2025年四川省自贡市中考数学试卷

2025年四川省自贡市中考数学试卷一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣42．起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为（）A．75° B．90° C．100° D．115°4．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆．12866000用科学记数法表示为（）A．1.2866×103 B．1.2866×104 C．1.2866×107 D．1.2866×1085．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（）A．B．C．D．6．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如表所示．三项评分所占百分比如图所示，平均分最高的是（）选手专家组评分教师组评分学生组评分甲779乙878丙788A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2）．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（）A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣2）8．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（）A．140° B．150° C．160° D．170°9．某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm10．PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．100° C．130° D．50°或130°11．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），则点A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）12．如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（）A．6 B．62-5 C．35 D．45二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．计算：18-32=14．分解因式：m2﹣4m＝．15．若2a+b＝﹣1，则4a2+2ab﹣b的值为．16．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2．以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心…重复以上操作，则D2025F2025的长为．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为．三、解答题（共8个题，共82分）18．（8分）解不等式组：3x19．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．20．（8分）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？21．（10分）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题．选择球类兴趣班人数占比统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球10%B篮球C乒乓球D羽毛球（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为度；（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；（3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率．22．（10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC．（1）∠ABO2＝度；（2）求证：DC为⊙O2的切线；（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的长．23．（10分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=-8x的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点（1）求k的值；（2）若BD＝2，求点B坐标；（3）双曲线y=-8x关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与24．（13分）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．（1）制作工具如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．（2）获取数据如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，则tan5.1°≈，tan9.1°≈，tan14.5°≈（结果保留小数点后两位）．（3）计算塔高请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．（4）反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．25．（15分）如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．（1）若BD⊥CE，BD＝1，CE=12，则四边形BCDE的面积为（2）若BD+CE=32，△ABC的最大面积为S．设BD＝x，求S与x之间的函数关系式，并求（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y＝k1x﹣k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y＝k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x＝1交于点K．