培优专题01 直线与圆的方程（期末复习专项训练）（解析版）

2/24培优专题01直线与圆的方程题型1弦长问题与三角形面积问题（重点）题型9代数类：直线与圆中的韦达定理题型2圆的弦长最值与整数弦长（常考点）题型10跨模块：直线与圆结合平面向量题型3圆上点的距离分布：定距点个数（常考点）题型11几何意义最值：斜率型，距离与截距型题型4圆的最短路径问题/对称问题（难点）题型12定点问题：圆恒过定点题型5圆上动点距离：多图形关联最值（难点）题型13直线定点：直线过定点（常考点）题型6切点弦：方程推导与性质（常考点）题型14定值探究题型7两圆的位置关系：隐圆问题（难点）题型15定线推导题型8轨迹类：圆的轨迹方程推导题型16直线与圆的实际应用题型一弦长问题与三角形面积问题（共3小题）1．(25-26高二上·福建福州闽侯县第六中学·期中)已知l：ax+y−2=0与圆心为C的圆x−a2+y−32=4相交于【答案】±【来源】福建省福州市闽侯县第六中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题【分析】由题知Ca,3到直线l:ax+y−2=0的距离为3【详解】由题知圆心为C的圆x−a2+y−32=4因为△ABC为等边三角形，所以CA=CB=AB=2，所以，圆心Ca,3到弦AB的距离为3，即Ca,3到直线l:ax+y−2=0的距离为所以a2+3−2a2+1=所以实数a=±2故答案为：±2．(25-26高二上·江苏苏州·期中)过点P3,2的直线l与圆O:x2+y2=4相交于A，【答案】x−43y+73【来源】江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期中阳光调研数学试卷【分析】讨论直线的斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，结合弦长公式即可求出直线斜率，即可得答案.【详解】由题意知过点P3,2的直线l与圆O:x2+当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=3，代入x可得y=±1，即A,B坐标为3,1,3当直线l的斜率存在时，设方程为y−2=kx−3，即设圆心O到直线l的距离为d，则d=−由AB=2，圆的半径r=2可得2=2r2−d故−3k+2k故直线l的方程为143x−y−故答案为：x−43y+733．(25-26高三上·山西长治沁源县第一中学·)已知直线l：mx−y+4=0与圆C：x2+y−22=4交于A、B【答案】−2（从−2，【来源】山西省长治市沁源县第一中学2025-2026学年高三上学期8月开学摸底考试数学试卷【分析】由圆心坐标得到圆心到直线距离d。由垂径定理得到弦长AB与圆心到之间距离d的关系，利用三角形面积建立方程，从而解得圆心到直线距离d，然后即可解得m的值.【详解】圆心C0,2到直线l的距离d=由于弦长AB=24−d2，所以S△ABC故21+m2=455或2故答案为：−2（从−2，题型二圆的弦长最值与整数弦长（共3小题）4．已知直线x+ay+2a−1=0与圆C:x2+y2+4y−1=0交于A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【来源】第四节直线与圆、圆与圆的位置关系【分析】根据给定条件，求出直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长..【详解】直线x+ay+2a−1=0，即x−1+a(y+2)=0，令y+2=0，得x=1,y=−2，因此直线x+ay+2a−1=0过定点P(1,−2)，圆C:x2+(y+2)2|PC|=1，P点在圆内，由圆的性质知，当且仅当直线PC⊥AB时，|AB|取得最小值，所以|AB|故选：C5．(25-26高二上·天津咸水沽第一中学·月考)已知圆M的方程是x2+y2−8x−2y+10=0，则圆MA．x−2y−2=0 B．2x+y−14=0 C．x+y−8=0 D．2x−y−10=0【答案】B【来源】天津市咸水沽第一中学2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题【分析】求出圆心，当过点6,2的直线与过点6,2的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于−1可求直线方程.