2025-2026学年 28.1 锐角三角函数 讲义人教版九年级数学下学期【附答案】

/人教版（2024）九年级下册28.1锐角三角函数讲义【题型1】平面直角坐标系中求余弦值【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是()A.B.C.D.【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（）

A.B.C.D.2【举一反三2】如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sinα＝

，cosα＝

．【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点的坐标为．(1)求点坐标；(2)求的值；(3)若点在该抛物线上，求的值．【题型2】余弦值的变化情况【典型例题】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（）A.B.C.D.【举一反三1】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（

）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是()A.＜cosα＜B.＜cosα＜C.＜cosα＜D.＜cosα＜【举一反三3】三角函数、、之间的大小关系是（）A.B.C.D.【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是()A.＜cosα＜B.＜cosα＜C.＜cosα＜D.＜cosα＜【举一反三5】cos30°________cos40°(填大小关系)【举一反三6】比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接

．【举一反三7】比较大小：（用“”或“”填空）．【题型3】直接由定义求正切值【典型例题】如图，在中，，则的值是（

）A.2B.C.D.【举一反三1】如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（

）A.B.C.D.【举一反三2】中，，则

．【举一反三3】如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=

．【举一反三4】如图，在中，．(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．【题型4】正弦值的变化情况【典型例题】在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正弦值()A.扩大4倍B.缩小4倍C.扩大16倍D.没有变化【举一反三1】在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值()A.不变B.扩大5倍C.缩小到原来的15D.不能确定【举一反三2】若的各边都扩大倍，得到，那么锐角、的正弦值的关系为（）A.B.C.D.不能确定【举一反三3】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)．【举一反三4】比较大小：

．（填“”，“”，或“”）【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．【题型5】用计算器求锐角三角函数值【典型例题】用计算器求的值，按键顺序是（）A.B.C.D.【举一反三1】若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（

）A.B.C.D.【举一反三2】利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为

．

【举一反三3】用科学计算器计算：cos32°≈

.(精确到0.01)【举一反三4】用计算器求下列各式的值．（结果精确到）(1)；(2)；(3)．【举一反三5】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？【题型6】在正方形网格中求余弦值【典型例题】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是()A.B.1C.D.【举一反三1】如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（

）

A.B.C.D.【举一反三2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________．【举一反三4】请按下列要求画图并填空：（1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段；（2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为

．【题型7】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状【典型例题】若的内角满足，则的形状是（

）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三角不全相等的锐角三角形【举一反三1】在中，，那么是（

）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【举一反三2】若∠A、∠B为△ABC中的锐角，且(2sinA-)2＋(cosB-)2＝0，则△ABC是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定【举一反三3】中，均为锐角，且，则的形状是

．【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状．【题型8】正切值的变化情况【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是()A.22＜tanα＜B.＜tanα＜C.＜tanα＜D.＜tanα＜【举一反三1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（

）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定【举一反三2】随着锐角α的增大，tanα的值()A.增大B.减小C.不变D.增大还是减小不确定【举一反三3】比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（）A.tan70°＜tan50°＜tan20°B.tan50°＜tan20°＜tan70°C.tan20°＜tan50°＜tan70°D.tan20°＜tan70°＜tan50°【举一反三4】在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的正切值（

）A.扩大1倍B.没有变化C.缩小为原来的一半D.不能确定【举一反三5】比较大小：（填“”“”或“”）．【举一反三6】比较、、和的大小，并由小到大排列：

．【举一反三7】比较大小：（填“”或“”）【举一反三8】按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来

【题型9】利用勾股定理求正弦值【典型例题】如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（

）A.B.C.D.【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为()A.B.C.D.【举一反三2】在中，，则的正弦值为（

）A.B.C.2D.【举一反三3】△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________.【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝____________.【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．【题型10】根据余弦值确定角的大小【典型例题】已知，则锐角的取值范围是（）A.B.C.D.【举一反三1】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（

）A.B.C.D.【举一反三2】当锐角的时，的值为（

）A.小于B.小于C.大于D.大于【举一反三3】若锐角满足，则锐角的取值范围是（

）A.B.C.D.【举一反三4】若为锐角，且cos0.6，则（

）A.030B.3045C.4560D.6090【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________．【举一反三6】已知为锐角，，则

度．【举一反三7】cosA=，A为锐角，则A=

；2cos(α-10°)=1，则锐角α=

.【举一反三8】已知为锐角，，则

度．【题型11】根据正切值确定角的大小【典型例题】已知为锐角，且，则的度数为（

）A.B.C.D.【举一反三1】已知tanα＝，则锐角α的取值范围是()A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°【举一反三2】锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°【举一反三3】某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（

）A.B.C.D.【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tanA＜˙，那么∠A的取值范围是________．【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tanA＜˙，那么∠A的取值范围是________．【举一反三6】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．【题型12】求特殊角的三角函数值【典型例题】小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（

）A.B.C.D.【举一反三1】等于（

）A.B.C.D.1【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于()A.B.C.D.【举一反三3】已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为

．【举一反三4】计算：sin30°+cos45°=

．【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；(2)我们知道，tanα＝sinαcosα，试求出tan15°的准确值．【题型13】直接由定义求余弦值【典型例题】cosα表示的是()A.一个角B.一个实数C.一个点D.一条射线【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，则cosB的值等于（

）A.B.C.D.【举一反三2】一等腰三角形的两边长为5cm和8cm，则它的底角的余弦值是()A.B.或C.或D.或【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（

）．A.2B.C.D.【举一反三4】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为()A.B.C.D.【举一反三5】在中，，，，那么

