第2章 有理数期末复习（知识清单）（答案版）数学苏科版-苏科版(2024)七上

第二章有理数知识点1：正数与负数1.引入正数和负数两个概念是为了表示两个相反意义的量：例如：表示海拔高度超过海平面的用正数表示，海拔高度低于海平面的用负数表示；表示温度高于0摄氏度用正数表示，温度低于0摄氏度用负数表示；表示盈利的钱数用正数表示，亏损的钱数用负数表示。2.表示两个相反意义的量，哪个用正数表示，哪个用负数表示，是人为规定的，一般表示高的，上涨的，等量用正数表示，相反的用负数表示。3.正数：像+1、2、1.2、12、π等大于0的数，叫做正数；4.负数：像-1、-2、－1.2、－12、－π等小于知识点2：有理数的概念及分类有理数的概念：整数和分数统称为有理数。有理数的四种表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。判断一个数是不是有理数，只要看看这个数是不是这四种就行了，如果是这四种中一个，那这个数一定是有理数；如果不是这四种中的任何一种，那它一定不是有理数。有理数的分类方法：（1）按概念分类： （2）按正负分类： 知识点3：数轴的概念、画法、数轴上的点与有理数的关系1.数轴是规定了原点，正方向，单位长度的直线。2.数轴的三要素：原点，正方向，单位长度。3.数轴的画法（1）第一步：画一条直线（通常画成水平的）；（2）第二步：在这条直线上描上一个点作为原点，用这个点表示0；（3）第三步：在这条直线的右末端画上箭头，用来表示正方向；（4）第四步：根据实际需要，选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…这样，数轴就画好了。4.有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示．（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点表示的数不一定都是有理数，还可以表示其他数（无理数），比如等．知识点4：有理数的大小比较1.可以将有理数a，b都画在数轴上，这样两个数就可以用两个点表示，两个数的大小关系就转化为两个点的左右位置关系，显然数轴上两个点的位置关系分为三种：两个数a,b的大小关系两个点的位置关系2.有理数的大小比较方法：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数比左边的数大（可以类比人的右手力量大于左手形象记忆）；（2）正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。3.对于有理数a，b，下列三种关系有且只有一种成立:,,4.有理数的大小关系可以借助数轴转化为点的位置关系。，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边，，说明，画在数轴上对应的点的位置关系是在的右边，所以，一定在的右边，即。同理，我们可以得到如果,那么就有。5.有理数的大小关系与自然数一样也具有传递性：（1）如果,那么就有。（2）如果,那么就有。知识点5：绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。2.绝对值的表示方法：数a的绝对值记作|a|.3.绝对值的代数意义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有：4.绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小．的几何意义：数轴上表示数的点到原点的距离。5.绝对值的性质：非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0即6.利用绝对值比较两个有理数的大小：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数－数为0正数与0：正数大于0负数与0：负数小于0知识点6：相反数1.相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0，即：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数。2.相反数的表示方法：的相反数为。3.相反数的性质：（1）和的关系：若两数互为相反数，则；反之，若，则两数互为相反数。（2）位置关系：互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.4.多重符号的化简问题：多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定：若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-1)]}=1；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-1)]}=-1.知识点7：有理数的加法1.有理数的加法法则：（分类讨论的数学思想）（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数．名师点拨：如何利用加法法则进行加法运算？（1）判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则；；（2）确定和的符号(是“+”还是“－”)．（3）求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)．2.加法运算律：（1）加法交换律：（2）加法结合律：名师点拨：（1）加法运算律的作用：简化运算，凑整十整百，凑同分母的，同号的数；（2）交换加数的位置时，不要忘记符号．知识点8：有理数的减法1.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：．名师点拨：（1）将减法转化为加法时，注意“两变”，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．（2）灵活使用减法法则，比较熟练的同学也可以不按步骤，直接写结果，提高效率。知识点9：有理数的加减混合运算1.做有理数的加减混合运算题目时的步骤：（1）观察问题中包含的运算，思考能否使用加法运算律，能用则用，简化运算；（2）将加减法统一成加法运算；（3）利用加法运算法则解决问题。知识点10：有理数的乘法1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0．名师点拨：（1）不为0的两数相乘，先定符号，再把绝对值相乘．（2）当乘数中有负数时，必须用括号括起来，如5与-3的乘积，应列为5×(-3)，不应该写成5×-3．2.有理数的乘法法则的推广：（乘法的符号法则）（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．名师点拨：（1）几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘；（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．3.有理数的乘法运算律：（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等：即：．（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即：．（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．名师点拨：（1）利用交换律时，要连同符号一起交换，符号也是乘数的一部分．（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．（3）运用运算律的目的是“简化运算”，运算是恒等变形，可以从前到后，也可以从后到前，也就是可以正用，也可以逆用．4.倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．名师点拨：（1）“互为倒数”的两个数是一种关系，必须成对出现.如-2的倒数是，不能说是倒数；（2）0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；（3）互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)因此，正数的倒数必定还是正数；负数的倒数必定还是负数．知识点11：有理数的除法1.有理数除法法则：法则1：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即。法则2：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.名师点拨：（1）0不能当除数；（2）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．2.有理数的乘除混合运算：由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．3.有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的．知识点12：乘方1.乘方的定义：求相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即有：.底数：在中，叫做底数，指数：n叫做指数.特别地，当指数=2时，一般成为平方；当指数=3时，一般成为立方。名师点拨：（1）乘方与幂是不同的，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．（2）当底数是以下几种情况时，要用括号括起来：底数是负数、底数是分数、底数不是单独的一个数而是含有运算的式子。（3）一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写．2.乘方的符号法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．名师点拨：（1）有理数的乘方运算，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．（2）计算幂时，可以转化成乘法计算。知识点13：科学记数法1.科学记数法的定义：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法.名师点拨：（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样；（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.知识点14：有理数的混合运算1.有理数的混合运算顺序：（三原则）(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．名师点拨：（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，一般都按从里向外的顺序进行，特别时候也可以从从外向里．（3）运算前要认真审题，看能否使用运算律，能用的可以简化计算，提高正确率一、有理数的定义与分类1.正数与负数：错误：认为“带负号的数就是负数，带正号的数就是正数”。注意：我们不能说带“+”的数是正数，带“-”的数是负数；判断一个数是正数还是负数必须化成最简形式与0进行大小比较，比0大的才是正数，比0小的是负数，不能只从形式上简单判断。2.根据绝对值求数错误：绝对值是2的数只有2。注意：一个数的绝对值只有一个结果，而反之根据绝对值写出原来的数一般会有两个结果（0除外）．例如，绝对值为3的数有3和-3两个。二、数轴上点的对应关系错误：认为“数轴上的点都是表示有理数”．注意：每一个有理数都能在数轴上找到唯一对应的点，反之不成立，数轴上的点不一定都表示有理数，如对应点，但它不是有理数．三、比较有理数的大小1.负数大小比较错误：认为“-3比-2大，因为3>2”．规则：负数比较时，绝对值大的反而小，所以