若S△HFK＝S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2025年四川省自贡市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）题号1234567891011答案ACDC．DBABBDB题号12答案D一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【分析】因为（﹣4）×□＝8，所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2，据此解答．【解答】解：因为（﹣4）×□＝8，所以□＝8÷（﹣4）＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是□＝8÷（﹣4）．2．起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【解答】解：选项A、B、D都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板，若∠1＝115°，则∠2的度数为（）A．75° B．90° C．100° D．115°【分析】利用平行线的性质可得∠1＝∠3＝115°，∠3＝∠4＝115°，然后利用对顶角相等可得∠2＝∠4＝115°，即可解答．【解答】解：如图：∵DB∥CA，∴∠1＝∠3＝115°，∵AB∥CD，∴∠3＝∠4＝115°，∴∠2＝∠4＝115°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．4．中国新能源汽车性能优越，近年来销售量持续攀升，2024年度销量已达到1286.6万辆．12866000用科学记数法表示为（）A．1.2866×103 B．1.2866×104 C．1.2866×107 D．1.2866×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：12866000＝1.2866×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为（）A． B． C． D．【分析】根据从正面看几何体，所看到的视图是主视图进行解答．【解答】解：几何体的主视图是．故选：D．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图，掌握三视图的确定方法是关键．6．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如表所示．三项评分所占百分比如图所示，平均分最高的是（）选手专家组评分教师组评分学生组评分甲779乙878丙788A．甲 B．乙 C．丙 D．平均分都相同【分析】利用加权平均数公式解答即可．【解答】解：甲的平均分为：7×50%+7×30%+9×20%＝7.4；乙的平均分为：8×50%+7×30%+8×20%＝7.7；丙的平均分为：7×50%+8×30%+8×20%＝7.5；因为7.7＞7.5＞7.4，所以平均分最高的是乙．故选：B．【点评】本题考查了加权平均数和扇形统计图，掌握加权平均数公式是解答本题的关键．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B（0，﹣2）．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为（）A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣2，5） D．（5，﹣2）【分析】依题意得AB＝BC＝CD＝AD＝5，根据点B（0，﹣2）得OA＝3，由旋转的性质得OA'＝OA＝3，且点A'在x轴的负半轴上，正方形A′B′C′D′的边长为5，由此即可得出点D'的坐标．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为5，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∵点B（0，﹣2），∴OB＝2，∴OA＝AB﹣OB＝3，由旋转的性质得：OA'＝OA＝3，且点A'在x轴的负半轴上，正方形A′B′C′D′的边长为5，∴点D'的坐标为（﹣3，5）．故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，图形的旋转变换及其性质，理解点的坐标，正方形的性质，熟练掌握图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键．8．如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α+β＝（）A．140° B．150° C．160° D．170°【分析】先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可．【解答】解：如图，正六边形的每个内角为(6-2)×180°6=120°，正方形的每个内角为∵四边形的内角和是（4﹣2）×180°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵α＝∠1，β＝∠2，∴α+β＝150°，故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，多边形内角和定理，对顶角、邻补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键．9．某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形，若大平行四边形短边长40cm，则小地砖短边长（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【分析】设小地砖的长边长为xcm，短边长为ycm，根据图中信息列出二元一次方程组，解方程组即可．【解答】解：设小地砖的长边长为xcm，短边长为ycm，由题意得：x+解得：x=32即小地砖短边长为8cm，故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及平行四边形的性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．10．PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（）A．50° B．100° C．130° D．50°或130°【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°，当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°，综上所述：∠ACB的度数是50°或130°，故选：D．