．【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有

个（1）；（2）；（3）；（4）．【举一反三7】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.【举一反三8】已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则

．【题型14】锐角三角函数值的变化情况【典型例题】把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（

）A.扩大4倍B.保持不变C.缩小4倍D.扩大2倍【举一反三1】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的三角函数值（

）A.扩大4倍B.保持不变C.缩小2倍D.缩小4倍【举一反三2】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是()A.正弦和余弦B.正弦和正切C.余弦和正切D.正弦、余弦和正切【举一反三3】比较大小：

．【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB

∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．

(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．【举一反三6】已知：如图，，、是上的两点，．

（1）求证：；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．【题型15】利用勾股定理求余弦值【典型例题】如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（）A.B.C.D.【举一反三1】如图，中，，，则（

）A.B.C.D.【举一反三2】如图，中，，，，为直线上一动点，连接．（1）

．（2）线段的最小值是

【举一反三3】如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则

．【举一反三4】如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值．【题型16】锐角三角函数的定义【典型例题】在中，为最大角，下列说法正确的是（

）A.B.C.D.【举一反三1】如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（）A.B.C.D.【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB＝________，cosB＝________.【举一反三3】如图，在中，，，．求的长、和的值．

【举一反三4】在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tanB的值．【题型17】已知三角函数值求另一个三角函数值【典型例题】△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（）A.2B.C.2D.【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（

）A.B.C.D.【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（

）A.B.C.D.【举一反三3】已知sinA＝，则cosA的值是()A.2B.C.D.【举一反三4】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于()A.B.C.D.1【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB=

；若，则=

．【举一反三6】已知是锐角，，则

°【举一反三7】已知，是锐角，则

.【题型18】先求三角函数值再求角的度数【典型例题】某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为()．A.90°B.75°C.60°D.105°【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是()A.∠A＝30°B.∠A＝45°C.cosA＝D.tanA＝【举一反三2】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，则∠A等于()A.45°B.30°C.60°D.50°【举一反三3】如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°【举一反三4】中，，，，则

．【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________.【举一反三6】如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是的直径，连接CD，若半径为2，AC=，则∠B=

【题型19】平面直角坐标系中求正弦值【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（

）

A.B.C.D.【举一反三1】如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值是()A.B.C.D.【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是()A.B.C.D.【举一反三3】如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则．

【举一反三4】如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点．

（1）若，则；（2）若的面积为2，则k的值为

．【举一反三5】如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．

(1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，若，求的值．【题型20】在正方形网格中求正弦值【典型例题】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（）

A.1B.C.D.【举一反三1】如图，在单位长度为1的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值等于（）

A.B.C.D.【举一反三2】在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为

．

【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为

．

【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．[基础掌握]在中，，，．求的面积；[灵活运用]在中，，，．求的面积；[迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．

【举一反三5】图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．

只用无刻度的直尺，在图①、图②中分别画一个△PBC，使点P在格点上，且∠BPC=∠BAC，所画的两个三角形不全等，不要求写出画法．(2)sin∠BPC=______．【题型21】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数【典型例题】已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(

)A.AC10NB.SHIETC.MODED.SHIFT【举一反三1】已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（）A.8°B.9°C.10°D.11°【举一反三2】已知，则锐角的度数大约为（

）A.B.C.D.【举一反三3】（1）若sinα=0.5138，则锐角α=

；（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=

；（3）若tanA=37.50，则∠A=

（结果精确到1〞）.【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547；(2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659；(3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.【举一反三5】利用计算器求下列各锐角的度数．（精确到）（1），求；（2），求；（3），求；（4），求．【题型22】直接由定义求正弦值【典型例题】已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是()A.B.C.D.【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinB的值是()A.B.C.D.【举一反三2】在直角三角形ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，AC＝4，则sinB＝________.【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，BC＝1，AC＝.(1)求sinA的值．(2)你能通过sinA的值求sin∠CBD的值吗？若能，请求出sin∠CBD的值，若不能，请说明理由．【题型23】特殊角的三角函数值的运算【典型例题】的值等于（

）A.1B.C.D.2【举一反三1】sin45°－cos60°等于()A.B.C.D.【举一反三2】计算：

．【举一反三3】

．【举一反三4】计算：4cos30°-tan45°tan60°+2sin45°.【题型24】平面直角坐标系中求正切值【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，点P的坐标为(12,5)，则tanα等于()A.B.C.D.【举一反三1】在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是()A.2B.8C.－2D.－8【举一反三2】如图，在平面直角坐标系中，与y轴相交于B点，直线与圆相切，，若，则的值是

．

【举一反三3】如图是直线的图像，求锐角的三个三角函数值．

【题型25】在正方形网格中求正切值【典型例题】如图，在的正方形网格中，A，B，C是正方形网格的格点，连接，则的值是（

）

A.B.C.D.【举一反三1】如图，的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanA的值是（

）

A.B.C.D.【举一反三2】如图，已知A、B、C三点均在格点上，则tanA的值为____________．【举一反三3】如图，由边长为1的正方形构成的9×5网格，小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上

(1)_______；(2)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示）(3)求的值．【举一反三4】如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都在格点上，O为边的中点，若把四边形绕着点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：

(1)画出四边形旋转后的图形四边形；(2)设点B旋转后的对应点为，求的值．【题型26】同角三角函数的关系【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosA的值为()A.B.C.D.【举一反三1】已知A，B是两个锐角，且满足，，则实数t所有可能值的和为（）A.B.C.1D.【举一反三2】如果∠A是锐角，则下列结论正确个数为()个．①＝sinA－1；②sinA＋cosA＞1；③tanA＞sinA；④cosA＝sin(90°－∠A)A.1B.2C.3D.4【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，是第一象限内的点，且，则