-3<-2−3<−2．2.负数与0比较错误：认为“0是最小的数”．注意：在小学没学负数之前，确实0是最小的数，但在有理数范围内，没有最小的数．四、多重符号的化简错误：认为．注意：这两种多重符号化简是不一样的，读法不同，意义不同，结果不同．表示的绝对值的相反数，结果为，所以上面这个式子前半是正确的；表示的相反数，结果是2，所以学习数学重在理解，切不可死记硬背所谓的规律口诀，理解基础上再记忆一些规律才有用。题型01正数与负数1．下列算式中，运算结果为负数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】正负数的定义、有理数的乘方运算、化简多重符号、求一个数的绝对值【分析】本题考查有理数的运算，涉及相反数、绝对值、乘方的运算规则，需逐一计算各选项的结果，判断是否为负数，熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：A、，是正数，故不符合题意；B、，是正数，故不符合题意；C、，是负数，故符合题意；D、，是正数，故不符合题意；故选：C．2．下列各数中，是负数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】有理数的乘方运算、正负数的定义、求一个数的绝对值【分析】本题考查了正数和负数，根据相反数的定义，有理数的乘方，绝对值的性质化简，再根据负数的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、，是正数，故本选项错误；B、，是正数，故本选项错误；C、是负数，故本选项正确；D、，是正数，故本选项错误．故选：C．3．在，，，0，中，负数的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】化简多重符号、有理数的乘方运算、正负数的定义、求一个数的绝对值【分析】本题考查了绝对值和相反数，有理数的乘方，有理数的分类，掌握相关知识点是解题关键．先化简各数，再根据小于0的数是负数作答即可．【详解】解：，，，负数有、、，共3个，故选：C．4．下列说法中正确的有（

