高中高二数学三角函数的图像与性质讲义

第一章三角函数图像的引入与绘制第二章余弦函数图像的绘制与比较第三章正切函数图像的绘制与特殊点第四章三角函数的性质分析第五章三角函数图像的变换规律第六章三角函数性质的综合应用01第一章三角函数图像的引入与绘制第1页引入：生活中的周期现象三角函数在现实世界中有着广泛的应用，其中最典型的就是周期现象的描述。以某城市某天的温度变化为例，我们可以通过收集数据并绘制成曲线，来观察温度随时间的变化规律。假设我们从早上6点开始记录温度，每隔3小时记录一次，数据如下：6:00AM,10°C；9:00AM,15°C；12:00PM,25°C；3:00PM,30°C；6:00PM,22°C；9:00PM,15°C。这些数据呈现出明显的周期性变化，即温度在白天升高，晚上降低，再升高，再降低，形成一个完整的周期。这种周期性变化可以用三角函数来描述，因为三角函数具有周期性变化的特性。通过引入三角函数，我们可以更精确地描述和分析这类周期现象。第2页分析：正弦函数的图像绘制数据准备选择角度范围并计算对应的sin值描点将计算出的数据点在坐标系中标注出来连线用平滑的曲线将数据点连接起来，形成正弦波验证检查图像是否符合正弦函数的性质，如周期性、对称性等第3页论证：正弦函数图像的对称性关于x轴对称正弦函数是奇函数，图像关于原点对称周期性正弦函数每隔2π重复一次，图像呈现周期性波动振幅正弦函数的振幅为1，图像在y=-1和y=1之间波动第4页总结：正弦函数图像的三个关键特征正弦函数图像的三个关键特征分别是振幅、周期和相位。振幅决定了图像的高度，周期决定了图像的宽度，相位决定了图像的水平平移。振幅是函数图像在垂直方向上的最大变化量，对于正弦函数来说，振幅为1，意味着图像的最高点和最低点分别为1和-1。周期是函数图像重复的最小距离，正弦函数的周期为2π，这意味着每隔2π，图像会重复一次。相位决定了图像在水平方向上的平移量，正弦函数的相位为0，意味着图像没有水平平移。通过理解这三个关键特征，我们可以更好地分析和应用正弦函数图像。02第二章余弦函数图像的绘制与比较第5页引入：余弦函数与正弦函数的关联余弦函数与正弦函数有着密切的关联，它们的图像形状相似，但相位不同。余弦函数可以看作是正弦函数的相位平移π/2。以某雷达探测目标的距离变化为例，假设探测距离随时间的变化数据如下：0s,100m；1s,50m；2s,0m；3s,-50m；4s,0m；5s,50m；6s,100m。这些数据同样呈现出周期性变化，但与温度变化不同，探测距离在0s时达到最大值，随后逐渐减小，再逐渐增大。这种变化可以用余弦函数来描述，因为余弦函数在0时取最大值。通过引入余弦函数，我们可以更精确地描述和分析这类周期现象。第6页分析：余弦函数的图像绘制数据准备选择角度范围并计算对应的cos值描点将计算出的数据点在坐标系中标注出来连线用平滑的曲线将数据点连接起来，形成余弦波验证检查图像是否符合余弦函数的性质，如周期性、对称性等第7页论证：余弦函数图像的性质关于y轴对称余弦函数是偶函数，图像关于y轴对称周期性余弦函数每隔2π重复一次，图像呈现周期性波动振幅余弦函数的振幅为1，图像在y=-1和y=1之间波动第8页总结：余弦函数与正弦函数的比较余弦函数与正弦函数在图像和性质上有一些相似之处，但也存在一些不同。首先，它们的图像形状相似，都是周期性波动的曲线，但余弦函数的图像在0时取最大值，而正弦函数的图像在π/2时取最大值。其次，余弦函数是偶函数，图像关于y轴对称，而正弦函数是奇函数，图像关于原点对称。最后，余弦函数和正弦函数的周期都是2π，但它们的相位不同，余弦函数的相位比正弦函数的相位落后π/2。通过比较余弦函数和正弦函数，我们可以更好地理解三角函数的性质和应用。03第三章正切函数图像的绘制与特殊点第9页引入：正切函数的日常应用正切函数在现实世界中也有着广泛的应用，其中最典型的就是描述旋转运动中的瞬时角速度变化。以某游乐场过山车的旋转部分为例，假设过山车在旋转过程中的角度随时间的变化数据如下：0s,0°；1s,30°；2s,60°；3s,90°；4s,120°；5s,150°；6s,180°。这些数据呈现出非周期性变化，即角度随时间逐渐增大，但没有重复的周期。这种变化可以用正切函数来描述，因为正切函数在角度逐渐增大的过程中，函数值也会逐渐增大。通过引入正切函数，我们可以更精确地描述和分析这类非周期现象。第10页分析：正切函数的图像绘制数据准备选择角度范围并计算对应的tan值，注意排除π/2+kπ的角度描点将计算出的数据点在坐标系中标注出来，注意在π/2+kπ处无定义连线用平滑的曲线将数据点连接起来，形成正切波验证检查图像是否符合正切函数的性质，如渐近线、对称性等第11页论证：正切函数图像的性质渐近线正切函数在π/2+kπ处有垂直渐近线，图像在这些位置无限接近但永不相交对称性正切函数是奇函数，图像关于原点对称范围正切函数的值域为全体实数，图像在y轴两侧无限延伸第12页总结：正切函数图像的三个关键特征正切函数图像的三个关键特征分别是渐近线、对称性和范围。渐近线是函数图像无限接近但永不相交的直线，对于正切函数来说，渐近线位于π/2+kπ的位置，这意味着在这些位置，函数值会无限增大或无限减小。对称性是函数图像关于原点对称的性质，对于正切函数来说，这意味着如果点(x,y)在图像上，那么点(-x,-y)也在图像上。