．【举一反三4】已知tanα＝，那么sinα＝__________.(其中α为锐角)【举一反三5】化简求值：，其中tanα＝2.【题型27】根据正弦值确定角的大小【典型例题】α为锐角，且sinα＝0.6，则()A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°【举一反三1】已知是锐角，且，那么等于（

）A.B.C.D.【举一反三2】如果∠A是锐角，且sinA＝，那么∠A的范围是()A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60°D.60°＜∠A＜90°【举一反三3】若∠A是锐角，且sinA＝，则（

）A.0°＜∠A＜30°B.30°＜∠A＜45°C.45°＜∠A＜60°D.60°＜∠A＜90°【举一反三4】已知为锐角，，则

．【举一反三5】已知为锐角，，则=

度．【举一反三6】若，则锐角

．【举一反三7】若，则锐角

°．【题型28】互余两角的三角函数关系【典型例题】在中，，若，则的值为（

）A.B.C.D.【举一反三1】在中，，若，则的值等于（）A.B.C.D.【举一反三2】在中，∠C=90°，如果，那么的值是(

)A.B.C.D.【举一反三3】在中，C=90°，tanA=3，tanB=

【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求cosB.【题型29】由特殊角的三角函数值求角的度数【典型例题】若sin(α－10°)＝，则∠α为()A.30°B.40°C.60°D.70°【举一反三1】已知sinα＝，则锐角α的度数是()A.30°B.37°C.45°D.60°【举一反三2】已知tanA＝1，则锐角A的度数是()A.30°B.45°C.60°D.75°【举一反三3】如果（为锐角），则

，

．【举一反三4】已知a为锐角，且则

．【举一反三5】已知，求锐角．【举一反三6】在中，已知求的值．【题型30】利用勾股定理求正切值【典型例题】矩形中，，，以为直径在矩形内作半圆．切于点（如图），则的值为（）

A.B.C.D.【举一反三1】如图，内接于，为的直径，若，，则的值为（

）

A.B.C.D.【举一反三2】在中，是边上的高，是边上的中线，．若，，则的值为（

）A.2或B.2或C.3或D.3或【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若c＝4a，则tanA＝__________.【举一反三4】若中，，，则．

【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，求tanA和tanB.【举一反三6】如图，在矩形中，，E是边上的一点，将沿着折叠，点A恰好落在边上的点F处，连接．

(1)求证：；(2)求的值．【题型31】由特殊角的三角函数值求三角形内角的度数【典型例题】如果，那么＝（

）．A.30°B.45°C.60°D.90°【举一反三1】把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为（

）A.B.C.D.【举一反三2】在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB-）2＝0，则∠C的度数是()A.30°B.45°C.60°D.90°【举一反三3】若，则锐角的度数为（

）A.B.C.D.【举一反三4】如果，那么＝（

）．A.30°B.45°C.60°D.90°【举一反三5】的两个锐角和满足，则的度数是

．【举一反三6】在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，则∠C＝________度．【举一反三7】已知中，均为锐角，且满足，则

．

人教版（2024）九年级下册28.1锐角三角函数讲义（参考答案）【题型1】平面直角坐标系中求余弦值【典型例题】如图，P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则cosα的值是()A.B.C.D.【答案】A【解析】过点P作PQ⊥x轴于点Q，则OQ＝3，PQ＝4.在Rt△OPQ中，由勾股定理，可得OP＝5.∴cosα＝＝.故选A.【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则cosα的值是（）

A.B.C.D.2【答案】C【解析】如图，作AH⊥x轴于H．

∵A（2，1），∴OH＝2，AH＝1，∴OA＝＝＝，∴cosα＝＝＝，故选：C．【举一反三2】如图，已知锐角α的顶点在原点，始边为x轴的正半轴，终边经过(1，2)．如图，则sinα＝

，cosα＝

．【答案】【解析】如图，过P点作PD⊥x轴，垂足为D，∵P（1，2）∴OD=1，PD=2,∴OP=,∴,.【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点在点的左边，与轴交于点．抛物线的对称轴为直线，点的坐标为．(1)求点坐标；(2)求的值；(3)若点在该抛物线上，求的值．【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，∴，∴；（2）∵抛物线，当时，，∴，而，∴，∴；（3）∵抛物线的对称轴为直线，点的坐标为，∴，解得：，∴抛物线为：，∵点在该抛物线上，∴即，解得，．【题型2】余弦值的变化情况【典型例题】、都是锐角，且，则下列各式中正确的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：∵

、都是锐角，且，∴

，∴

，，．故选：【举一反三1】如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（

）

A.越来越小B.不变C.越来越大D.无法确定【答案】A【解析】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，又∵动力臂，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．【举一反三2】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是()A.＜cosα＜B.＜cosα＜C.＜cosα＜D.＜cosα＜【答案】C【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，∴＜cosα＜.故选C.【举一反三3】三角函数、、之间的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：，又，余弦值随着角度的增大而减小，．故选：C．【举一反三4】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是()A.＜cosα＜B.＜cosα＜C.＜cosα＜D.＜cosα＜【答案】C【解析】∵cos30°＝，cos60°＝，锐角的余弦函数是减函数，∴＜cosα＜.故选C.【举一反三5】cos30°________cos40°(填大小关系)【答案】＞【解析】∵锐角的余弦值随着角的增大而减小，∴cos30°＞cos40°.【举一反三6】比较sin30°和cos30°的大小，用“＜”连接

