2025-2026学年第四章一次函数练习题北师大版八年级数学上学期 含答案

/第四章一次函数练习题一、单选题1．下列各点在正比例函数的图象上的是（

）A． B． C． D．2．已知点和点都在直线上，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．不能确定3．已知函数，则在此函数图象上的点是（）A． B． C． D．4．若把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是（

）A． B． C． D．5．函数与在同一坐标系中的图象可能是（

）A． B．C． D．6．一根弹簧在它的弹性范围内挂上不同重物后弹簧长度的对应值画出图象如图，则若挂一个1N的重物，弹簧伸长了（

）A． B． C． D．17．已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．8．在如图所示的平面直角坐标系中，P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．9．如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数（）的图象不可能经过（

）A．点 B．点 C．点 D．点10．某超市从批发市场购进若干千克西瓜销售，在销售了40千克之后，余下的每千克降价0.5元全部售完，西瓜售完后超市获利62元．销售金额（元）与售出西瓜的千克数（千克）之间的关系如图所示，下列结论正确的是（

）A．降价后西瓜的单价为1.6元/千克 B．超市共购进了50千克西瓜C．降价后超市获得的利润为16元 D．西瓜的进价为0.8元/千克二、填空题11．在函数中，当时，是的正比例函数．12．将直线向上平移2个单位长度后解析式为．13．不论k为何值，一次函数的图像恒过一定点，则该定点的坐标．14．如图，折线表示距离（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系，则与之间的函数关系式为．15．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下三个结论：①甲的速度是4米/秒；②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是．三、解答题16．如图，直线l与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，点为y轴上一个动点．(1)求点C坐标；(2)求直线的函数表达式；(3)当与面积相等时，求实数a的值．17．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，点B的坐标为，那么称点A是点B的“友好点”．例如，点的“友好点”点B的坐标为(1)点的“友好点”的坐标是______；(2)点D的“友好点”点E的坐标为，一次函数的图像经过点E，与x轴交于点F，求证：；(3)点的“友好点”H，点K的坐标为，连接，如果线段与直线有公共点，请直接写出a的取值范围．18．如图1，已知直线：交轴于，交轴于．(1)求直线的表达式；(2)如图2，直线的表达式为，点为线段的中点，在直线上找一点，使得最小，并求出最小值；(3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求的值．19．鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共束，设购进种鲜花束，销售完这束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示：进价元束售价元束(1)求与之间的函数关系式；(2)该经销商计划最多投入元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？20．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点，，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点D处．(1)的长为______，点D的坐标是______．(2)求点C的坐标；(3)点M是y轴上一动点，若，求出点M的坐标；(4)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．为促进学生全面发展，某学校在春假期间组织学生开展研学活动，从学校乘坐大巴车出发，前往目的地进行研学活动．大巴车出发小时后，学校派轿车以千米时的速度沿相同路线追赶大巴车．两车距离学校的路程（千米）与大巴车行驶的时间（小时）的对应关系，如图所示．(1)大巴车的速度为_______千米时；(2)轿车出发多长时间后追赶上大巴车？《第四章一次函数练习题2025-2026学年北师大版八年级数学上册》参考答案题号12345678910答案AADAAAACAD1．A【分析】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键，分别将各选项中点的横坐标代入解析式，求出y的值与各点纵坐标比较即可【详解】解：A.当时，，故点在正比例函数的图象上，符合题意；B.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意；C.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意；D.当时，，故点不在正比例函数的图象上，不符合题意；故选A2．A【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键根据一次函数的性质直接判断．【详解】解：由直线可得，，函数图象上随的增大而减小，又，故选：A．3．D【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．将各选项依次点代入进行判断即可解答．【详解】解：逐项将点的坐标代入进行判断如下：当时，，故选项A不符合题意；当时，，故选项B不符合题意；当时，，故选项C不符合题意；当时，，故选项D符合题意．故选：D．4．A【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可．【详解】解：把一次函数的图象向上平移3个单位长度，得到图象解析式是，故选：A．5．A【分析】本题考查一次函数图象与性质．分和判断，即可得到答案．【详解】解：当时，此时，直线在第一、三象限，直线与轴的交点在原点下方，没有符合条件的选项；当时，此时，直线在第二、四象限，直线与轴的交点在原点上方，选项A符合题意；故选：A．6．A【分析】本题考查一次函数的应用．根据弹簧的伸长量÷所挂物体的重量列式计算即可．【详解】解：，∴若挂一个1N的重物，弹簧伸长了．故选：A．7．A【分析】本题考查的是一次函数的性质．根据一次函数的性质即可求当时，列出不等式，进而求出的取值范围．【详解】解：∵正比例函数的图象上两点，当时，，∴y随的增大而减小，，，故选：A．8．C【分析】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求．【详解】解：由题意知，作关于直线的对称点，交y轴于，连接，则，如图所示：，在和中∴，∴，∵点，∴∴，由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，，∴,在中，，利用勾股定理得，故选：C．9．