【详解】x2+y圆心4,1与(6,2)连线所在直线斜率为：k1因为62所以点6,2在圆内，所以当过点6,2的直线与过点6,2的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短.所以，最短弦所在的直线斜率k2满足k1由点斜式方程得，最短弦所在的直线为y−2=−2x−6整理得2x+y−14=0.故选：B6．(25-26高二上·重庆巴蜀中学校·期中)已知直线l:mx+y−m−1=0与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点，若A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题【分析】先分析直线l的特征，再结合圆的性质计算弦长AB（弦长AB=2r2−d【详解】将直线l的方程整理为：mx−1令x−1=0y−1=0，解得x=1y=1，因此直线l过定点因为圆O：x2+y2=4所以定点P到圆心O的距离为：dOP=(1−0)设圆心O到直线l的距离为dd≥0，则弦长公式：AB由于直线过定点P，则d≤d因此：d∈0,AB=24−d2∈22,4(因为AB为整数，结合范围22,4，可能的整数值为3、当AB=4时，d=0(直线过圆心)，将0,0代入直线0+0−m−1=0，得m=−1，对应1条直线；当AB=3时，由弦长公式3=24−d2，解得圆心O到直线l的距离d=−m−1m24(m+1)2=7m2此方程判别式Δ=64−36=28>0所以AB=4对应1条，AB=3对应2条，共故选：B.题型三圆上点的距离分布：定距点个数（共3小题）7．(25-26高二上·贵州贵阳华师一学校·期中)若圆C：x2+y−32=16上有且仅有3个点到直线l：y=−3x+mA．m=7或1 B．m=−7或1 C．m=−7或−1 D．m=−1或7【答案】D【来源】贵州省贵阳市华师一学校2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题【分析】根据给定条件，将问题转化为圆心C到直线y=−3x+m的距离为【详解】圆C：x2+y−32=16由圆C上有且仅有3个点到直线y=−3x+m的距离为2，得圆心C0,3到直线y=−则3×0+3−m32+1故选：D.8．(25-26高二上·山东潍坊诸城等3地·期中)已知圆C:x2+y2−4y+1=0，直线l:x−y+1=0，则圆C上到直线A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【来源】山东省潍坊市诸城市等3地2025-2026学年高二上学期期中质量监测数学试题【分析】先确定圆的圆心坐标与半径，再求出圆心到直线l:x−y+1=0的距离，从而可得结论.【详解】由C:x2+y2−4y+1=0，可得x2圆心C到直线l:x−y+1=0的距离d=0−2+1又r−d=3−22>22故选：D9．(25-26高二上·广东佛山顺德区实验中学、勒流中学等镇街学校·)已知圆M：x2+y2−2x+4y−4=0上恰有两个点到直线l：3x−4y+m=0A．(1,9) B．(0,9) C．(0,1) D．(1,10)【答案】B【来源】广东省佛山市顺德区实验中学、勒流中学等镇街学校2025-2026学年高二上学期11月联考数学试题【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】已知圆M：x2+y可得M圆心1,−2，半径r=3，设圆心到直线l的距离为d，要想圆M上恰有两个点到直线l的距离为1，只需满足2<d<4，即2<1×3−4×整理得：10<11+m<20，已知m是正数，可得解得−1<m<9，综合可得：0<m<9.故选：B题型四圆的最短路径问题/对称问题（共3小题）10．(25-26高二上·广东广州育才中学·期中)已知点P为直线y=x+1上的一点，M，N分别为圆C1:x−32+y−12A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【来源】广东省广州市育才中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】利用对称，求得C1关于直线y=x+1对称的点C3坐标，则PC1=PC3.对于直线y=x+1上任一点P到圆C1上的点的距离的最小值均为PC1【详解】由题知，两圆圆心为C13,1，设C1关于直线y=x+1对称的点C3a,b，则b−1a−3×1=−1对于直线y=x+1上任意一点P，到圆C1上的点的距离的最小值为P到圆C2上的点的距离的最小值为P又PC2+所以PM+PN的最小值为即PM+故选：C.

