材料力学(西安交大版)教学课件NO1轴向拉伸与压缩

材料力学第1章轴向拉伸与压缩1.1轴向拉伸与压缩概述1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力1.4材料拉伸与压缩时的力学性能1.8轴向拉（压）杆的变形1.9拉压超静定问题1.10温度应力与装配应力1.11功能原理和轴向拉（压）时的应变能1.5应力集中的概念1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响1.7轴向拉（压）杆的强度计算在工程实际中，发生轴向拉伸或压缩的杆件很多，例如，液压传动中的活塞杆，在油压和工作阻力作用下受拉，如图(a)所示；内燃机的连杆在燃气爆发冲程中受压，如图(b)所示。

1.1轴向拉伸与压缩概述虽然上述杆件外形各有差异，加载方式各不相同，但是若把杆件形状和受力进行简化，都可以画成图所示的受力简图。其共同特点是：作用于杆件上外力的作用线或简化后合力的作用线与杆件的轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或压缩。当外力为拉力时，为轴向拉伸，如图(a)所示；当外力为压力时，为轴向压缩，如图(b)所示。图中实线表示杆件受力变形之前，虚线表示受力变形之后。

1.1轴向拉伸与压缩概述图1-3(a)所示为一个轴向拉杆，为求任意一个横截面m—m上的内力，可用截面法将杆在m—m处假想地截成两段，取其左半段进行研究，如图1-3(b)所示。右半段杆对左半段杆的作用在截面上的分布内力与外力平衡，其合力作用线也与杆件轴线重合，用FN代替，称为轴力。以轴线向右为x轴正向，由左半段的平衡条件列出x方向的投影方程为∑Fx=0，FN－F=0得FN=F

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力

轴力1.2.1图1-3同理，如果选取右半段为研究对象，如图1-3(c)所示，用F′N代替左半段杆对右半段杆的作用力，利用截面法也可以得到

F′N=F

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力故选取左半段或右半段为研究对象，所得内力的大小相等而方向相反。为使取左右两段时结果相同，从变形的角度出发，对轴力的符号做如下规定：拉伸时的轴力规定为正，F

N方向背离截面，称为轴向拉力，如图1-4(a)所示；压缩时的轴力规定为负，F

N方向指向截面，称为轴向压力，如图1-4(b)所示。这样，无论取左段还是取右段，所求m—m截面轴力符号都相同。因此，在以后的讨论中，不必区分F

N和F′N，一律表示为F

N。图1-4

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力从图1-3中不难看出，当仅在杆两端作用轴向外力时，杆各个横截面上的轴力都相同。当杆件承受多个外力时，不同横截面上的轴力将不同。为了形象直观地表示横截面上轴力随横截面位置的变化情况，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于轴线的坐标表示对应横截面上轴力的数值，从而作轴力与截面位置的关系图形，这种图形称为轴力图。

轴力图1.2.2

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力【例1-1】

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力同理可求截面2—2上的轴力，取截面2—2左半段为研究对象，如图1-5(c)所示。由平衡方程∑Fx=0，－F1－F2+FN2=0得FN2=F1+F2=10kN+25kN=35kN求截面3—3上的轴力时，为了便于计算，取截面3—3右半段为研究对象，如图1-5(d)所示。由平衡方程∑Fx=0，－F4－FN3=0得FN3=－F4=－20kNFN3为负值，说明FN3的实际方向与假设方向相反，为压力。

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力

(2)作轴力图。用平行于轴线的x轴表示横截面的位置，用垂直于x轴的坐标表示对应横截面上轴力的数值，按比例尺作出轴力图，如图1-5(e)所示。拉力绘在x轴上方，压力绘在x轴下方，标上特征值、正负号，并画上垂直阴影线。由此图可知，绝对值最大的轴力发生在BC段，|

FNmax|=35kN。

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力图1-5

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力通常运用截面法作轴力图时，总是假设所求截面上的轴力为正，即设正法。若结果为正，则说明轴力为拉力；若结果为负，则说明轴力为压力。

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力【例1-2】

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力

(2)用截面法计算各段的轴力。将力的作用点作为分界点，此杆件应分成AB、BC和CD三段求轴力。在AB段内用任一横截面1—1假想地将杆分成两段，取左段为研究对象，并假设横截面上的轴力FN1为正，如图1-6(b)所示。由平衡条件可得∑Fx=0，－FAx+FN1=0FN1=FAx=10kN（拉力）

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力(3)作轴力图。绘制的轴力图如图1-6(e)所示。图1-6

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力如在BC段内任选一横截面2—2，取截面2—2左段为研究对象，如图1-6(c)所示。由平衡条件可得∑Fx=0，－FAx+50kN+FN2=0

（压力）同理，在CD段内，用任一横截面3—3将杆截开，取右段为研究对象，如图1-6(d)所示。由平衡条件可得，－FAx+50kN+FN2=0

（拉力）

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力由轴力图可知：无外载作用段，轴力图为水平线；最大轴力绝对值|Fnmax|=40kN，发生在BC段。