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，灵活运用分情况讨论思想、掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．11．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上．若∠A＝90°，tanB=12，A（﹣4，3），则点A．（11，﹣4） B．（10，﹣3） C．（12，﹣3） D．（9，﹣4）【分析】过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK=OAAB，根据点A的坐标，结合tan∠ABO的值，求出BK＝8，AK【解答】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，则∠AHO＝∠BKA＝90°＝∠BAO，∴∠BAK＝∠AOH＝90°﹣∠HAO，∴△AHO∽△BKA，∴AHBK∴∠A＝90°，tan∠ABO=12，A∴OH＝3，AH＝4，OAAB∴4BK∴BK＝8，AK＝6，∵将△ABO平移，∴OF＝BK＝8，OE＝AK＝6，∴E（6，0），∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，∴将点O（0，0）先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G，∴G（10，﹣3）；故选：B．【点评】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换一平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED，∠E＝90°，点F在DE上，连接BF．若2BE＝3DF，则BF的最小值为（）A．6 B．62-5 C．35 D．45【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH＝∠DKH＝90°，根据正方形性质，得C（6，0），D（6，6），A（0，6），得G（3，3）和BG=32，BGDH=32，根据EG=AG=BG=DG=32，得点B、E、A、D在⊙G上，得∠ABE＝∠ADE，得∠EBG＝∠FDH，根据BEDF=32，得△BEG∽△DFH，得FH=DH=22，得点【解答】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设BD的中点为G，过点D作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，则∠BDH＝∠DKH＝90°，∵正方形ABCD边长为6，∴C（6，0），D（6，6），A（0，6），∴G（3，3），∴BG=∴BGDH∵∠E＝∠BAC＝90°，∴EG=∴点B、E、A、D在⊙G上，∴∠ABE＝∠ADE，∵∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠HDK＝∠BDH﹣∠ADB＝45°，∴∠HDK＝∠ABD＝45°，∴∠ABE+∠ABD＝∠ADE+∠HDK，即∠EBG＝∠FDH，∵2BE＝3DF，∴BEDF∴△BEG∽△DFH，∴FH=∴点F是在以点H为圆心，22∵∠DHK＝90°﹣∠HDK＝45°，∴DK2+HK2＝DH2，∴DK＝HK＝2，∴H（4，8），∴BH=4∵BF+FH≥BH，∴当点F在BH上时，BF取得最小值，为BF＝BH﹣FH=45故选：D．【点评】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）13．计算：18-32=0【分析】先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．【解答】解：18-3故答案为：0．【点评】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．14．分解因式：m2﹣4m＝m（m﹣4）．【分析】提取公因式m，即可求得答案．【解答】解：m2﹣4m＝m（m﹣4）．故答案为：m（m﹣4）．【点评】本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．15．若2a+b＝﹣1，则4a2+2ab﹣b的值为1．【分析】由题意可得b＝﹣1﹣2a，整体代入计算即可得解．【解答】解：∵2a+b＝﹣1，∴b＝﹣1﹣2a，∴4a2+2ab﹣b＝4a2+2a（﹣1﹣2a）﹣（﹣1﹣2a）＝4a2﹣2a﹣4a2+1+2a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．16．如图，在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2．以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，以点C为圆心，CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F2，以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2；又以点E2为圆心…重复以上操作，则D2025F2025的长为(5-1【分析】由等腰三角形的性质可得AD＝BD＝1，由勾股定理得出AC=BC=5，求出D1F1【解答】解：∵在△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB于点D，AB＝DC＝2，∴AD＝BD＝1，∴AC＝BC=1∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1，∴BE1＝BD＝1，∴CE∵以点C为圆心CE1的长为半径画弧，交CD于点D1，∴CD∵过点D1作D1F1⊥DC交AC于点F1，∴AD∥D1F1，∴△CD1F1∽△CDA，∴CD1CD∴D1F1∵以点F1为圆心，F1D的长为半径画弧，交AC于点F2，∴D1∴CF∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点D2，∴CD∵过点D2作D2E2⊥DC，交BC于点E2，∴∠CD1F1＝∠CD2E2＝90°，∴∠F1CD1＝∠D2CE2，∴△CD2E2∽△CD1F1，∴CD2C∴D2同理可得：D3∴D2025F2025的长为(5故答案为：(5【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2．