．【答案】sin30°＜cos30°【解析】解：∵cos30°=sin60°，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大，∴sin30°＜sin60°，故sin30°＜cos30°故答案为：sin30°＜cos30°．【举一反三7】比较大小：（用“”或“”填空）．【答案】＞【解析】解：∵45°＜55°，∴cos45°＞cos55°．故答案为：＞．【题型3】直接由定义求正切值【典型例题】如图，在中，，则的值是（

）A.2B.C.D.【答案】B【解析】解：∵，∴．故选：B.【举一反三1】如图，在中，，，垂足为D．如果，那么的值是（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：∵，，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，故选：B．【举一反三2】中，，则

．【答案】/【解析】解：在中，，∴，故答案为：．【举一反三3】如图，AB和⊙O切于点B，AB=5，OB=3，则tanA=

．【答案】【解析】解：根据切线的性质，由直线AB与⊙O相切于点B，可得∠OBA=90°所以tanA=【举一反三4】如图，在中，．(1)求作分别与，相切，使得圆心O落在上，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）的条件下，已知，，求的值．【答案】解：（1）如图，作的角平分线，过作的垂线，垂足为，以为圆心，为半径画圆，作于M，由角平分线的性质可得：到的距离为圆的半径，∴是的切线，即，由作图可得：是的切线，∴即为所求．（2）由（1）得：，，，∵，∵，，∴，∴．【题型4】正弦值的变化情况【典型例题】在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大为原来的4倍，那么锐角A的正弦值()A.扩大4倍B.缩小4倍C.扩大16倍D.没有变化【答案】D【解析】根据锐角三角函数的概念，知若各边长都扩大4倍，则sinA的值不变．故选D.【举一反三1】在Rt△ABC中，若各边长都扩大5倍，则锐角A的正弦值()A.不变B.扩大5倍C.缩小到原来的15D.不能确定【答案】A【解析】设Rt△ABC的三边长为a，b，c，则sinA＝，如果各边长都扩大3倍，则sinA＝＝，故∠A的正弦值大小不变．故选A.【举一反三2】若的各边都扩大倍，得到，那么锐角、的正弦值的关系为（）A.B.C.D.不能确定【答案】C【解析】解：设Rt△ABC直角为∠C，对应边分别为a、b、c，故知sinA=，当各边扩大3倍时，sinA′==，故sinA=sinA′，故选C．【举一反三3】比较大小：sin65°__________sin55°(用“＞”或“＜”填空)．【答案】＞【解析】∵65°＞55°，∴sin65°＞sin55°.【举一反三4】比较大小：

．（填“”，“”，或“”）【答案】【解析】解：由“一个锐角的正弦值随着锐角的增大而增大”可知，，故答案为：．【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是否随之确定？请说明理由．【答案】解在Rt△ABC中，∠C＝90°.当∠A确定时，它的正弦值是随之确定，理由是：sinA＝，∠A确定，∠A对边与斜边的比值是不变的．【题型5】用计算器求锐角三角函数值【典型例题】用计算器求的值，按键顺序是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：先按键“”，再输入角的度数，按键“”即可得到结果．故选：D．【举一反三1】若tan，利用科学计算器计算的度数，下列按键顺序正确的是（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：在计算器中按下，然后找到的按键符号，即键按下键，再按键，A项符合题意故选：A．【举一反三2】利用计算器求值时，若按键顺序为则输出结果为

．

【答案】【解析】解：由题意得，计算器输出的结果为，故答案为：．【举一反三3】用科学计算器计算：cos32°≈

.(精确到0.01)【答案】2.68【解析】解：cos32°=3.1623×0.8480≈2.68，故答案为2.68．【举一反三4】用计算器求下列各式的值．（结果精确到）(1)；(2)；(3)．【答案】解：（1）；（2）；（3）【举一反三5】用计算器求下列锐角三角函数值，并填入表中：随着锐角A的度数不断增大，有怎样的变化趋势？呢？呢？你能说明自己的结论吗？【答案】解：随着锐角A的度数不断增大，的值不断增大，的值不断减小，的值不断增大．理由：在中，，假定的对边不变，当增大时，必有斜边减小，因此的值增大；假定的邻边不变，当增大时，必有斜边增大，对边增大，因此的值减小，的值增大．【题型6】在正方形网格中求余弦值【典型例题】如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是()A.B.1C.D.【答案】D【解析】由圆周角定理，得∠AED＝∠ABD.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝5，cos∠AED＝cos∠ABC＝＝＝，故选D.【举一反三1】如图，个形状大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点已知菱形的一个角为，、、都在格点上；点在过、、三点的圆弧上，若也在格点上，且，则的值为（

）

A.B.C.D.【答案】B【解析】解：在图中标上点、，连接，

四边形为菱形，，平分．，为等边三角形，，点为圆弧的圆心．，以点为圆心长度为半径补充完整圆，点即是所求，如图所示．所对的圆周角为、，图中所标点符合题意．四边形为菱形，且，为等边三角形，．故选：B．【举一反三2】如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的余弦值是__________．【答案】【解析】如图，作OC⊥AB的延长线于点C，在Rt△OAC中，AC＝4，OA＝＝2，则cos∠OAB＝＝＝＝.【举一反三3】如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是________．【答案】【解析】连接AB，∵OA2＝12＋32＝10，AB2＝12＋32＝10，OB2＝22＋42＝20，∴OA2＋AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos∠AOB＝cos45°＝.【举一反三4】请按下列要求画图并填空：（1）平移线段使点平移到点，画出平移后所得的线段；（2）将线段绕点逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段，并直接写出的值为