突变规律:从左向右绘制轴力图时，向左的外力向上突变，向右的外力向下突变，突变量等于此外力数值的大小，最终归至零点。

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力【例1-3】

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力可见，轴力沿轴线线性规律变化，其轴力图如图1-7(c)所示。图1-7

1.2轴向拉（压）杆横截面上的内力利用截面法求得轴向拉（压）杆横截面上的轴力FN以后，还不能仅根据轴力的大小来判断杆件是否会因强度不足而破坏。应当依据横截面上的应力来比较和判断杆件的强度。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力

截面上的应力1.3.1取一等直杆，进行变形试验前，在杆的侧面画上垂直于杆轴线的直线ab和cd，如图1-8所示。拉伸变形后，发现ab和cd仍为直线，且依旧垂直于杆轴线，只是分别平行地移至a′b′和c′d′。根据这一现象，由表及里，可假设杆内部的变形情况也如此，即变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面，且垂直于轴线，这称为杆件轴向拉伸的平面假设。另外，设想杆由无数纵向纤维所组成，由这一假设可知，在任意两横截面间各纵向纤维的伸长相同，仍平行于轴线，因而其受力也相同。由此可见，横截面上各点处仅存在正应力σ，而且正应力σ沿横截面均匀分布。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力图1-8

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力若以A表示横截面面积，则微分面积dA上的内力元素dF（dF=σ

dA）组成一个垂直于横截面的平行力系，其合力就是轴力FN。由此可得静力学关系为

(1-1)

由于横截面上各点的正应力均匀分布，即σ等于常量。可得

(1-2)这就是拉杆横截面上正应力σ的计算公式。对于轴向压缩杆，式（1-2）同样适用。应力和轴力的符号规则一样，规定拉应力为正，压应力为负。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力如图1-9所示，当外力合力与轴线重合，杆横截面尺寸沿轴线缓慢变化时，式(1-2)仍可使用。这时可将其写成

(1-3)式中，σ(x)、FN(x)和A(x)分别表示x截面的正应力、轴力和横截面面积。图1-9

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力对于等截面直杆而言，当杆受到轴向载荷作用时，由式(1-3)可知最大正应力发生在最大轴力的横截面上。即

(1-4)

此时，最大轴力所在的截面称为危险截面，危险截面上的正应力称为最大工作应力。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力图1-10(a)所示是以均匀分布的方式给杆端加载，图1-10(b)和图1-10(c)所示是以集中力和其他非均布的方式给杆端加载，各截面上外力合力的作用线都与杆轴线重合。研究表明，拉力的大小相同，杆端加载的方式不同时，只对杆端附近的应力分布有影响，其影响的长度不超过杆的横向尺寸。即杆端有不同形式的外力作用时，只要它们静力等效，则对于离开杆端稍远处（约等于杆件的横向尺寸）的截面上的应力分布几乎没有影响，应力可认为是均匀分布的。这个论断称为圣维南

(Saint-Venant)原理，这一原理对于其他变形形式也是适用的。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力图1-10

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力【例1-4】

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力

斜截面上的应力1.3.2前面讨论了轴向拉（压）杆横截面上的正应力，今后将以这一应力作为强度计算的依据。但对不同材料的轴向拉（压）试验表明，拉（压）杆的破坏并不一定是沿横截面，有时是沿斜截面发生的。为了更全面地研究拉（压）杆的强度，还需进一步讨论斜截面上的应力。设等直杆的轴向拉力为F，横截面面积为A，沿任一斜截面m—m将杆件截开，设该截面的外法线与x轴的夹角为α，如图1-11(a)所示。则斜截面的面积Aα为

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力设斜截面m—m上的内力为FNα，利用截面法可得FNα=F。由前面的分析可知，杆内各纵向纤维的变形相同，因此，在相互平行的截面m—m与m′—m′之间，各纵向纤维的变形也相同。故斜截面m—m上的应力pα沿斜截面均匀分布，方向与轴线平行，如图1-11(b)所示。于是有

式中，σ为横截面上的正应力。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力将应力pα沿m—m截面的法线和切线方向分解，得到沿截面法线方向的分量σα和沿截面切线方向的分量τα。σα为该截面的正应力，τα为该截面的切应力，如图1-11(c)所示。关于应力的符号规定为：正应力符号规定同前；切应力对截面内侧任意一点取矩，顺时针转向为正，反之为负；自x轴的正向转至截面的外法线方向n的转角为α，逆时针转向时α为正，反之为负。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力图1-11由图1-11可知

(1-5)

(1-6)