以BC为边作等边△BCD，连接OD，则OD的最大值为3+13【分析】解直角三角形得出AC=23，由等边三角形的性质可得CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则AE=CE=OE=3，∠FCE＝30°，求出EF=32，CF=32【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，∴AC=∵△BCD为等边三角形，∵CD＝BC＝2，∠BCD＝60°，如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则AE=CE=OE=12AC=3，∠∴EF=12∴DF=∴DE=根据三角形三边关系可得：OD≤DE+OE，∴OD≤∵OD的最大值为3+故答案为：3+【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．三、解答题（共8个题，共82分）18．（8分）解不等式组：3x【分析】依据题意，根据3x+3＞0①4x-3＜3x-1②【解答】解：3x∴由①得，x＞﹣1；由②得，x＜2．∴原不等式组的解集为：﹣1＜x＜2，在数轴上表示出解集如下．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．19．（8分）如图，∠ABE＝∠BAF，CE＝CF．求证：AE＝BF．【分析】根据∠ABE＝∠BAF得CB＝CA，再根据CE＝CF得BE＝AF，由此可依据“SAS”判定△ABE和△BAF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵∠ABE＝∠BAF，∴CB＝CA，∵CE＝CF，∴CB+CE＝CA+CF，即BE＝AF，在△ABE和△BAF中，BE=∴△ABE≌△BAF（SAS），∴AE＝BF．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．20．（8分）去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐？【分析】设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米（x+2）筐，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合小张掰36筐与小李掰30筐所用时间时间，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米（x+2）筐，根据题意得：36x解得：x＝10，经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．答：小李平均每小时掰玉米10筐．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．21．（10分）某校七年级拟组建球类课外活动兴趣班，为了解同学们的参与意向，学生会进行了随机问卷调查，要求被调查的同学在足球、篮球、乒乓球、羽毛球中任选一项，以下是依据调查数据，正在绘制中的统计图和统计表，请根据相关信息解答下列问题．选择球类兴趣班人数占比统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球10%B篮球C乒乓球D羽毛球（1）请补全上述条形统计图和占比统计表，若用扇形统计图反映选择球类活动兴趣班的人数占比，则篮球兴趣班的扇形圆心角为90度；（2）估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数；（3）若用电脑随机选择A、B、C、D四类兴趣班，请用列表或画树状图的方法，求该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率．【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以表格中A的百分比可得调查的人数，用调查的人数分别减去A，B，C的人数可得D的人数，用B的人数除以调查的人数再乘以100%可得B组占调查总人数百分比，用C的人数除以调查的人数再乘以100%可得C组占调查总人数百分比，用D的人数除以调查的人数再乘以100%可得D组占调查总人数百分比，补全条形统计图和占比统计表即可；用360°乘以B组占调查总人数百分比，即可得出答案．（2）根据用样本估计总体，用400乘以表格中乒乓球占调查总人数百分比，即可得出答案．（3）列表可得出所有等可能的结果数以及该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，调查的人数为4÷10%＝40（人），∴D组的人数为40﹣4﹣10﹣14＝12（人），∴B组占调查总人数百分比为10÷40×100%＝25%，C组占调查总人数百分比为14÷40×100%＝35%，D组占调查总人数百分比为12÷40×100%＝30%，补全条形统计图和占比统计表如下：选择球类兴趣班人数占比统计表组别球类活动兴趣班占调查总人数百分比A足球10%B篮球25%C乒乓球35%D羽毛球30%篮球兴趣班的扇形圆心角为360°×25%＝90°．故答案为：90．（2）400×35%＝140（人）．∴估计该校七年级400名学生中，选择乒乓球兴趣班的人数约140人．（3）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的结果有1种，∴该校七年级甲、乙两名同学都选择乒乓球兴趣班的概率为116【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．22．（10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心O2，连接AB，作直径AC，延长O2B到点D，使DB＝O2B，连接DC．（1）∠ABO2＝30°度；（2）求证：DC为⊙O2的切线；（3）若DC＝33，求⊙O2上AB的长．【分析】（1）连接O1A，O1B，O1O2，BC，根据⊙O1和⊙O2是等圆得△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，则∠O1BO2＝60°，再根据相交圆的性质得O1O2⊥AB，由此可得∠ABO2的度数；（2）先证明△O2BC是等边三角形得∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，进而得DB＝BC，根据三角形外角限制得∠D＝∠BCD＝30°，则∠O2CD＝90°，然后根据切线的判定即可得出结论；（3）设O2C＝O2B＝R，则O2D＝2R，进而由勾股定理得R＝3，则O1A＝O2B＝R＝3，然后根据∠AO1B＝120°及弧长公式即可得出⊙O2上弧AB的长．