2025-2026学年八年级数学上册竞赛专题培优：五 轴对称【附答案】

/专题卷五轴对称(满分:120分考试时间:120分钟)一、选择题(每题5分，共30分)1.[宁波镇海中学自主招生]把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D，M，Q，X，Z，请你按原规律补上各个空，其顺序依次为 ()①F,R,P,J,L,G,() ②H,I,O,() ③N,S,()④B,C,K,E,() ⑤V,A,T,Y,W,U,()A.Q,X,Z,M,D B.D,M,Q,Z,XC.Z,X,M,D,Q D.Q,X,Z,D,M2.[2024·宁波自主招生]如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线相交于点O,点E在BC上,点F在AC上。将∠C沿EF折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数为 ()A.72° B.100° C.108° D.120°3.[丽水自主招生]如图，将边长为1的正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为()A.2 B.22 C.44.[2024·广州南沙区自主招生]如图，在边长为a的等边三角形ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上,连结AD。在AD的右侧作等边三角形ADE,连结EF,则△AEF周长的最小值是 ()A.12a+23b 5.[浙江竞赛]如图,直线l₁与直线l₂相交,α=60°,点P在α内(不在l₁，l₂上)。小明用下面的方法作点P的对称点：先以l₁为对称轴作点P关于l₁的对称点P₁，再以l₂为对称轴作点P₁关于l₂的对称点P₂，然后再以l₁为对称轴作点P₂关于l₁的对称点P₃，以l₂为对称轴作点P₃关于l₂的对称点P₄,…,如此继续,得到一系列点P₁,P₂,P₃,…,Pn。若Pn与P重合,则n的最小值是 ()A.5 B.6 C.7 D.86.[武汉竞赛]如图，∠MON=40∘,P是∠MON内的定点,点A,B分别在OM,ON上移动。当△PAB周长最小时,A.20° B.40° C.100° D.140°二、填空题(每题5分，共30分)7.[2024·西安碑林区自主招生]在一节折纸活动课上，小思将如图1的正方形纸片两边对折至对角线，得到如图2的四边形，再将其一角对折，使对面两角的顶点重合，得到如图3的五边形，则图3中∠1的度数为°。8.[2024·湖北黄冈中学自主招生]综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm29.[2024·武汉华师一附中自主招生]如图，在△ABC中，D为边BC的中点，连结AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△10.[嘉兴自主招生]如图,在△ABC中,AB=AC=6,在△ABC内有一点P,将△BPC沿BC边向外翻折至△BQC,过点P,Q分别作AB,AC边的垂线,垂足为M,N,E,F。已知MP+EQ=8,NP+FQ=6,那么S△ABC=11.如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,当△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM的度数为°。12.如图,有任意四边形ABCD,A',B',C',D'分别是点A,B,C,D关于点B,C,D,A的对称点。设S表示四边形ABCD的面积,S'表示四边形A'B'C'D'的面积,则S'S的值为三、解答题(共60分)13.(10分)[江苏竞赛]如图，设L₁和L₂是镜面平行且镜面相对的两面镜子，把一个小球A放在二者之间，小球在镜L₁中的像为A′，A′在镜L₂中的像为A″。若L₁，L₂的距离为7，求AA''的长。14.(12分)[2024·义乌校级月考]如图,在△ABC中，AB=AC,∠BAC=130(1)求∠DFG(2)设∠BAD=θ,15.(12分)如图,在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,P,Q,R分别是AB,BC,CA上的点。求证:16.(12分)如图,P为△ABC内一点，PG垂直平分BC，交点为G，且∠17.(14分)某课外活动小组对课本上的一道习题学习后，进行了拓展应用：(1)原题：如图1，在直线l上找一点P，使得.PA+PB最短(画图即可)。(2)应用:如图2,已知在正方形ABCD中,E为AB的中点,在线段BD上找一点P,使得.PA+PE的值最小，并说明理由。(3)探索:如图3,E为正方形ABCD的AB边的中点,M为BC上一点,N为CD上一点,连结EM,MN,NA。请你应用(1)的原理在图3中找出点M,N,使得EM+MN+NA的值最小，画图即可。专题卷五轴对称1.D【解析】①中字母都不是对称图形，故满足规律的是Q；②有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是X；③是中心对称图形，则规律相同的是Z；④是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，满足规律的是D；⑤是轴对称图形，对称轴是一条竖直的直线，满足规律的是M。故各个空顺序依次为Q,X,Z,D,M。2.C【解析】如答图,连结OB,OC。∵∠BAC=54°,AO为∠BAC的平分线,∴∠又∵AB=AC,∴∠=6∵DO是AB的垂直平分线,∴OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=27°,∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=63°-27°=36°。