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力从式（1-5）和式（1-6）可看出，轴向拉（压）杆的任一斜截面上不仅存在正应力，而且存在切应力，其大小均随截面方位而变化。当α=0°时，正应力σα最大，σmax=σ，即在横截面上，正应力达到最大值；当α=45°时，切应力τα最大，τmax=σ/2；当α=－45°时，切应力τα最小，τmin=－σ/2，即在与杆轴成±45°的斜截面上，切应力数值最大，其值为σ/2；当α=90°时，正应力σα和切应力τα都等于零，σα=τα=0，即在平行于杆轴的纵向截面上无任何应力。

1.3轴向拉（压）杆横截面和斜截面上的应力工程中将处于常温中的材料根据破坏前所发生的塑性变形的大小分为两类，即塑性材料和脆性材料。塑性材料是指断裂前产生较大塑性变形的材料，如低碳钢、铜和铝等金属；脆性材料是指断裂前塑性变形很小的材料，如铸铁、石料和玻璃等。低碳钢和铸铁是工程中广泛使用的两种典型金属材料，下面就以这两种材料为例，介绍材料拉伸（压缩）时的力学性能。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能由于材料的某些性能与试件的尺寸和形状有关，为了使不同材料的试验结果能互相比较，须将试验材料按国家标准做成标准试件。拉伸试件有圆截面和矩形截面两种，如图所示。其中，d为圆截面试件的直径；l为标定试件的有效长度，称为标距，也称工作段（试验段）；b、h分别为矩形截面板试件的横截面尺寸。低碳钢拉伸时的力学性能1.4.1

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能通常，圆截面试件的标距与直径的关系为l=10d或l=5d，矩形截面试件的标距与横截面面积的关系为

或。此外，在《金属材料拉伸试验第1部分：室温试验方法》（GB/T228.1—2010）中对试验时的加载速度、试件表面的光洁度等也都做了明确规定。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，过去俗称A3钢。试验时将低碳钢试件装入万能材料试验机的上、下夹头内，缓慢加载，使其受拉发生变形，画出拉伸过程中标距l的伸长量l与拉力F的关系曲线。该曲线的横坐标为Δl，纵坐标为F，称为试件的拉伸图或F-Δl曲线，如图所示。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能应力-应变图1.为消除尺寸对材料本身力学性能的影响，将拉力F除以原横截面面积A，得到横截面上的应力σ；将伸长量Δl除以标距l，得到应变ε。以σ为纵坐标，ε为横坐标，可绘出与F-Δl图形状相似的应力-应变图，也称为σ-ε曲线，如图所示。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能由低碳钢的σ-ε曲线可以看出，整个拉伸过程分为以下四个阶段：（1）弹性阶段。这一阶段可分为线弹性阶段Oa和曲线弹性阶段ab两部分。在线弹性Oa段内，应力与应变为正比例关系，即

σ=Eε(1-7)式中，E为与材料相关的比例常数，称为弹性模量。由于应变无量纲，故E的量纲与σ相同。由图1-14可看出，E=tanα，即E是斜直线Oa的斜率。将a点所对应的应力称为比例极限，用σp表示。当应力不超过比例极限σp时，材料服从胡克定律。试验测得，低碳钢的比例极限σp≈200MPa。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能当应力超过比例极限σp后，从a点到b点，σ与ε之间不再呈线性关系，但变形仍然是弹性变形，即解除拉力后，变形将完全消失。b点所对应的应力是材料产生弹性变形的最大应力，称为弹性极限，用σe表示。弹性极限σe和比例极限σp虽然含义不同，但数值十分接近，在工程上不予严格区分。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能（2)屈服阶段。当应力超过b点增加到某一数值时，应力先下降，然后做微小波动，在σ-ε曲线上出现接近水平线的小锯齿形图像。此时应力变化不大，而应变显著增加，这种现象称为屈服或流动。在屈服阶段内的最高应力和最低应力分别称为屈服上（高）限和屈服下（低）限。屈服上（高）限的数值与试件形状、加载速度等因素有关，数值不稳定。屈服下（低）限的数值比较稳定，能够客观反映材料本身的性能，故将屈服下（低）限作为材料的屈服极限或屈服点，用σs表示。低碳钢的屈服极限σs≈235MPa。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能若试件表面经过磨光，当应力达到屈服极限时，可在试件表面看到与轴线大致成45°的一系列斜条纹，如图所示。这是由材料内部晶格间相对滑移而形成的，称为滑移线。由前面的分析可知，轴向拉伸（压缩）时，在与轴线成45°的斜截面上具有最大的切应力。可见，滑移现象与最大切应力有关。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能（3)强化阶段。屈服阶段结束后，材料又恢复了抵抗变形的能力。即要使试件继续变形，必须增加外力，这种现象称为材料的强化。从c点到曲线的最高点e，即ce阶段称为材料的强化阶段。试件拉断前产生的大量塑性变形主要在此阶段产生，e点所对应的应力是材料所能承受的最大应力，故称为强度极限或抗拉强度，用σb表示。低碳钢的强度极限σb≈400MPa。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能（4)局部颈缩阶段。在e点以前，试件标距内的变形通常是均匀的。当到达e点后，试件的某一局部范围，横向尺寸突然急剧缩小，出现局部“颈缩”现象，如图所示。由于在颈缩部位横截面面积迅速缩小，因此试件继续变形所需的拉力也相应减小，直至f点，试件断裂。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能上述每一阶段都是由量变到质变的过程。四个阶段的质变点就是弹性极限σe、屈服极限σs和强度极限σb。σe表示材料只产生弹性变形的最大应力。σs表示材料进入塑性变形的屈服极限应力。σb表示材料的最大抵抗应力。故σs和σb是衡量塑性材料强度的两个重要指标。

