2025-2026学年15.3.2 等边三角形 同步练习人教版八年级数学上学期 含答案

/15.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定基础夯实知识点1等边三角形的概念及性质1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为 ()A.24° B.36° C.48° D.56°2.「2025贵州黔东南州期末」如图,AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE=AD，连接DE,则∠EDC的度数为 ()A.30° B.20° C.25° D.15°3.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点，当△DEF为等边三角形时,AD=3,则线段CF的长为4.如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE.(1)求∠BDE的度数.(2)求证:△CED是等腰三角形.知识点2等边三角形的判定5.「2025云南昆明期末」下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是 ()A.∠A=∠B=∠CB.AB=BC,AC=BCC.AB=BC,∠B=60°D.AB=BC,∠A=∠C6.「2025天津和平期末」如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子(图中CM)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子(图中CN)的倾斜角为45°，那么MN的长是米.7.「2025江苏南京师大附中月考」如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D,连接AE、AD.求证:△AED是等边三角形. 能力提升8.「2024山东泰安中考，〔如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是 ()A.45° B.39°C.29° D.21°9.「2023江西中考，」将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为cm.10.「如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分△ABC的外角∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是.11.「2025山东聊城期末，」如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE=2∠BCD,若CD的长度为30cm,则此时B，D两点之间的距离为cm.12.「2025河南开封期末,」如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE∥AB.(1)判断△DEF的形状，并说明理由.(2)若AD=12,CE=7,求CF的长.素养提优13.「2025河南信阳期中」如图，点O是等边△ABC内的一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,连接OD.(1)求证:△OCD是等边三角形.(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.(3)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?第2课时含30°角的直角三角形的性质基础夯实知识点 含30°角的直角三角形的性质1.「2023贵州中考」2023年5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是 ()A.4m B.6m C.10m D.12m2.「2025四川广安期末」如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为()A.1.5 B.2 C.3 D.43.教材如图所示的是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE分别垂直于横梁AC，若DE=1.8m,∠A=30°,则斜梁AB的长为m.4.「2025河南商丘月考」如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.(1)求∠A的度数.(2)若BE=4,求AE的长.能力提升5.「2025天津外国语学校期末，的。」如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若∠B=30°,BC=8cm,则BD的长为 ()A.7cm B.6cm C.5.5cm D.5cm6.「如图，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起.已知AB=AC，当杆AB与水平面夹角为30°时,测得BC=8dm,则点B到AD的距离为.7.「2025山东威海期中,金」在△ABC中,AB=AC,D是BC边上任意一点，过点D分别向AC，AB作垂线，垂足分别为E，F.(1)当点D在BC的什么位置时,DE=DF?并说明理由.(2)在(1)的条件下,若∠BAC=120°,AE=8,求CE的长.15.3.2等边三角形第1课时等边三角形的性质与判定基础夯实知识点1等边三角形的概念及性质1.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为(B)A.24° B.36° C.48° D.56°2.「2025贵州黔东南州期末」如图,AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE=AD，连接DE,则∠EDC的度数为(D)A.30° B.20° C.25° D.15°3.如图,点D,E,F分别为等边△ABC三边AB,BC,AC上的动点，当△DEF为等边三角形时，AD=3，则线段CF的长为3.4.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高,延长BC至E,连接DE,使DB=DE.(1)求∠BDE的度数.(2)求证:△CED是等腰三角形.解析答案(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,∵BD是AC边上的高,∴∠DBE=30°,∵DB=DE,∴∠E=∠DBE=30°,∴∠(2)证明:∵∠ACB=60°,∠E=30°,∴∠CDE=∠ACB-∠E=30°,∴∠CDE=∠E,∴CD=CE,∴△CED是等腰三角形.知识点2等边三角形的判定5.「2025云南昆明期末」下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是(D)A.∠A=∠B=∠CB.AB=BC,AC=BCC.AB=BC,∠B=60°D.AB=BC,∠A=∠C6.「2025天津和平期末」如图，工人在某施工现场作业，有一个长为1.6米的梯子(图中CM)斜靠在墙上，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子(图中CN)的倾斜角为45°，那么MN的长是1.6米.7.「2025江苏南京师大附中月考」如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D,连接AE、AD.求证:△AED是等边三角形.证明∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠∵AB、AC边的垂直平分线分别交BC于点E、D,∴AE=BE,AD=CD,∴∠BAE=∠B=30°,∠CAD=∠C=30°,∴∠AED=∠B+∠BAE=60°,∠ADE=∠C+∠CAD=60°,∴∠DAE=180°-∠AED-∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形.能力提升8.「2024山东泰安中考，〔如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°,则∠ACD的度数是(B)A.45° B.39°C.29° D.21°9.「2023江西中考，」将含30°角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为2cm.10.「如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=5,BE平分△ABC的外角∠ABD,AE∥BD交BE于E,则△ABE的周长是15.11.「2025山东聊城期末,」如图所示的是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆的CD部分的长度与支杆BC的长度相等，点E在DC的延长线上，且∠BCE=2∠BCD,若CD的长度为30cm,则此时B,D两点之间的距离为30cm.12.「2025河南开封期末,如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠A=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE交于点F,CE∥AB.(1)判断△DEF的形状，并说明理由.(2)若AD=12,CE=7,求CF的长.解析答案(1)△DEF是等边三角形.理由:∵AB=AD,∠A=60°,∴△ABD为等边三角形,∴∠ADB=∠ABD=60°,∵CE∥AB,∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°,∴△DEF是等边三角形.(2)如图,连接AC交BD于点O,∵AB=AD,CB=CD,∴AC垂直平分BD,∴AO⊥BD,∴∠BAO=∠DAO=30°,∵CE∥AB,∴∠ACE=∠BAO=∠DAO,∴AE=CE=7,∴DE=AD-AE=12-7=5,∵△DEF是等边三角形，∴EF=DE=5,∴CF=CE-EF=2.素养提优13.「2025河南信阳期中」如图，点O是等边△ABC内的一点,D是△ABC外的一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,连接OD.(1)求证:△OCD是等边三角形.(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.(3)当α为多少度时，△AOD是等腰三角形?含30°角的直角三角形的性质基础夯实知识点含30°角的直角三角形的性质1.「2023贵州中考」2023年5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示)，它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是(B)A.4m B.6m C.10m D.12m2.「2025四川广安期末」如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=1,则AD的长为(B)A.1.5 B.2 C.3 D.43.她数据如图所示的是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE分别垂直于横梁AC，若DE=1.8m,∠A=30°,则斜梁AB的长为7.2m.4.「2025河南商丘月考」如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB.(1)求∠A的度数.(2)若BE=4,求AE的长.解析答案(1)∵ED垂直平分BC,∴EC=EB,∴∠ECD=∠B=30°,又∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB=30°,∴∠A=180°-(∠B+∠ACE+∠ECB)=90°.(2)∵ED垂直平分BC,∴EC=EB=4,由(1)知∠A=90°,∠ACE=30°,∴能力提升5.「2025天津外国语学校期末，如图所示，在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,若∠B=30°,BC=8cm,则BD的长为(B)A.7cm B.6cm C.5.5cm D.5cm6.「如图，杆AB可以绕转