了0的存在。注意：“一个数的绝对值一定是正数”这句话是错误的，因为0的绝对值还是0,0是非负数，因此此句因为“一个数的绝对值一定是非负数”例12如果|-a|=-a，那么a2.在数轴上标注带有绝对值的数错误：在数轴上标注带有绝对值的数时，只看数的部分。如将“|﹣3|”标注在“﹣3”的位置。注意：标注带有绝对值的数，应先化简这个绝对值，然后再判断它在数轴上的位置。例13把下列各数在数轴上表示出来，-1.5，--3，--43.用绝对值的性质计算方程时，缺乏分类讨论的思想错误：如：在计算|a|=3时，求得a=3注意：应考虑a是正数和负数的两种可能性。所以解得a应为±3.例14如果x=2025，那么x=（A．-2025 B．2025 C．±2025 D．例15已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“>”“<”“=”填）；(2)根据数轴化简：a=______；b=______；c(3)若a=5.5，c=4，求a，六、比较有理数的大小1.在比较两个负数时规则混淆错误：比较两个负数的大小时，判断﹣2＜﹣3.注意：比较两个负数的大小时，绝对值大的那个数反而更小，因为|﹣2|＜|﹣3|，所以﹣2＞﹣3.例16把有理数-3、-3、0、--13用“A．-3<--1C．--13例17有理数a，(1)请在数轴上标出-a(2)比较a，b，c，1.下列各数中，比-1小的数是（

A．0 B．-4 C．4 D．2.如果规定向东走为正，则向东走20m记作()m，向西走40m记作()m，原地不动记作()m3.如图，在数轴上，点A、B分别表示a、b，且a+b=0．若AB=6，则点A．-9 B．-3 C．0 D4.下列说法正确的是（

）A．-a一定是负数 BC．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数5.有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（

）．

A．a B．b C．c D．d6.实数a，b互为相反数，其在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中，正确的是（）A．a-1<b-1 B．a7.如图，数轴上点A表示的数是-1，点B表示的数是3，则A、B两点之间的距离是8.若x-3+y-4=0【答案】34【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值具有非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性即可解答．9.比较大小：-34-712．（填“>”“<”或10.若x，y的平均数为4，x，y，z的和为0，则z=11.已知数轴上A点为-3，点B由点A向右移动6个单位长度，点C距离点B两个单位，则点C在数轴上对应的数为12.把下列各数填在相应的集合中：15,-正有理数数集合：｛……｝负分数集合：｛……｝非负整数集合：｛……｝有理数集合：｛……｝13.比较下列每对数的大小（写出比较过程）(1)--3(2)-4514.如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：(1)如果点A,B表示的数互为相反数，那么点(2)如果点D,B表示的数互为相反数．那么点15.在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个实心球，直径可以有±0.02毫米的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记作负数，检查结果如表：做实心球的同学李明张兵王敏余佳赵平蔡伟检测结果+0.031-+0.023-+0.022-(1)请你指出哪些同学做的实心球是合乎要求的？(2)哪个同学做的质量最接近标准质量？16.我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可看作分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：将0.7解：设x=0.7•，因为0.7•=0.777将方程①两边同时乘10得：10x=7②﹣①得：9x=7，

解得：x=79，同理可得：0.3•=根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）【基础训练】（1）0.5•=，【能力提升】