结论：低碳钢是典型的塑性材料，轴向拉伸时，先沿45°方向屈服滑移失效，最后沿45°方向局部颈缩断裂。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能延伸率和断面收缩率2.工程上用试件拉断后残留下来的变形来衡量材料的塑性性能。常用的塑性指标有两个，即延伸率（伸长率）和截面收缩率。延伸率（伸长率）用δ表示为

(1-8)式中，l是试件标距的原长；l1是拉断后的标距长度。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能截面收缩率用ψ表示为

(1-9)式中，A是试件原横截面面积；A1是试件拉断后颈缩处的最小横截面面积。

δ和ψ都表示材料拉断时其塑性变形所能达到的最大程度。δ和ψ越大，说明材料的塑性性能越好。故δ和ψ是衡量材料塑性性能的两个重要指标。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能卸载定律和冷作硬化3.如将试件拉伸到超过屈服极限的d点，然后逐渐卸除载荷，在卸载过程中试件的应力和应变关系将沿着近似平行于Oa的斜直线dd′回到d′。这说明在卸载过程中应力与应变仍为线性关系，且卸载过程中的弹性模量与加载时相同，这就是卸载定律。载荷完全卸除后，在应力应变图中，d′g表示卸载后可消失的弹性应变εe，而Od′表示卸载后残余的塑性应变εp，因此，d点的应变由两部分组成，即ε=εe+εp。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能若卸载至d′后又重新加载，则应力和应变的关系又沿卸载时的直线dd′上升，到d后仍沿曲线def变化，直至断裂。可见，再次加载时，材料在d点以前的变形是线弹性的，过d点后才开始出现塑性变形。比较图中两次加载的σ-ε曲线可知，第二次加载时，其比例极限σp提高了，但塑性变形却有所降低，少了Od′这一段。这种在常温下经过塑性变形后，材料的强度提高，塑性降低的现象，称为冷作硬化（加工硬化）。工程上常利用冷作硬化工艺来提高材料弹性范围内的承载能力。如起重用的钢索和建筑用的钢筋，常用此工艺提高其强度。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能其他塑性材料拉伸时的力学性能1.4.2对于无明显屈服阶段的塑性材料，通常以产生0.2%的塑性变形所对应的应力值作为名义屈服极限，用σp0.2表示。图给出确定名义屈服极限σp0.2的方法：在ε轴上量取塑性变形（εp=0.2%）的C点，过C点作与直线段OA相平行的直线CB，它与σ-ε曲线相交于B点，B点所对应的应力值，即为名义屈服极限σp0.2。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能其他塑性材料拉伸时的力学性能1.4.3灰口铸铁拉伸时的σ-ε曲线如图所示。整个拉伸过程中σε关系为一条微弯的曲线，直到拉断时，试件的变形仍然很小，无屈服和颈缩现象，断口粗糙平齐。在工程中，铸铁的拉应力不会很高，在较低的拉应力下可以近似地认为其变形服从胡克定律，通常用一条割线代替曲线（如图中虚线所示），并用它确定弹性模量，这样确定的弹性模量称为割线弹性模量。由于铸铁没有屈服现象，因此强度极限σb是衡量脆性材料的唯一强度指标。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能结论：灰口铸铁是典型的脆性材料，轴向拉伸时，沿横截面被拉断。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能低碳钢压缩时的力学性能1.4.4一般细长杆件压缩时容易产生失稳现象，因此材料的压缩试件一般短而粗。金属材料的压缩试件多为圆柱体，其高度通常为直径的1.5~3倍；混凝土、石料等试件多为立方体。金属材料压缩试验在万能试验机上进行。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能铸铁压缩时的力学性能1.4.5与塑性材料不同，脆性材料压缩时的力学性能和拉伸时有较大差别。铸铁压缩与拉伸时的σ-ε曲线分别如图中的实线和虚线所示。由图可知，铸铁压缩时的强度极限比拉伸时大得多，为拉伸时强度极限的3～4倍，是拉压性能不同的材料。铸铁压缩时沿与轴线成45°～55°的斜截面断裂，这是因为在约45°的斜截面上作用着数值最大的切应力，故铸铁在轴向压缩下的破坏方式是剪断。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能低碳钢压缩时的σ-ε曲线如图所示。为了便于比较，图中一并绘出了低碳钢拉伸时的σ-ε曲线，用虚线表示。可以看出，屈服阶段以前，两条曲线基本重合，这表明低碳钢压缩时的弹性模量E、屈服极限σs都与拉伸时大致相同，是拉压性能相同的材料。屈服阶段以后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件的抗压能力也持续增强，因而无法达到压缩时的强度极限。由于从拉伸试验已测定低碳钢压缩时的主要力学性能，因此低碳钢可以不进行压缩试验。