）①一定是负数；②若，则这个数一定是负数；③一个负数减去一个正数，差一定为负数；④0可以是非负整数，也可以是非正整数；⑤负数的平方为正数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算【分析】本题考查了正负数的定义，绝对值，乘方，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【详解】解：当时，则为非负数，故①不符合题意；当，则这个数一定为非负数，故②不符合题意；当一个负数减去一个正数，差一定为负数，故③符合题意；0可以是非负整数，也可以是非正整数，故④符合题意；负数的平方为正数，故⑤符合题意；故选：C5．下列各数中，是负数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、正负数的定义【分析】本题考查正负数的判断，先求出绝对值，进行有理数的乘方运算，化简多重符号，化简后，根据小于0的数为负数，进行判断即可．【详解】解：A、，不是负数，不符合题意；B、，是负数，符合题意；C、，不是负数，不符合题意；D、，不是负数，不符合题意；故选B．题型02根据一个数的绝对值求这个数1．一个数的绝对值等于8，这个数的等于．【答案】【知识点】求一个数的绝对值【分析】根据绝对值的性质进行解答．【详解】解：，，，一个数的绝对值等于8，这个数的等于，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．2．如果一个负数的绝对值是6，那么这个数是．【答案】【知识点】求一个数的绝对值【分析】根据绝对值的定义和题意，可以求得这个数是几，本题得以解决．【详解】解：∵，∴如果一个负数的绝对值是6，那么这个数是，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识解答．3．已知一个数的绝对值是1，则这个数是．【答案】【知识点】求一个数的绝对值【分析】绝对值的性质进行求解即可．【详解】解：∵互为相反数的两个数的绝对值相等，∴绝对值是1的数有两个，分别为1和．故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的，解题关键是如何根据已知条件，去掉绝对值．4．绝对值等于6.5的数是．【答案】【知识点】求一个数的绝对值【分析】根据绝对值的性质即可得．【详解】解：因为，所以绝对值等于的数是，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．5．如果一个数的绝对值为，那么这个数是．【答案】【知识点】绝对值的几何意义【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．【详解】解：如果一个数的绝对值为，那么这个数是，故答案为：．题型03数轴上的点与有理数的对应关系1．下列说法中正确的有（

）（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（2）符号相反的数互为相反数；（3）整数和分数统称为有理数；（4）一个有理数的绝对值必为正数；（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】有理数的定义、用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、绝对值的几何意义【分析】根据绝对值的意义，可判断（1）（4）；根据相反数的意义，可判断（2）；根据有理数的意义，可判断（3）；根据有理数与数轴的关系，可判断（5）．【详解】解：（1）一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远是正确的；（2）只有符号不同的两个数互为相反数数，原来的说法是错误的，（3）整数和分数统称为有理数是正确的；（4）一个有理数的绝对值必为非负数，原来的说法是错误的；（5）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示是正确的．故说法中正确的有3个．故选C．【点睛】本题考查了有理数，任何数的绝对值都是非负数，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．2．下列说法错误的是（