范围是函数值的变化范围，对于正切函数来说，它的值域为全体实数，这意味着函数值可以取任意实数值。通过理解这三个关键特征，我们可以更好地分析和应用正切函数图像。04第四章三角函数的性质分析第13页引入：三角函数性质的对比研究三角函数的性质分析是理解三角函数应用的基础，通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行对比研究，我们可以更深入地理解三角函数的特点和应用。以某城市某天的温度变化和风速变化为例，假设温度变化数据如下：6:00AM,10°C；9:00AM,15°C；12:00PM,25°C；3:00PM,30°C；6:00PM,22°C；9:00PM,15°C；风速变化数据如下：6:00AM,5m/s；9:00AM,10m/s；12:00PM,15m/s；3:00PM,10m/s；6:00PM,5m/s；9:00PM,0m/s。这些数据同样呈现出周期性变化，但温度变化较为平缓，风速变化则更为剧烈。通过对比研究三角函数的性质，我们可以更精确地描述和分析这类周期现象。第14页分析：正弦函数性质的一般形式振幅振幅决定了正弦函数图像的高度，振幅越大，图像越高周期周期决定了正弦函数图像的宽度，周期越小，图像越宽相位相位决定了正弦函数图像的水平平移量，相位越大，图像越向左平移垂直平移垂直平移决定了正弦函数图像的上下平移量，平移量越大，图像越向上平移第15页论证：相位变换的几何意义相位平移正弦函数f(x)=sin(x+φ)的图像是标准正弦波f(x)=sin(x)的图像沿x轴平移-φ的距离实例验证以f(x)=sin(x+π/4)为例，图像向左平移π/4，验证相位变换的几何意义动画演示通过动画演示相位变换的过程，更直观地理解相位变换的几何意义第16页总结：三角函数性质的通性分析三角函数的性质分析可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的性质进行通性分析，我们可以发现它们的一些共性，如周期性、对称性、范围等。振幅决定了三角函数图像的高度，周期决定了三角函数图像的宽度，相位决定了三角函数图像的水平平移量，垂直平移决定了三角函数图像的上下平移量。通过理解这些共性，我们可以更好地分析和应用三角函数。05第五章三角函数图像的变换规律第17页引入：图像变换的实际应用三角函数图像的变换规律在现实世界中有着广泛的应用，例如在电路设计中，通过变换三角函数图像可以模拟交流电的电压变化。以某城市某天的电压变化为例，假设电压变化数据如下：6:00AM,220V；9:00AM,240V；12:00PM,220V；3:00PM,200V；6:00PM,220V；9:00PM,240V。这些数据呈现出周期性变化，但电压变化较为平缓。通过变换三角函数图像，我们可以更精确地描述和分析这类周期现象。第18页分析：水平伸缩变换变换规则f(x)→f(kx)（k>1为压缩，0<k<1为拉伸）周期变化周期变为原来的1/k实例验证以f(x)=sin(2x)为例，周期变为π，验证水平伸缩变换的效果应用场景水平伸缩变换可以用于模拟信号的频率变化第19页论证：垂直伸缩变换变换规则f(x)→Af(x)（|A|>1为拉伸，0<|A|<1为压缩）实例验证以f(x)=2sin(x)为例，振幅变为2，验证垂直伸缩变换的效果应用场景垂直伸缩变换可以用于模拟信号的幅度变化第20页总结：三角函数图像的复合变换三角函数图像的复合变换可以帮助我们更复杂地描述和分析周期现象。通过组合水平伸缩变换和垂直伸缩变换，我们可以模拟更多复杂的周期现象。例如，在电路设计中，通过复合变换可以模拟交流电的电压和电流变化。通过理解复合变换的规律，我们可以更好地分析和应用三角函数图像。06第六章三角函数性质的综合应用第21页引入：三角函数性质在工程中的应用三角函数性质在工程中有广泛的应用，例如在电路设计中，通过变换三角函数图像可以模拟交流电的电压变化。以某城市某天的电压变化为例，假设电压变化数据如下：6:00AM,220V；9:00AM,240V；12:00PM,220V；3:00PM,200V；6:00PM,220V；9:00PM,240V。这些数据呈现出周期性变化，但电压变化较为平缓。通过变换三角函数图像，我们可以更精确地描述和分析这类周期现象。第22页分析：周期函数的建模问题建模步骤实例分析建模应用1.确定周期T→ω=2π/T；2.确定振幅A→最大值-最小值/2；3.确定相位φ→初值条件；4.确定平移D→平均值以f(t)=20sin(πt/12)为例，周期为24小时，振幅为20，相位为0，垂直平移为0周期函数的建模可以用于描述和分析各种周期现象第23页论证：三角函数性质的最值分析最值条件sin(x)取最大值1时：x=π/2+2kπ；sin(x)取最小值-1时：x=3π/2+2kπ实例验证以f(x)=2sin(3x-π/4)为例，最大值：2，最小值：-2，取最大值时：3x-π/4=π/2+2kπ→x=3π/8+2kπ/3应用场景三角函数性质的最值分析可以用于描述和分析各种周期现象第24页总结：三角函数性质的综合应用案例三角函数性质的综合应用案例在工程中有广泛的应用，例如在电路设计中，通过变换三角函数图像可以模拟交流电的电压变化。以某城市某天的电压变化为例，假设电压变化数据如下：6:00AM,220V；9:00AM,240V；12:00PM,220V；3:00PM,200