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能(1)从变形上看，塑性材料在断裂前有很大的塑性变形，脆性材料断裂前的变形则很小，这是二者的基本区别。因此，在工程实际中，对于需进行锻压、冷加工等加工过程的构件或承受冲击载荷的构件，宜采用塑性材料。(2)从抗拉压能力上看，脆性材料的抗压能力远高于抗拉能力，因此，适宜做承压构件，如建筑物的基础、机器的基座等；塑性材料的抗压和抗拉能力相近，出于经济性的考虑，塑性材料适用于做承拉构件。塑性材料和脆性材料的力学性能有以下区别：

1.4材料拉伸与压缩时的力学性能当等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，距杆端稍远处横截面上的应力是均匀分布的。但在实际工程中，为了满足结构或工艺的需要，有些杆件必须切槽、开孔或制成阶梯状，致使在这些部位上截面尺寸急剧变化。试验结果和理论分析表明，在构件尺寸突然改变的横截面上，应力并不是均匀分布的。例如，图1-22所示的开有圆孔和半圆切口的等截面板条，当其受轴向拉伸时，在圆孔和切口附近，应力急剧增加，而在距圆孔和切口较远的区域，应力则迅速减小而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。

1.5应力集中的概念图1-22

1.5应力集中的概念设发生应力集中的截面上的最大应力为σmax，同一截面上的平均应力为σ，则有

(1-10)K称为理论应力集中系数。它反映应力集中的程度，是一个大于1的系数。试验结果表明，截面尺寸改变越急剧，角越尖，孔越小，应力集中的程度就越严重。因此，在设计杆件时应尽可能避开带尖角的孔和槽，在阶梯轴的轴肩处要用圆弧过渡，而且圆弧半径应尽量大一些，以减缓应力集中。

1.5应力集中的概念各种材料对应力集中的敏感程度并不相同。塑性材料有屈服阶段，当局部的最大应力σmax达到屈服极限σs时，该处材料首先屈服，应力暂时不再增加。当外力继续增大时，增大的内力就由截面上尚未屈服的材料来承担，使截面上其他点的应力相继增大到屈服极限，这就使整个截面上的应力逐渐趋于平均，如图所示。由此可见，材料的塑性性质具有缓和应力集中的作用。因此用塑性材料制成的杆件，在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。

1.5应力集中的概念脆性材料没有屈服阶段，当载荷增加时，应力集中处的最大应力σmax一直领先，不断增长，并首先达到材料的强度极限σb，在该处首先产生裂纹而断裂。所以，对于由脆性材料制成的杆件，应力集中的危害相当严重。因此，在静载作用下脆性材料必须考虑应力集中的影响。不过有些脆性材料内部原本就不均匀，存在不少孔隙和缺陷，例如，含有大量片状石墨的灰铸铁，其内部的不均匀性已经造成严重的应力集中，测定这类材料的强度指标时已经包含了内部应力集中的影响，而由构件形状引起的应力集中则处于次要地位。因此，对于由这类材料制成的构件，可以不考虑形状改变引起的应力集中。

1.5应力集中的概念应当注意的是，不论是塑性材料还是脆性材料，当构件受到冲击载荷或周期性变化载荷作用时，应力集中对构件的强度都有严重影响，可能造成极大的伤害。因此，无论是塑性材料还是脆性材料，当构件受到冲击载荷或交变应力作用时，都必须考虑应力集中的影响。