A【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．【详解】解：一次函数中，，，一次函数函数的图象经过第一、二、三象限，点在第四象限，一次函数的图象不可能经过点．故选：A．10．D【分析】本题主要考查了一次函数的图象及一次函数的应用，找出等量关系是关键．先设售价为元，可得出函数解析式，把已知坐标代入解析式可得的值，根据余下的每千克降价0.5元全部售完，西瓜售完后超市获利62元．再根据图就能得出超市共购进了60千克西瓜,西瓜的进价,以及降价后超市获得的利润为14元，即可作答．【详解】解：设售价为元，根据题意可得出函数解析式根据图可知销售40千克时，销售金额为80元，∴解得：，即降价前的售价是每千克2元，∵余下的每千克降价0.5元全部售完，∴即降价后西瓜的单价为元/千克故A选项不符合题意结合函数图象得（千克）∴（千克）∴超市共购进了60千克西瓜故B选项不符合题意；设西瓜的进价为元/千克则∴∴∴即西瓜的进价为0.8元/千克故D选项符合题意；则，∴降价后超市获得的利润为14元故C选项不符合题意；故选D．11．3【分析】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数形式：是关键．根据正比例函数的定义得，进而即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：3．12．【分析】根据上加下减的原理解答即可．本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．【详解】解：根据上加的原理，得直线向上平移2个单位长度后解析式为．故答案为：．13．【分析】本题考查一次函数的图像和性质，将转化为，进而得到，进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∵不论k为何值，一次函数的图像恒过一定点，∴解得：，∴一次函数的图像恒过点；故答案为：．14．【分析】本题考查分段函数，分和两段，结合函数图象中的信息，分别得出与之间的函数关系式即可．【详解】解：当时，设，将代入，得：，解得，当时，，由图可知当时，，与之间的函数关系式为，故答案为：．15．①②③【分析】本题考查从函数图像获取信息，根据函数图象得出相关信息是解题关键．根据图象及行程问题进行先求出甲、乙的速度即可求解．【详解】解：由图可知：甲3秒跑了12米，∴甲的速度是4米/秒；故①正确；∴甲从起点到终点共用（秒），由图知，乙用80秒跑400米，∴乙速度为5米/秒，∴乙追上甲用的时间为（秒），此时距出发点（米），故②正确；乙出发80秒时，甲跑的路程是（米），此时甲、乙两人相距距离最大，最大距离是（米），故③正确；故答案为：①②③．16．(1)(2)(3)或【分析】（1）过点C作轴，根据等腰直角三角形的性质证明，推出，进而求出，即可得到点C的坐标；（2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解；（3）利用勾股定理求出，即可求出的面积为，由题意可得，根据，建立方程求解即可．【详解】（1）解：如图，过点C作轴，∵为等腰直角三角形，且，∴，，∴，∵，∴，∴，∵点、点，∴，∴，∴，∴；（2）解：由（1）知，设直线的函数表达式为：，则，解得，∴直线的函数表达式；（3）解：∵为等腰直角三角形，且，，∴，∵，∴，∴，∵点，∴，∵与面积相等，∴，∴，∴，∴或．【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．17．(1)(2)见解析(3)当或时，线段HK与直线有公共点【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，理解题意是解题的关键．（1）由“友好点”定义可求解；（2）由“友好点”定义可求点D坐标，由两点距离公式可求的长，即可求解；（3）由“友好点”定义可求点H坐标，利用特殊位置求出a的值，即可求解．【详解】（1）解：点，点的“友好点”的坐标为，即，故答案为：；（2）证明：设点D坐标为，点D的“友好点”点E的坐标为，，，，，，一次函数的图像经过点，，，一次函数解析式为，当时，，点，，点，点，，，；（3）解：点的“友好点”H，点，∵直线，即当时，均有，∴该直线经过点，当直线经过点，可得，解得，当直线经过点，可得，解得，当是，若使线段与直线有公共点，则有，当是，若线段与直线有公共点，则有，综上所述，当或时，线段与直线有公共点．18．(1)(2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为(3)【分析】（1）把，代入，即可求解；（2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的解析式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解；（3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值．【详解】（1）解：把，代入得：，解得：，故直线的表达式为．（2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，理由：，设交于点，则点是的中点，∵，，点为线段的中点，∴点的坐标为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为．令，则，解得：，即点的坐标为；则，设点的坐标为，则，，在中，，即，解得：或（不符合题意，舍去），故点的坐标为；又∵点是的中点，∴点的坐标为，∴；即最小值为．（3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图：则，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴在直线上，∵，，∴，，∴，∵，，，∴，∴，，∴点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得，解得：，∴直线的解析式为．∵点在直线上，故当时，，即点的坐标为，∴，解得．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．19．(1)(2)购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．（1）设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据总利润，两种鲜花所得利润之和列出函数解析式；（2）先根据最多投入元用于购进这两种鲜花求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值．【详解】（1）解：设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据题意得：，与之间的函数关系式；（2）解：根据题意得：，解得：，对于，，当时，有最大值，最大值为，答：购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元．20．(1)5，(2)(3)为或(4)第一象限内存在点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或．【分析】（1）根据勾股定理可得，根据轴对称的性质可得，则可得，进而可得；（2）设，则，在中,根据勾股定理列方程求出x的值，即可得C点的坐标．（3）设，则，根据列方程求出m的值，即可得到点