2025-2026学年第五章 二元一次方程组 练习题北师大版八年级数学上学期 含答案

/第五章二元一次方程组一、单选题1．已知是关于x，y的二元一次方程，则（

）A．1 B． C． D．22．用代入消元法解方程组，将①代入②可得（

）A． B． C． D．3．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两？（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有人，银子有两，可列方程组是（

）A． B．C． D．4．将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．45．下列方程组中是二元一次方程组的是（

）A． B． C． D．6．用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（

）A．由①，得 B．由①，得C．由②，得 D．由②，得7．如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为（

）A．54 B．50 C．43 D．348．方程组的解是（

）A． B． C． D．二、填空题9．已知直线和直线的图象如图所示，则方程组的解是．10．已知关于x，y的方程组，则的值为．11．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十六，三十八客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，他们总共饮16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为．12．与二元一次方程对应的一次函数表达式是，是该方程的一个解，则对应一次函数图象上的一个点为（1，）．13．对于任意实数a、b，定义关于“@”的一种运算：，例如．若，，则的值为．三、解答题14．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为，超过的部分按路程不足按计算另收费．甲乘坐这种出租车行驶了，付了元．乙乘坐这种出租车行驶了，付了元．这种出租车的起步价是多少元？超过后每千米收费多少元？15．某校为增加学生的户外观察体验感，计划进行“春季研学”活动，为了保障中小学生研学活动的顺利开展.该校计划租用100辆大巴车，已知A，B两种型号的大巴车租金单价分别为300元和400元．(1)若该校租用的A，B两种型号大巴车数量相等，则需要的租金为多少元；(2)若该校花费的租金为34000元，求租用A，B两种型号大巴车各多少辆？16．石家庄市打造的环城绿道全长101公里，依托滹沱河、环城水系等优质景观资源，为市民提供了景美、智游、畅达的城市绿道健身体系．甲、乙两人一起从环城绿道某地出发同向同速骑行，乙中途停车整理装备用了4分钟，然后继续骑行，追上甲后再一起骑到终点．甲、乙骑行的路程（千米）与骑行时间（分钟）的部分函数图象如图所示：(1)求甲的骑行速度；(2)求乙整理完装备后到追上甲的过程中与的函数解析式，并写出的取值范围；(3)已知甲、乙两人之间的距离不超过千米时，可以通过某通信设备随时联系，直接写出乙整理完装备后至少再骑行多少分钟可以通过该设备联系到甲．17．移动通信技术的进步推动了手机的发展，某品牌新出A，B两款不同型号的手机．某手机专卖店了解到购进2台A型号手机和1台B型号手机需要6800元，购进3台A型号手机和4台B型号手机需要14200元．(1)请计算出A，B两种型号手机的进货单价；(2)该店此次计划用60000元购进这两种手机若干台，已知每台A型号手机的利润为130元，每台B型号手机的利润为100元，则应该怎样购进手机才能使利润最大？最大利润是多少？18．周末，小丽和爸爸两人分别从家和人民公园同时出发，沿同一条路相向而行，小丽开始跑步，跑一段时间后改为散步，到达人民公园一共用了，爸爸从人民公园以的速度骑共享单车回家．两人离家的距离与运动的时间之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：(1)小丽家离人民公园的路程为_______m，点的横坐标为________；(2)设图中段所表示的函数关系式为，请求出该函数关系式，并说明表示的实际意义；(3)与的交点为，请求出点的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；(4)当两人的距离不超过时，可以用对讲机联系，请直接写出两人能用对讲机联系时的取值范围．参考答案1．A【分析】本题考查二元一次方程定义，掌握定义是解题关键．根据二元一次方程未知数的次数为1且系数不为0列式求解即可．【详解】解：由题意得：，，．故选：A．2．B【分析】本题考查用代入法解二元一次方程组，熟练掌握代入法解二元一次方程组是解题的关键将方程①中的y代入方程②，替换掉方程②中的y，注意符号的变化．【详解】将①代入②可得，．故选：B．3．A【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题目中的两种分银情况建立方程组，每人分7两剩余4两，即总银两数等于分出的两加上剩余4两；每人分9两差8两，即总银两数比需要的两少8两，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：每人分7两，剩余4两，总银两数等于分出的两加上剩余的4两，即，变形后为，每人分9两，差8两，总银两数比需要的两少8两，即，将两个方程组合，得到．故选：A．4．C【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解．【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到，平移后的图象经过点，，解得，故选：C．5．C【分析】此题主要考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．【详解】解：A、中的是二次的，故此选项不符合题意；B、中含有，不是整式方程，故此选项不符合题意；C、符合二元一次方程组的定义，故此选项符合题意；D、含三个未知数，故此选项不符合题意．故选：C．6．D【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易．