1.5应力集中的概念短期载荷作用下温度对材料力学性能的影响1.6.1材料在高温与低温下会表现出不同的力学性能。如高温超过一定数值，处于高温下的材料的力学性能既与温度有关，又与时间有关。但如果温度不超过这一数值，那么可在此温度范围内将短期、静载荷拉伸的试验结果作为长期静载作用下构件强度与刚度的计算依据。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响图给出了高温、短期、静载拉伸条件下低碳钢的力学性能随温度的升高而变化的情况。材料的屈服极限σs、弹性模量E随温度的升高而降低。材料的强度极限σb、延伸率δ和断面收缩率ψ在温度为200℃～300℃间有一峰值。峰值前，随着温度的升高，强度极限σb增大，延伸率δ和断面收缩率ψ却减小；峰值后，随着温度的升高，强度极限σb减小，延伸率δ和断面收缩率ψ却增大。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响高温、长期静载荷作用对材料力学性能的影响1.6.2在高温下，静载荷长期作用也将影响材料的力学性能。试验表明，在一定的温度范围（低碳钢为300℃～350℃）内，载荷作用时间的长短对于材料的力学性能没有显著影响。若超出一定的温度，且应力超过某一限度，则材料在固定应力和恒定温度下，随着时间的增长，变形将缓慢加大，这种现象称为蠕变。蠕变是塑性变形，卸载后不能消失。在高温下工作的构件往往因蠕变而引起事故。例如，汽轮机的叶片可能因蠕变而发生过大的塑性变形，以至于与轮壳相碰而打碎。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响图中的曲线是金属材料在恒定的温度和应力下，蠕变ε随时间t变化的典型曲线。图中A点所对应的应变是载荷作用时立刻就得到的应变。从A到B蠕变速度dε/dt（曲线的斜率）不断降低，是不稳定的蠕变阶段。从B到C蠕变速度最小，且接近于常量，是稳定的蠕变阶段。从C点开始蠕变速度又逐渐增加，是蠕变的加速阶段。过D点后，蠕变速度急剧加大以至断裂。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响在高温下工作的构件，发生弹性变形后，若其变形总量保持不变，则根据胡克定律，构件内将有一定的预紧力。随着时间的增长，因蠕变而逐渐发展的塑性变形将逐步代替原来的弹性变形，从而使构件内的应力逐渐降低，这种现象称为应力松弛。例如，汽轮机的转子与轴的紧密配合可能因松弛而松脱。又如，连接气缸盖与缸体的螺栓，可能因由于应力松弛而导致气缸漏气。解决这类问题，就需要了解材料有关蠕变的性质。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响加载速度对材料力学性能的影响1.6.3试验结果指出，当应变速度dε/dt>3时，材料的力学性能将显著受到应变速度的影响。习惯上将使试件的应变速度dε/dt>3的载荷，称为动载荷。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响图中的曲线1和曲线2分别代表低碳钢在静载荷和动载荷作用下进行拉伸试验的σ-ε曲线。由图可知，当应变速度增大时，低碳钢的屈服阶段变得不显著，这是因为当应变速度太大时，材料的塑性变形过程将来不及进行。与静载荷相比，动载荷作用下屈服极限σs、强度极限σb提高，且曲线上与强度极限对应的点向左移动。另外，两种载荷作用下的弹性模量E相差甚微，说明材料的弹性变形不受应变速度的影响。这是因为材料内的弹性波的传播速度远大于一般受力构件的应变速度，载荷引起的弹性变形能及时地传播至整个构件。其他塑性材料也有类似现象。

1.6温度、时间和加载速度对材料力学性能的影响极限应力1.7.1

1.7轴向拉（压）杆的强度计算材料的极限应力

σu是指材料正常工作时所能承担的最大应力，即材料被破坏时的应力。由材料的拉伸和压缩试验可知，当脆性材料的应力达到强度极限σb时，会发生断裂；当塑性材料的应力达到屈服极限σs(σp0.2)时，会产生显著的塑性变形。构件断裂显然丧失了工作能力，而过大的变形也是正常工作所不能允许的，因此断裂和屈服都属于破坏现象。要使构件能够正常的工作，对于脆性材料，极限应力σu应取强度极限σb；对于塑性材料，极限应力σu应取屈服极限σs(σp0.2)，即脆性材料：

塑性材料：(1-11)许用应力与安全因数1.7.2

1.7轴向拉（压）杆的强度计算为了保证构件具有足够的强度，其在载荷作用下的最大工作应力σmax显然应小于其极限应力σu。考虑到实际构件的工作条件不可能与测定极限应力的理想条件完全一致，同时构件还应有一定的强度储备以应对意外情况。因此，将极限应力除以一个大于1的安全因数

nu，使其值适当降低，作为构件正常工作时的最大应力，该应力称为许用应力，用σ表示，即

(1-12)

1.7轴向拉（压）杆的强度计算将式(1-11)代入式(1-12)，可得塑性材料和脆性材料许用应力的计算公式为脆性材料：

塑性材料：

或

式中，nb和ns分别为脆性材料和塑性材料的安全因数。确定安全因数时，一般应考虑材质的均匀性、构件的工作条件和重要性、载荷估计和计算方法的准确性等多种因素。各种材料在不同工作条件下的安全因数和许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。一般在常温、静载荷作用条件下，对于脆性材料，nb=2.0~3.5；对于塑性材料，ns=1.2~2.5。强度条件及其应用1.7.3

1.7轴向拉（压）杆的强度计算为了保证轴向拉（压）杆正常工作不发生破坏，杆内的最大工作应力σmax不得超过许用应力σ，即

(1-13)式（1-13）称为轴向拉（压）杆的强度条件。对于等直杆，强度条件为

(1-14)(1)校核强度。若已知构件的横截面尺寸、所受载荷及材料的许用应力，则可用强度条件校核式(1-13)是否满足要求，从而检验构件是否安全。(2)设计截面尺寸。若已知构件的材料和所受载荷，由强度条件可得