．【答案】解：（1）如图，CD为所求作线段．（2）如图，BE为所求作线段．过点B作BF⊥CE于F．在Rt△BCE中，∵CF=1，BF=4，∴CB=∴cos∠BCF=∴cos∠BCE=故答案为：【题型7】由特殊角的三角函数值判断三角形的形状【典型例题】若的内角满足，则的形状是（

）A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.三角不全相等的锐角三角形【答案】A【解析】解：由题意得：，，即，，∴，∴，即的形状是直角三角形．故选：A．【举一反三1】在中，，那么是（

）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴，是等腰三角形故选：A．【举一反三2】若∠A、∠B为△ABC中的锐角，且(2sinA-)2＋(cosB-)2＝0，则△ABC是()A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定【答案】A【解析】∵(2sinA-)2＋(cosB－)2＝0，∴2sinA－＝0，cosB－＝0，∴sinA＝，cosB＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形．故选A.【举一反三3】中，均为锐角，且，则的形状是

．【答案】等边三角形【解析】解：，解得，在中，均为锐角，，是等边三角形，故答案为：等边三角形．【举一反三4】在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，试判断△ABC的形状．【答案】解由△ABC中，∠A、∠B为锐角，且sinA＝，cosB＝，得∠A＝∠B＝30°，△ABC是等腰三角形．【题型8】正切值的变化情况【典型例题】已知30°＜α＜60°，下列各式正确的是()A.22＜tanα＜B.＜tanα＜C.＜tanα＜D.＜tanα＜【答案】C【解析】∵tan30°＝，tan60°＝，锐角的正切值随着α的增大而增大，∴＜tanα＜.故选C.【举一反三1】在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（

）A.不变B.扩大5倍C.缩小5倍D.不能确定【答案】A【解析】解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似，∴∠A的大小没有变，∴tanA的值不变．故选：A．【举一反三2】随着锐角α的增大，tanα的值()A.增大B.减小C.不变D.增大还是减小不确定【答案】A【解析】当角度在0°～90°间变化时，正切值随着角度的增大而增大，故选A.【举一反三3】比较tan20°，tan50°，tan70°的大小，下列不等式正确的是（）A.tan70°＜tan50°＜tan20°B.tan50°＜tan20°＜tan70°C.tan20°＜tan50°＜tan70°D.tan20°＜tan70°＜tan50°【答案】C【解析】解：由正切函数随角增大而增大，得：tan20°＜tan50°＜tan70°，故C符合题意．故选C．【举一反三4】在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的正切值（

）A.扩大1倍B.没有变化C.缩小为原来的一半D.不能确定【答案】B【解析】解：根据锐角三角函数的概念，知：如果各边都扩大1倍，即各边都变为原来的2倍，边长比不变，则其锐角的正切值不变．故选：B．【举一反三5】比较大小：（填“”“”或“”）．【答案】【解析】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，故答案为：．【举一反三6】比较、、和的大小，并由小到大排列：

．【答案】【解析】解：，正弦值随着角度的增大而增大，故答案为：【举一反三7】比较大小：（填“”或“”）【答案】【解析】解：在锐角三角函数中，正切值随角度的增加而增加，，故答案为：．【举一反三8】按从小到大的顺序用“”把，，，连接起来

【答案】【解析】解：∵20°＜40°＜60°＜80°，∴.故答案为t【题型9】利用勾股定理求正弦值【典型例题】如图，在矩形中，是边上两点，且，连接与相交于点，连接．若，，则的值为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：∵矩形，，，，∴，，∴，，∴，∴过点作，则：，∴，∴，∴，，∴，∴，∴；故选A．【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC＝＝12，∴sinA＝＝，故选B.【举一反三2】在中，，则的正弦值为（

）A.B.C.2D.【答案】B【解析】解：如图所示：∵，∴，∴；故选B．【举一反三3】△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，那么sinB＝________.【答案】【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝3，∴AB＝＝＝，∴sinB＝＝＝.【举一反三4】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝1，BC＝2，则sin∠A＝____________.【答案】【解析】∵∠C＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝；∴sin∠A＝＝＝.【举一反三5】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．【答案】解设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，则EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∵EM2＋CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝.【题型10】根据余弦值确定角的大小【典型例题】已知，则锐角的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：，，由可得，在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，，故选：D．【举一反三1】已知，A，B均为锐角，则A的取值范围是（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：∵，∵，当，越大，越小，故．故选D．【举一反三2】当锐角的时，的值为（

）A.小于B.小于C.大于D.大于【答案】A【解析】解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．【举一反三3】若锐角满足，则锐角的取值范围是（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：∵，，∴；故选C．【举一反三4】若为锐角，且cos0.6，则（

）A.030B.3045C.4560D.6090【答案】C【解析】解：根据特殊的三角函数值,得cos45°=，cos60°=由于＜0.6＜故45°＜＜60°所以选C.【举一反三5】若cosA＞cos60°，则锐角A的取值范围是________．【答案】0°＜A＜60°【解析】由cosA＞cos60°，得0°＜A＜60°，故答案为0°＜A＜60°.【举一反三6】已知为锐角，，则