本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法．【详解】解：观察可知，②中的系数为，由②得代入后化简比较容易，故D正确．故选：D．7．A【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．设小长方形的长、宽分别为，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，依题意得，解得，∴小长方形的长、宽分别为，．8．C【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数．方程组利用代入消元法求解即可．【详解】解：由②得③，将③代入①得：解得将代入①得：解得，∴方程组的解为：，故选C．9．【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数，解题的关键是熟练掌握数形结合的解题方法．根据图象可知交点坐标，即为方程组的解．【详解】解：根据图象可知，直线和直线交于点，∴方程组的解是，故答案为：．10．1【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．将方程组的两个方程相加，得到，等式两边同时除以3即可得出答案．【详解】解：得，，整理得：，故答案为：1．11．【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据他们总共饮16瓶酒．得，根据好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，得，即可得到方程组．本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，得．故答案为：．12．/3【分析】本题考查的是一次函数图象与二元一次方程（组）的关系，理解二元一次方程的解对应函数图象上的点的坐标是解答的关键．根据二元一次方程的解是对应一次函数图象上的点的坐标解答即可．【详解】解：与二元一次方程对应的一次函数表达式是，∵是该方程的一个解，又当时，，∴对应一次函数图象上的一个点为，故答案为：，3．13．【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据新定义列出关于x，y的二元一次方程组，利用加减消元法解出x，y，再求其和即可．【详解】解：由新定义，得，①，得③，②③，得，解得：，把代入①，得，解得：，∴．故答案为：．14．这种出租车的起步价是元，超过后每千米收费元【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这种出租车的起步价是元，超过后每千米收费元，根据题意列方程组解决即可．【详解】解：设这种出租车的起步价是元，超过后每千米收费元，根据题意，得，解得答：这种出租车的起步价是元，超过后每千米收费元．15．(1)需要的租金为35000元(2)公司租用型号大巴车60辆，型号大巴车40辆【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数的乘法的应用，理解题意是解题关键．（1）根据题意直接列式计算即可；（2）设校租用型号大巴车辆，型号大巴车辆，根据题意列出方程组求解即可．【详解】（1）解：租用100辆大巴车，已知A，B两种型号的大巴车租金单价分别为300元和400元，∴需要的租金为：（元），∴需要的租金为35000元；（2）解：设校租用型号大巴车辆，型号大巴车辆，根据题意得：解得：答：该校租用型号大巴车60辆，型号大巴车40辆．16．(1)(2)(3)8分钟【分析】本题主要考查了一次函数的应用、由函数图象获取信息、一元一次方程的应用，根据图象分段求出函数解析式是解题的关键．（1）根据函数图象获取信息，列出算式即可求解；（2）利用待定系数法求解即可；（3）根据题意表示出两个函数值之差，列出方程进行求解即可．【详解】（1）解：由函数图象可得，甲的骑行速度为：；（2）解：设函数解析式为，将代入解析式得，解得∴函数解析式为．（3）解：由（1）可得甲的函数解析式为，当甲、乙两人之间的距离为千米时得，，解得，（分钟）所以，乙整理完装备后至少再骑行8分钟可以通过该设备联系到甲．17．(1)2600元，1600元(2)购进A型号手机4台，B型号手机31台时，利润最大，最大利润为3620元【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程．（1）设A型号手机的进货单价为x元／台，B型号手机的进货单价为y元／台，根据购进2台A型号手机和1台B型号手机需要6800元，购进3台A型号手机和4台B型号手机需要14200元，列出方程组，解方程组即可；（2）设购进A型号手机台，B型号手机台，根据用60000元购进这两种手机若干台得出．设此次可获得的利润为元，根据题意得出，根据一次函数的增减性进行求解即可．【详解】（1）解：设A型号手机的进货单价为x元／台，B型号手机的进货单价为y元／台，根据题意得：，解得：，答：A型号手机的进货单价为2600元／台，B型号手机的进货单价为1600元／台．（2）解：由（1）可知A型号手机的进货单价为2600元／台，B型号手机的进货单价为1600元／台，设购进A型号手机台，B型号手机台，根据题意，得：，即，则．设此次可获得的利润为元，则：．因为，所以随的增大而增大，因为均为正整数，所以，即是8的倍数．因为，且300和都是4的倍数，所以是4的倍数，即是4的倍数，所以的最小值为4，所以的最大值为31，所以当时，所获得的利润最大，最大利润为（元）．答：当购进A型号手机4台，B型号手机31台时，利润最大，最大利润为3620元．18．(1)4000，(2)，表示的实际意义为小丽散步的速度为(3)，它表示的实际意义为当出发时，爸爸和小丽在离家的地方相遇(4)【分析】（1）根据图象直接得出小丽家离人民公园的路程，根据速度、路程、时间的关系，求出爸爸从人民公园骑车到家所用时间，即可得出点D的横坐标；（2）待定系数法求出函数解析式即可；（3）先求出段的函数解析式和段的函数解析式，再解方程组得出答案即可；（4）分四种情况：当时，当时，当时，当时分别求出两人的距离不超过时，x的取值范围，最后得出答案即可．【详解】（1）解：根据图可知：小丽家离人民公园的路程为，爸爸从人民公园以的速度骑共享单车回家，点的横坐标为：；故答案为：4000，；（2）解：将点代入，得：，解得：，∴段的函数关系式为，k表示的实际意义为小丽