由此确定构件的截面尺寸。(3)确定许可载荷。若已知构件的材料和截面尺寸，由强度条件可得

由此确定构件所允许的最大轴力，从而确定结构的许可载荷。利用强度条件，可以解决以下三类强度问题：

1.7轴向拉（压）杆的强度计算【例1-6】

1.7轴向拉（压）杆的强度计算

1.7轴向拉（压）杆的强度计算解：(1)计算各杆的轴力。设斜杆为1杆，水平杆为2杆，取节点B为研究对象。【例1-7】

1.7轴向拉（压）杆的强度计算

1.7轴向拉（压）杆的强度计算由h/b=1.4得

A=bh=1.4b2=42000mm2b≈173.21mm，h=1.4b≈242.49mm实际应用时，可将计算所得尺寸适当取为整数。例如，b=175mm，h=245mm。图1-28【例1-8】

1.7轴向拉（压）杆的强度计算

1.7轴向拉（压）杆的强度计算解得

F≤97078N≈97.0kN则结构的许可载荷F=97.0kN。要保证AB、AC两杆的强度，结构的许可载荷应取其中较小的一个，即

JZ[F]=97.0kN上述分析表明，求解杆系的许可载荷时，要保证各杆受力既要满足平衡条件，又要满足强度条件。

1.7轴向拉（压）杆的强度计算

1.8轴向拉（压）杆的变形直杆在轴向拉力作用下，将引起轴向尺寸的伸长和横向尺寸的缩短。反之，在轴向压力作用下，将引起轴向尺寸的缩短和横向尺寸的伸长。杆件沿轴向的变形称为纵向变形，杆件沿横向的变形称为横向变形。设等直杆原长为l，横截面面积为A，如图所示。在轴向拉力F的作用下，长度由l变为l1，则杆件轴向的伸长量为

Δl=l1－l

泊松比1.8.1

1.8轴向拉（压）杆的变形

Δl与杆件的原长l有关，为消除长度的影响，将Δl除以l得杆件纵向线应变ε（简称应变）为

(1-15)设杆变形前的横向尺寸为b，变形后为b1，则横向线应变ε′为

(1-16)试验结果表明，当应力不超过比例极限时，横向线应变和纵向线应变之比的绝对值是一常数，这个常数称为泊松比或横向变形因数

，用μ表示，即

(1-17)

1.8轴向拉（压）杆的变形与弹性模量E相同，泊松比μ也是材料常数，对于绝大多数各向同性的材料，μ=0～0.5。表1-1给出了几种常用材料的E和μ的约值。对于一般工程材料，杆件纵向伸长时横向缩短，而纵向缩短时横向伸长，所以ε′和ε的符号总是相反的。因此，式(1-17)可以写成

ε′=－με(1-18)

1.8轴向拉（压）杆的变形

胡克定律1.8.2由前面知识可知，当应力不超过比例极限时，应力与应变成正比。即

σ=Eε≤σp

（1-19）这就是胡克定律。将

和

代入式（1-19），可得胡克定律的另一种表达式，即(1-20)

1.8轴向拉（压）杆的变形由式(1-20)可知，对于长度相同、受力相等的杆件，乘积EA越大则变形Δl越小，所以EA反映杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。当轴力为拉力时，Δl为正值，杆件伸长；当轴力为压力时，Δl为负值，杆件缩短。

1.8轴向拉（压）杆的变形与应力计算一样，当轴力与横截面尺寸沿杆轴线连续变化时（如图1-31所示），可用相邻的横截面从杆中取出长为dx的微段，略去高阶微量，认为该微段的轴力和横截面面积是常量，则可把式(1-20)应用于这一微段，则微段的变形量为

（1-21）式中，FN(x)、A(x)分别表示x截面的轴力和横截面面积。

1.8轴向拉（压）杆的变形图1-31

1.8轴向拉（压）杆的变形【例1-9】

1.8轴向拉（压）杆的变形对式（1-21）进行积分，则杆件总的变形为

(1-22)当轴力、横截面面积和弹性模量沿杆轴线分段为常数时，可在每一段上应用式(1-20)，然后叠加得到杆件总的变形，即

（1-21）

1.8轴向拉（压）杆的变形解：(1)作轴力图。作图1-32(b)所示的阶梯杆的轴力图。

(2)计算杆的总变形。杆的总变形等于各段变形的代数和，即计算结果为负，说明杆的变形整体缩短。

1.8轴向拉（压）杆的变形

(3)计算杆内最大纵向线应变。各段的纵向线应变分别为

因此，杆内最大纵向线应变为

1.8轴向拉（压）杆的变形【例1-10】

1.8轴向拉（压）杆的变形

1.8轴向拉（压）杆的变形【例1-11】

1.8轴向拉（压）杆的变形【例1-12】

1.8轴向拉（压）杆的变形

1.8轴向拉（压）杆的变形图1-34

1.8轴向拉（压）杆的变形【例1-13】

1.8轴向拉（压）杆的变形

1.8轴向拉（压）杆的变形图1-35

1.8轴向拉（压）杆的变形在前面讨论的问题中，构件的约束力和各杆件的内力都可由静力学平衡方程求得。这种能用静力学平衡方程求解全部未知力的问题称为静定问题，而相应的结构称为静定结构。