度．【答案】【解析】解：∵为锐角，，，∴，∴，故答案为：【举一反三7】cosA=，A为锐角，则A=

；2cos(α-10°)=1，则锐角α=

.【答案】45°，70°.【解析】解：∵cos45°=且A为锐角，∴A=45°；∵2cos(α-10°)=1，∴cos(α-10°)=，又∵cos60°=，且α为锐角，∴α-10°=60°，∴α=70°.【举一反三8】已知为锐角，，则

度．【答案】【解析】解：∵为锐角，，，∴，∴，故答案为：【题型11】根据正切值确定角的大小【典型例题】已知为锐角，且，则的度数为（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：∵，∴，∵为锐角，∴，解得：，故选：C．【举一反三1】已知tanα＝，则锐角α的取值范围是()A.0°＜α＜30°B.30°＜α＜45°C.45°＜α＜60°D.60°＜α＜90°【答案】C【解析】∵tan30°＝≈0.577，tan45°＝1，tan60°＝≈1.732，又∵tanα＝＝1.2，∴tan45°＜tanα＜tan60°，∵锐角的正切值随角度的增大而增大，∴45°＜α＜60°，故选C.【举一反三2】锐角α满足，且，则α的取值范围为（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°【答案】B【解析】解：∵，且，∴45°﹤α﹤90°∵，且，∴0°＜α＜60°，∴45°＜α＜60°．故选：B．【举一反三3】某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：∵，，∴，∴；故选：C．【举一反三4】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tanA＜˙，那么∠A的取值范围是________．【答案】0°＜∠A＜60°【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.【举一反三5】已知∠A是Rt△ABC的一个内角，且tanA＜˙，那么∠A的取值范围是________．【答案】0°＜∠A＜60°【解析】∵∠A是Rt△ABC的一个内角，∴∠A＜90°，∵tanA＜，∴0°＜∠A＜60°.【举一反三6】已知tanA＝0.7，则∠A________________30°(填“＜”或“＞”)．【答案】>【解析】∵tanA＝0.7，tan30°＝≈0.577，∴∠A>30°,故答案为∠A>30°【题型12】求特殊角的三角函数值【典型例题】小明利用如图所示的量角器量出的度数，的值为（

）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：由量角器读数可知，∴，故选：．【举一反三1】等于（

）A.B.C.D.1【答案】B【解析】解：sin60°=故选B．【举一反三2】在△ABC中，∠A＝120°，∠B＝45°，∠C＝15°，则cosB等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】∵cos45°＝，∴cosB＝.故选D.【举一反三3】已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为

．【答案】60°【解析】解：∵∠A为锐角，且tanA=，∴∠A=60°.故答案为60°.【举一反三4】计算：sin30°+cos45°=

．【答案】【解析】解：sin30°+cos45°=+=,故答案为：.【举一反三5】同学们，在我们进入高中以后，将还会学到下面三角函数公式：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ例：sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝(1)试仿照例题，求出cos15°的准确值；(2)我们知道，tanα＝sinαcosα，试求出tan15°的准确值．【答案】解(1)cos15°＝cos(45°－30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝×＋×＝；(2)tan15°＝＝÷＝2－.【题型13】直接由定义求余弦值【典型例题】cosα表示的是()A.一个角B.一个实数C.一个点D.一条射线【答案】B【解析】解：由三角函数的定义可知，三角函数是线段的比值，所以三角函数是一个实数，故选B．【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C=90，sinA=，则cosB的值等于（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴若设BC=3x，则AB=5x，∴cosB=.故选B.【举一反三2】一等腰三角形的两边长为5cm和8cm，则它的底角的余弦值是()A.B.或C.或D.或【答案】D【解析】过顶点A作底边BC的垂线AD，如图，①当5cm是底边时，BD＝BC＝×5＝，cosB＝＝÷8＝，②当8cm是底边时，BD＝BC＝×8＝4，cosB＝＝，综上所述，底角的余弦值是或.故选D.【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，则cos∠ABC值是（

）．A.2B.C.D.【答案】B【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝4，∴AB＝，∴cos∠ABC＝，故选：B．【举一反三4】如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则cosB的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】cosB＝＝.故选A.【举一反三5】在中，，，，那么

．【答案】【解析】解：如图，，，，，故答案为．【举一反三6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，下列线段的比值等于cosA的值的有

个（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】3【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，∴∠A＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴cosA＝＝＝．故（1），（2），（4）正确．故答案为：3．【举一反三7】已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB＝10，若BC＝8，则cos∠ACD＝__________.【答案】【解析】∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，∴CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴cos∠ACD＝cosB＝＝＝.【举一反三8】已知等腰三角形两条边的长分别是底角为，则

．【答案】或【解析】解∶如图，当腰长为4时，过点A作于点D，∴，∴；如图，当腰长为6时，过点A作于点D，∴，∴；故答案为：或【题型14】锐角三角函数值的变化情况【典型例题】把各边的长度都扩大倍得到，其中与是对应顶点，则锐角的余弦值比锐角的余弦值（

）A.扩大4倍B.保持不变C.缩小4倍D.扩大2倍【答案】B【解析】解：∵在中，各边的长度都扩大4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余弦值保持不变．故选B．【举一反三1】在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的三角函数值（

）A.扩大4倍B.保持不变C.缩小2倍D.缩小4倍【答案】B【解析】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余切值保持不变．故选B．【举一反三2】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是()A.正弦和余弦B.正弦和正切C.余弦和正切D.正弦、余弦和正切【答案】B【解析】当角度在0°到90°之间变化时，函数值随着角度的增大而增大的三角函数是正弦和正切．故选B.【举一反三3】比较大小：