∵AO为∠BAC的平分线,AB=AC,∴OB=OC,∴点O在BC的垂直平分线上。又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心,∴∠OCB=∠OBC=36°。由折叠,得OE=CE,∴∠COE=∠OCB=36°,∴∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-36°-36°=108°。3.C【解析】∵正方形ABCD的边长为1,∴由翻折变换的性质可知AD=QM,QP=AP,MN=DN,∴阴影部分的周长=QM+(QP+BP)+BC+(CN+MN)=AD+AB+BC+CD=1×4=4。4.B【解析】如答图,连结CE,作点A关于直线CE的对称点M，连结FM，交CE的延长线于点E'，连结AE',CM,此时.AE'+FE'的值最小。∵△ABC,△ADE都是等边三角形,∴AB=AC=a,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ABD=∠ACE。∵∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°,BF⊥AC,∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)。∵CA=CM,∠ACM=60°,∴△ACM是等边三角形,AM=AC。∵BF⊥AC,∴FM=BF=b,∴△AEF周长的最小值:=AF+FE'+AE'=AF+FM5.B【解析】设两直线交点为O，根据对称性可知：作出的一系列点P₁,P₂,P₃,…,Pₙ都在以O为圆心,OP为半径的圆上，如答图所示。∵α=60°,∴每相邻两点间的角度是60°,∴若Pₙ与P重合,则n的最小值是6。6.C【解析】如答图,分别作点P关于OM,ON的对称点P',P",连结OP',OP",P'P"。P'P"交OM,ON于点A,B,连结PA,PB,此时△PAB周长的最小值等于P'P"。∵由轴对称性质，得OP'=OP"=OP,∠P'OA=∠POA,∠P"OB=∠POB,∴∠。⋅∠又∵∠BPO=∠OP"B=50°,∠APO=∠AP'O=50°,∴∠APB=∠APO+∠BPO=100°。7.45【解析】如答图,将题目中图1,图2,图3放在一张图中，由题意,得∠DAE=∠CAE=∠CAF=∠BAF=1∴∠EAF=45°=∠HCG,∴∠∴∠1=180°-135°=45°。8.22【解析】如答图,延长AT交BC于点P。∵AP⊥BC,∴∴AP=6cm。由题意,得AT=PT=3cm,∴BE=CD=PT=3cm。∵DE=BC=8cm,∴矩形BCDE的周长为8+8+3+3=22(cm)。9.3【解析】由题意,得△DCA≌△DC'A,OC=OC',∠COD=∠C'OD=90°,∴O为CC'的中点。∵D为BC的中点,∴OD是△BCC'的中位线,∴∴∠COD=∠EC'B=90°。∵AE=BE,BC'=2,∴OD=1。在△EC'B和△EOA中,∵{∴△EC'B≌△EOA(AAS),∴∴AO=2,∴AD=AO+OD=2+1=3。10.21【解析】如答图,连结AP,AQ。∵将△BPC向外翻折至△BQC,∴△BPC≌△BQC,∴S△BPC=S△BQC。∵2S△ABC=S∴11.120【解析】如答图,作点A关于BC和CD的对称点A',A",连结A'A",交BC于点M,交CD于点N,则A'A"即为△AMN周长的最小值。∵∠∵∠A'=∠MAB,∠NAD=∠A″,且∠A′+∠MAB=∠AMN,∠NAD+∠A″=∠ANM,∴∠AMN+∠12.5【解析】如答图,连结AC,BD,A'C。∵C是BB′的中点,.同理：S△A'BC=S△ABC,∴S△A'BB'=2S△ABC。同理：S△AA∵∴∴13.解:∵小球在镜L₁中的像为A′,A′在镜L₂中的像为A",∴A′和A关于L₁对称,A″和A′关于L₂对称。设A到L₁的距离为x,则A到L₂的距离为7一x,∴A′到L₂的距离为7+x,∴14.解:(1)∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°,∴∠B=∠C=25°。∵△ABD,△AFD关于AD所在的直线对称,∴△ADB≌△ADF,∴∠B=∠AFD=25°,AB=AF。∵AB=AC,∴AF=AC。∵∠FAC的平分线交BC边于点G,∴∠FAG=∠CAG。在△AGF和△AGC中,∵{∴△AGF≌△AGC(SAS),∴∠AFG=∠C。∵∠DFG=∠AFD+∠AFG,∴∠(2)令AF与BC的交点为Q,分3种情况讨论:①当GD=GF时,∴∠GDF=∠GFD=50°。∵∠ADG=25°+θ,∴在△ADF中,5∴θ=40°;②当FD=GF时,∴∠GDF=∠FGD。∵∠DFG=50°,∴∠FDG=∠FGD=65°。在△ADF中,(65∘③当FD=GD时,∴∠DFG=∠FGD=50°,∴∠FDG=80°。在△ADF中,80∘综上所述,当θ=40°,32.5°或25°时,△DFG为等腰三角形。15.证明:如答图,以AB为对称轴,作点C,Q,R的对称点C₁,Q₁,R₁。∵∠CAB=90°,∴C,A,C₁三点共线。以CC₁为对称轴,作点B,Q₁,P的对称点B₂,Q₂,P₂。∵∠B₂C₁C=∠BC₁C=∠C,∴BC∥B₂C₁。延长DA交B₂C₁于点D₂,则.D由平行线间垂线段最短，可得DD由对称性可得R∴2AD<PQ+RP+QR,即AD16.证明:如答图,作BF⊥CE交CE的延长线于点F,CM⊥BD于点M,则∠PFB=∠PMC=90°。∵PG是BC的垂直平分线,∴PB=PC。在△PBF和△PCM中,∴{∴△PBF≌△PCM(AAS),∴BF=CM。∵∵∠∴∠EPD+∠BPE=∠EPD+∠A=180°,∴∠AEP+∠ADP=180°。又∵∠AEP=∠BEF,∠ADP+∠CDM=180°,∴∠BEF=∠CDM。在△BEF和△CDM中,{∠BEF=∠CDM,∠17.解:(