1.9拉压超静定问题超静定的概念1.9.1在工程实际中，为了提高结构的强度和刚度或由于构造需要，往往给构件增加多余约束或在结构中增加一些杆件，这些杆件的约束力或内力，仅用静力学平衡方程不能全部求解。例如，为了减小图(a)所示悬臂梁的变形，需增加一个拉杆CD。取AB梁为研究对象，其受力如图(b)所示。

1.9拉压超静定问题根据AB梁的平衡条件，可列出三个独立的静力学平衡方程，而未知力有四个。这种未知力数目多于独立静力学平衡方程数目（单凭静力学平衡方程不能求解全部未知力）的问题，称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。

1.9拉压超静定问题求解超静定问题，首先应列出静力学平衡方程，其次还需找出足够数目的补充方程。补充方程一般是建立的结构变形之间的几何关系或力与变形之间的物理关系，称为变形几何方程。将静力学平衡方程和补充方程联立，即可求解全部未知力。

1.9拉压超静定问题超静定问题的解法1.9.2【例1-15】

1.9拉压超静定问题图1-38

1.9拉压超静定问题

(1)静力学平衡方程。由平衡条件可知∑Fx=0，FN1sinα－FN2sinα=0(Ⅰ)∑Fy=0，FN3+FN1cosα+FN2cosα－F=0(Ⅱ)(2)变形几何方程。超静定结构中，各个杆件的变形之间必然存在一定的制约条件与其约束相适应，这种条件称为变形协调条件。此题中，在F的作用下，A点必然下降。由于1、2杆抗拉（压）刚度相同且左右对称，故A点必沿铅垂方向下降，如图1-38(c)所示。设A′点为结构变形后A点的位置，则AA′即3杆的伸长量Δl3。过A′点作AB的垂线A′E，则AE即1杆的伸长量Δl1，同理可得2杆的伸长量Δl2。

1.9拉压超静定问题

1.9拉压超静定问题由结果可以看出，在超静定问题中，杆件的内力不仅与载荷有关，而且与各杆之间的抗拉（压）刚度比有关。一般来说，增加某个杆的刚度，此杆的内力就相应增大。而在静定问题中，杆件的内力仅与载荷有关。这是超静定问题与静定问题的区别之一。

1.9拉压超静定问题

1.9拉压超静定问题（1）根据静力学平衡条件列出所有独立的静力学平衡方程。（2）根据变形协调条件列出变形几何方程。（3）根据力与变形之间的物理关系建立物理方程。（4）将物理方程代入几何方程中，得到补充方程，然后与静力学平衡方程联立求解。上述解题方法和步骤，对一般超静定问题都是适用的。【例1-16】

1.9拉压超静定问题图1-39

1.9拉压超静定问题

1.9拉压超静定问题

1.9拉压超静定问题【例1-17】

1.9拉压超静定问题由于横梁BD是刚性杆，结构变形后，它仍为直杆，故B、C′和D′仍在同一直线上，如图1-40(c)所示。1、2两杆的变形Δl1和Δl2应满足以下关系，即(Ⅱ)

1.9拉压超静定问题

1.9拉压超静定问题综上所述，求解超静定问题必须综合考虑几何、物理和静力学三方面的关系。对于多次超静定问题，则需建立与超静定次数相同数目的补充方程。求解各杆的内力后，即可进行强度计算等。

1.9拉压超静定问题

1.10温度应力与装配应力温度应力1.10.1在实际工程中，许多构件或结构往往会遇到温度变化（如工作条件中温度的改变或季节的更替），从而引起杆件膨胀或收缩。在静定结构中，由于杆能自由变形，因此整个结构均匀的温度变化不会在杆内产生应力。但在超静定结构中，杆件的变形会受约束的限制，温度变化就会使杆内产生内力和应力，这种温度变化引起的应力称为温度应力。【例1-18】

1.10温度应力与装配应力

解：温度升高ΔT后，杆将伸长ΔlT，如图1-41所示。固定端约束的阻挡，使杆不能自由伸长，被强制维持原来的长度，这时两端固定处就产生了约束力。这相当于在杆的两端各加一个相应的压力FA、FB，将因温度升高引起的伸长压缩回去，因此，杆内将引起内力及应力。(1)平衡方程。由平衡条件可得

FA=FB(Ⅰ)式（Ⅰ）包含FA、FB两个未知力，不能确定其值，需补充一个方程。

1.10温度应力与装配应力

(2)变形几何方程。ΔlR是杆件因轴向压力FA、FB引起的缩短；ΔlT是杆温度上升ΔT产生的伸长。根据杆的变形几何关系，AB杆的总长