．【答案】【解析】解：根据题意作图如下，

在中，，，，，，故答案为：．【举一反三4】如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB

∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）

【答案】=【解析】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，∴∠AOB＝∠COD，故答案为＝.【举一反三5】如图，已知和射线上一点（点与点不重合），且点到、的距离为、．

(1)若，，，试比较、的大小；(2)若，，，都是锐角，且．试判断、的大小，并给出证明．【答案】解：（1）在中，，，在中，，，又，；（2）由（1）得，，，，．【举一反三6】已知：如图，，、是上的两点，．

（1）求证：；（2）锐角的正切函数值随角度的增大而________．【答案】解：（1）∵，∴和均为直角三角形，∴，，∴；由（1）可知锐角的正切函数值随角度的增大而增大．【题型15】利用勾股定理求余弦值【典型例题】如图，四边形为菱形，对角线，交于点O，，垂足为E．若，，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：∵四边形为菱形，，∴，，，∴，∴，∴AC=2OA=16，∵，∴，，即，∴，∴，故选：A．【举一反三1】如图，中，，，则（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：∵，∴．∴．故选：D．【举一反三2】如图，中，，，，为直线上一动点，连接．（1）

．（2）线段的最小值是

【答案】/【解析】解：（1），，，，，故答案为：；（2）当时，线段取得最小值，，，，，，即，解得，故答案为：．【举一反三3】如图，为的弦，C为上一点，于点D．若，，则

．【答案】【解析】解：∵，，∴，在中，，∴OD＝，∴．故答案为：．【举一反三4】如图，在中，直径，与弦相交于点E，连接，若，求的值．【答案】解：连结，如图，是直径，，在中，，，，，【题型16】锐角三角函数的定义【典型例题】在中，为最大角，下列说法正确的是（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：依题意，，如图所示，，故A选项错误，，故B选项正确，，故C选项错误，，故D选项错误，故选：B．【举一反三1】如图，点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，∵cosα＝，设OB＝3x，则OA＝5x，∵A（x，4），∴AB＝4，由勾股定理得：，所以，解得：x＝1，x=-1（负数舍去），即OB＝3，∴tanα＝＝，故选：A．【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB＝________，cosB＝________.【答案】【解析】设BC为x，则AB＝3x，由勾股定理得，AC＝＝2x，sinB＝＝，cosB＝＝.【举一反三3】如图，在中，，，．求的长、和的值．

【答案】解：在中，，，，由勾股定理得，则，【举一反三4】在直角三角形ABC中，已知∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，分别求出sinA和tanB的值．【答案】解如图，∵∠C＝90°，AB＝15，AC＝9，∴BC＝＝12，∴sinA＝＝，tanB＝＝.【题型17】已知三角函数值求另一个三角函数值【典型例题】△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanA的值是（）A.2B.C.2D.【答案】A【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，sinA=，∴cosA===，则tanA==，故选A．【举一反三1】已知为锐角，且，那么的正切值为（

）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：∵，为锐角，∴，∴．故选：A．【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝则cosA等于（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】解：如图，画出，∵，设，，根据勾股定理，，∴．故选：D．【举一反三3】已知sinA＝，则cosA的值是()A.2B.C.D.【答案】D【解析】∵sinA＝，∴∠A＝30°，∴cosA＝.故选D.【举一反三4】已知sinA＝，∠A为锐角，则cos2A等于()A.B.C.D.1【答案】A【解析】∵sinA＝，∠A为锐角，∴∠A＝30°，∴cos2A＝cos60°＝.故选A.【举一反三5】在Rt△ABC中，∠ACB=90，sinB=，则cosB=

；若，则=

．【答案】；15°．【解析】解：根据sin2B+cos2B=1，sinB=，所以cosB=；因为，所以根据特殊角三角函数值可得，所以=15°．【举一反三6】已知是锐角，，则

°【答案】【解析】解：如图：由，设，则，故【举一反三7】已知，是锐角，则

.【答案】【解析】解：，是锐角，，．故答案为：．【题型18】先求三角函数值再求角的度数【典型例题】某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为()．A.90°B.75°C.60°D.105°【答案】B【解析】解：由题意知：tanα==

∴α=30°；tanβ==1，∴β=45°．∴∠α+∠β=75°．故选B．【举一反三1】如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，下列判断正确的是()A.∠A＝30°B.∠A＝45°C.cosA＝D.tanA＝【答案】D【解析】∵在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝，∴tanA＝＝＝.故选D.【举一反三2】在Rt△ABC中，已知∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，则∠A等于()A.45°B.30°C.60°D.50°【答案】A【解析】在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AC＝10，AB＝5，∴BC＝＝5，∴tanA＝＝1，∴∠A＝45°.故选A.【举一反三3】如图，过点O、A(1，0)、B(0，)作⊙M，D为⊙M上不同于点O、A的点，则∠ODA的度数为（）A.60°B.60°或120°C.30°D.30°或150°【答案】D【解析】解：如图，连接，，，，在中，，，由题意，分以下两种情况：（1）如图，当点在轴上方的圆弧上时，由圆周角定理得：；（2）如图，当点在轴下方的圆弧上时，由圆内接四边形的性质得：；综上，的度数为或，故选：D．【举一反三4】中，，，，则

．【答案】/60度【解析】解：如图，，，，∴，，∴，∴；故答案为：【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，2a＝c，则∠B＝________.【答案】30°【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，2a＝c，则cosB＝＝，∴∠B＝30°.【举一反三6】如图⊙O是△ABC的外接圆，AD是的直径，连接CD，若半径为2，AC=，则∠B=