【解答】（1）解：连接O1A，O1B，O1O2，BC，如图所示：∵⊙O1和⊙O2是等圆，∴O1B＝O2B＝O1O2＝O1A＝O2A＝O1O2，∴△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，∴∠O1BO2＝60°，根据相交圆的性质得：O1O2⊥AB，∴∠ABO2=12∠O1BO2＝故答案为30；（2）证明：∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，∴∠AO2O1＝∠BO2O1＝60°，∴∠BO2C＝60°，∵O2B＝O2C，∴△O2BC是等边三角形，∴∠O2CB＝∠O2BC＝60°，BC＝O2B，∵DB＝O2B，∴DB＝BC，∴∠D＝∠BCD，∵∠O2BC是△BCD的外角，∴∠D+∠BCD＝∠O2BC＝60°，∴∠D＝∠BCD＝30°，∴∠O2CD＝∠O2CB+∠BCD＝90°，即O2C⊥CD，∵O2C是⊙O2的半径，∴DC为⊙O2的切线；（3）解：设O2C＝O2B＝R，∴DB＝O2B＝R，∴O2D＝DB+O2B＝2R，∵∠O2CD＝90°，∴△O2CD是直角三角形，在Rt△O2CD中，由勾股定理得：DC=O∵DC=33∴3R解得：R＝3，∴O1A＝O2B＝R＝3，∵△O1O2B和△O1O2A都是等边三角形，∴∠AO1O2＝∠BO1Q2＝60°，∴∠AO1B＝120°，∴⊙O2上弧AB的长为：120π×3180【点评】此题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相交两圆的性质，弧长的计算，理解圆周角定理，相交两圆的性质，熟练掌握切线的判定与性质，弧长的计算是解决问题的关键．23．（10分）如图，正比例函数y＝kx与反比例函数y=-8x的图象交于点A（﹣2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点（1）求k的值；（2）若BD＝2，求点B坐标；（3）双曲线y=-8x关于y轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O旋转90°后与【分析】（1）点A（﹣2，a）在反比例函数y=-8x上，可得a＝4，即A（﹣2，4），将A（﹣2，4）代入正比例函数y（2）设B（m，﹣2m），结合过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D．可得D(82（3）求解y=8x，如图，由旋转可得：OA＝OA，∠AOA'＝90°，过A作AK⊥x轴于K，过A作AL⊥x轴于L，证明△AOK≌△OAL，可得A（4，2），证明A（4，2）在y=8x的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：【解答】解：（1）∵点A（﹣2，a）在反比例函数y=-∴a＝4，即A（﹣2，4），将A（﹣2，4）代入正比例函数y＝kx中，得﹣2k＝4，解得：k＝﹣2；（2）∵B在直线y＝﹣2x上，设B（m，﹣2m），∵过点B作y轴的垂线．交反比例函数的图象于点D，∴D∵BD＝2，∴m-整理得：m2﹣2m﹣4＝0解得：m=1-5，m∴B（1-5（3）∵双曲线y=-8x关于y轴对称的图象为yy'=如图，由旋转可得：OA＝OA'，∠AOA'＝90°，过A作AK⊥x轴于K，过A'作A'L⊥x轴于L，∴∠AKO＝∠A'LO＝90°∴∠AOK＝90°﹣∠A'OL＝∠OA'L∴△AOK≌△OA'L，∵A（﹣2，4），∵OL＝AK＝4，A'L＝OK＝2，∴A'（4，2），当x＝4时，y∴A'（4，2）在y'=由反比例函数是中心对称图形可得：A'（﹣4，﹣2），∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．【点评】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键．24．（13分）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．（1）制作工具如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标N，测量∠MOB可得仰角度数，采用同样方式，可测俯角度数．测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问，组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：OG⊥QM．（2）获取数据如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W＝90°，∠WVZ＝14.5°，VW＝10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW＝5.1°，∠XVY＝4.0°，量得YW＝0.91cm，XY＝0.70cm，ZX＝0.94cm，则tan5.1°≈0.09，tan9.1°≈0.16，tan14.5°≈0.26（结果保留小数点后两位）．（3）计算塔高请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．（4）反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）根据正切的定义计算即可得解；（3）延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP＝EF，DF＝PE，由题意可得DP＝30米，∠EPU＝5.1°，∠FDU＝9.1°，∠TDF＝14.5°，设EU＝x米，则FU＝（30﹣x）米，解直角三角形得出30-x0.16=x0.09，求出FU＝19.2米，PE＝DF＝120（4）结合题意提出合理的建议即可．【解答】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，∴∠H＝90°，∵QM∥HK，∴∠IQM＝∠H＝90°，又∵OG∥HI，∴∠MOG＝∠IQM＝90°，∴OG⊥QM；（2）解：在Rt△VWY中，∠W＝90°，∠YVW＝5.1°，VW＝10.0cm，YW＝0.91cm，∴tan5.1°=∵∠XVY＝4.0°，∠YVW＝5.1°，XY＝0.70cm，YW＝0.91cm，∴∠XVW＝∠XVY+∠YVW＝9.1°，XW＝XY+YW＝1.6lcm，∵在Rt△VWX中，∠W＝90°，∠XVW＝9.1°，VW＝10.0cm，XW＝16．lcm，∴tan9.1°=∵YW＝0.91cm，XY＝0.7