）A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．在数轴上表示3和的两个点之间的距离是5C．数轴上存在可以表示的点D．数轴上表示的点一定在原点的左边【答案】D【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离【分析】本题考查了数轴，数轴上两点间距离，直接利用数轴的性质分别分析得出答案即可．【详解】解：A、所有的有理数都可以用数轴上的点表示，说法正确，故选项A不合题意；B、在数轴上表示3和的两个点之间的距离是，说法正确，故选项B不合题意；C、数轴上存在可以表示的点，故原说法正确，选项C不合题意；D、可以表示正数，因此数轴上表示的点不一定在原点的左边，说法错误，故选项D符合题意．故选：D．3．下面结论正确的是（

）A．几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数B．数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数C．平方等于它本身的数只有1D．绝对值等于其本身的有理数是非负数【答案】D【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、多个有理数的乘法运算、有理数的乘方运算【分析】本题考查了有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键．根据有理数的乘法、数轴、有理数的乘方、绝对值的性质逐项判断即可得．【详解】解：A、几个非零有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，则此项结论错误，不符合题意；B、数轴上的每一个点均表示一个确定的数，但不一定是有理数，则此项结论错误，不符合题意；C、平方等于它本身的数有0和1，则此项结论错误，不符合题意；D、绝对值等于其本身的有理数是非负数，则此项结论正确，符合题意；故选：D．4．下列说法正确的是（）A．有的有理数不能在数轴上表示出来B．数轴上的某一点可以表示两个不同的有理数C．数轴上的点只能表示整数D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示【答案】D【知识点】用数轴上的点表示有理数【分析】本题主要考查了数轴的意义，根据所有有理数都可以用数轴上的点表示，且数轴上的一个点只能表示一个有理数对此判断即可．【详解】解：．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，原说法错误，故该选项不符合题意；．数轴上的一个点只能表示一个有理数，原说法错误，故该选项不符合题意；．数轴上的点能表示所有的有理数，原说法错误，故该选项不符合题意；．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，原说法正确，故该选项符合题意；故选：D．5．下列说法中，正确的有（

）①任何数都不等于它的相反数

②有理数分为正有理数和负有理数

③任意一个有理数都可以用数轴上的点表示

④几个有理数相乘，积的符号是由负因数的个数决定A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、相反数的定义、多个有理数的乘法运算【分析】本题考查有理数的分类、相反数、数轴及有理数乘法运算法则，熟练掌握以上知识点是解题关键．根据相反数定义判断①，根据有理数的分类判断②，根据有理数与数轴的关系判断③，根据有理数的乘法法则判断④，由此可解．【详解】解：0的相反数等于0，故①错误；有理数分为正有理数、0和负有理数，故②错误；任意一个有理数都可以用数轴上的点表示，故③正确；几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故④错误；综上可知，说法正确的有1个，故选：A．题型04负数的大小比较1．用“”“”填空：．【答案】【知识点】有理数大小比较【分析】本题考查有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可解答．【详解】解：，，，，故答案为：．2．在中，最小的数是．【答案】【知识点】有理数大小比较【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用有理数大小的比较方法解答即可．【详解】解：∵，∴最小的数是：．故答案为：．3．比较大小：（填“”或“”）【答案】【知识点】有理数大小比较【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．【详解】解：，，，，故答案为：．4．比较大小：（填“”，“”，“=”）．【答案】【知识点】有理数大小比较【分析】先计算绝对值，比较绝对值的大小，后解答即可．本题考查了负数的大小比较，熟练掌握比较原则是解题的关键．【详解】解：∵，且，∴．故答案为：．5．比较大小：（填“”、“”、“”）．【答案】【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较【分析】本题考查了比较两个负数的大小，两个负数，绝对值大的反而小，解决本题的关键是先求出两个负数的绝对值，根据它们的绝对值的大小关系，比较这两个负数的大小．【详解】解：，，又，，故答案为：．题型05负数与0的比较1．下列各数：，，，，中，最小的数是．【答案】【知识点】有理数大小比较【分析】本题考查了有理数大小的比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键．首先根据有理数大小的比较方法按顺序从大到小排列，然后可求解．【详解】解：∴最小的数是．故答案为：．2．下列各数中，比0小的是（

）A．6 B． C． D．【答案】B【知识点】有理数大小比较【分析】本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是