【答案】45°【解析】解：∵AD是⊙O的直径，半径为2，∴∠ACD=90°．AD=4Rt△ACD中，AC=2，

sinD=又∵∠B=∠D，故答案为：45．【题型19】平面直角坐标系中求正弦值【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，已知⊙A经过点E、B、O、C且点O为坐标原点，点C在y轴上，点E在x轴上，A（﹣6，4），则sin∠OBC的值为（

）

A.B.C.D.【答案】C【解析】解：如图，连接EC，过A点作于点M，于点N．

∵∠COE=90∘，∴EC是⊙A的直径，∴EC过A点，∵A点的坐标为(-6,4)，，，，，由垂径定理得：M点为OC的中点，N点为OE的中点，，，由勾股定理得：，，∵∠OBC=∠OEC，，故选C．【举一反三1】如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】如图所示，连接CD，∵D(0，3)，C(4，0)，∴OD＝3，OC＝4，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝5，∵同弧所对的圆周角相等∴∠OBD＝∠OCD，∴sin∠OBD＝sin∠OCD＝＝.故选D.【举一反三2】如图，已知∠α的一边在x轴上，另一边经过点A(2，4)，顶点为(－1，0)，则sinα的值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】作AC⊥x轴于点C，由题意得，BC＝3，AC＝4，由勾股定理得AB＝5，则sinα＝＝，故选D.【举一反三3】如图所示，直径为的经过点和点、是轴右侧优弧上一点，则．

【答案】【解析】解：连接并延长到圆上一点D，

∵为直径，∴，即x轴交于点D，∵点，点，∴，∴．故答案为：．【举一反三4】如图，四边形的边与y轴的正半轴重合，垂直于x轴，反比例函数的图象经过四边形的对角线，的交点．

（1）若，则；（2）若的面积为2，则k的值为

．【答案】/【解析】解：（1）作于点E，如图所示：

∵，∴，，∴，∴；故答案为：；（2）∵轴，∴，∴，∴，∴，．∵的面积为2，∴，∴，∴，∵，轴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【举一反三5】如图，点C是线段上一点，直线，垂足为点C．

(1)在直线l上作一点P，使（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，连接，若，求的值．【答案】解：（1）如图所示，点P即为所求．

（2）解法一：设，，由（1）可知，，，，，，，即，整理得，，解得，，，解法二：设，，由（1）可知，，，即，整理得，，解得，，．【题型20】在正方形网格中求正弦值【典型例题】如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C均在格点上，则的值是（）

A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：由图可知，且，∴，∴．故选：D．【举一反三1】如图，在单位长度为1的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值等于（）

A.B.C.D.【答案】A【解析】解：由图可得，

，∴，∴，故选：A．【举一反三2】在正方形网格中，的位置如图所示，则sin∠BAC的值为

．

【答案】/0.6【解析】解：连接格点DC、BD．

在Rt△ABD中，∵CD=3，AD=4，∴AC==5．∴sin∠BAC=．故答案为：．【举一反三3】如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为

．

【答案】/0.8【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．

在Rt△ACH中，∵AH=4，CH=3，∴AC==5，∴sin∠ACH=，故答案为：．【举一反三4】多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角．[基础掌握]在中，，，．求的面积；[灵活运用]在中，，，．求的面积；[迁移提升]如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值．

【答案】解：（1）如图所示，

过点作于点，∵，，∴,∵．∴的面积为；（2）如图所示，过点作于点，

∴，∴，，∴,∴的面积为；（3）∵，,,又∵,∴．【举一反三5】图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上．

只用无刻度的直尺，在图①、图②中分别画一个△PBC，使点P在格点上，且∠BPC=∠BAC，所画的两个三角形不全等，不要求写出画法．(2)sin∠BPC=______．【答案】解：（1）解：以点A为圆心，AB的长为半径画⊙A，⊙A经过格点P1、P2、P3、P4、P5、P6，取其中一个点P与点B、C相连；图①△BP1C即为所求、图②△BP5C即为所求；；（2）取BC的中点D，连接AD，∵AB=AC，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC，∴∠BPC=∠BAD，AB=，∴sin∠BPC=sin∠BAD=．【题型21】已知锐角三角函数值用计算器求角的度数【典型例题】已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键(

)A.AC10NB.SHIETC.MODED.SHIFT【答案】D【解析】解：“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．故选D．【举一反三1】已知sinA=0.1782，则锐角A的度数大约为（）A.8°B.9°C.10°D.11°【答案】C【解析】解：使用键，然后按sin-10.1782即可求出∠A的度数．∴sinA=0.1782，∴∠A≈10°．故选C．【举一反三2】已知，则锐角的度数大约为（

）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：用计算器计算可得，．故选：B．【举一反三3】（1）若sinα=0.5138，则锐角α=

；（2）若2cosβ=0.7568，则锐角β=

；（3）若tanA=37.50，则∠A=

（结果精确到1〞）.【答案】30.92°67.77°88°28′21″【解析】解：(1)若sinα=0.5138，则锐角(2)若2cosβ=0.7568，则锐角(3)若tanA=37.50，则故答案为【举一反三4】已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角：(1)sinA＝0.7325，sinB＝0.0547；(2)cosA＝0.6054，cosB＝0.1659；(3)tanA＝4.8425，tanB＝0.8816.【答案】解(1)∵sinA＝0.7325，∴∠A≈47.1°，∵sinB＝0.0547，∴∠B≈3.1°；(2)∵cosA＝0.6054，∴∠A≈52.7°，∵cosB＝0.1659，∴∠B≈80