11．(25-26高二上·江西萍乡·期中)汉代初年成书的《淮南万毕术》记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”.这是中国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例.在平面直角坐标系xOy中，由点P3,5出发的一束光线经直线l:x−y−2=0反射后到达圆C:(x+1)2A．217−3 B．3+22 C．2【答案】A【来源】江西省萍乡市2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】作图，得到光线经过的路程，然后求P关于l对称的点P′【详解】如图，设光线由点P出发，经过直线l上的点F后反射后与圆C交于点G，∴光线经过的路程为PF+

设P′a,b是点P关于直线则5−b3−a×1=−13−5−212+1由对称性可知，PF=P′显然当P′,F,G,C四点共线时，此时P′故选：A.12．(24-25高二下·湖南长沙宁乡名校联合·)已知动点P在直线l:x−y−1=0上，点O是坐标原点，点Q是圆(x−3)2+(y+1)2=1A．2 B．52 C．3 【答案】C【来源】湖南省长沙市宁乡市名校联合2024-2025学年高二下学期入学检测数学试题【分析】求出点C关于直线l的对称点C'，把|PQ|的最大值转化为点P【详解】点P在直线l:x−y−1=0上，圆(x−3)2+(y+1)2=1的圆心C(3,−1)，半径r=1，而点Q因此(PQ−PO)max=r+(PC−则有b+1a−3=−1a+32−因此PC−PO=PC′−直线OC′方程为x=0，由x=0y=x−1，解得x=0y=−1，即直线x=0与直线所以当点P与P′重合时，(PC−故选：C题型五圆上动点距离：多图形关联最值（共3小题）13．(25-26高二上·江苏连云港海州区·期中)已知圆C:x−32+y2=16，Ax1,y1A．8−45 B．4+25 C．4−25【答案】D【来源】江苏省连云港市海州区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题【分析】设线段AB的中点为M，根据垂径定理得出点M的轨迹方程，再利用点到直线的距离公式将目标转化为求点M到直线x−2y+1=0的距离的2倍，进而求圆上的动点到定直线的距离的最值问题即可.【详解】如图，圆C:x−32+y2设线段AB的中点为M，得CM⊥AB，因AB=43，则所以点M的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，其方程为(x−3)2因x1−2y1+15、则x1−2y1+1+x又点3,0到直线x−2y+1=0的距离为3+15则点M到直线x−2y+1=0的距离的最大值为45则x1−2y则x1−2故选：D14．(25-26高二上·甘肃兰州大学附属中学·期中)已知实数x1,x2,y1,y2满足，A．22+1 B．22+8 C．【答案】B【来源】甘肃省兰州大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷【分析】根据给定条件，可得点A(x1,y1【详解】设A(x1,y1点A,B在以原点为圆心，2为半径的圆x2+y得cos∠AOB=OA⋅OB|取线段AB中点E，则OE⊥AB,OE=1，过A,E,B,O分别作直线x+y−4=0的垂线，垂足分别为A′,E′,|OO′|=41因此|=2⋅2|EE所以|x1+故选：B15．(25-26高二上·福建三明第一中学·月考)已知实数x1，x2，y1，y2满足x12+y1A．32+32 B．6+62【答案】D【来源】福建省三明第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题【分析】把问题转化为点到直线的距离求解.【详解】设OA=x1因为x12+y1又x1x2+y1y2=12所以△OAB为等边三角形.如图：

取AB中点为E，则OE=32，点E在以O分别过A,B,E做直线x+y−3=0的垂线，垂足分别为C,D,F.则2EF又EF≤所以AC+即x1+y1−3故选：D题型六切点弦：方程推导与性质（共3小题）16．(25-26高二上·甘肃白银靖远县联考·期中)已知⊙O:x2+y2=1，直线l:x+y−2=0,P为l上的动点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点为A，B.当A．x−2y−1=0 B．x+2y−1=0 C．x+y+1=0 D．x+y−1=0【答案】D【来源】甘肃省白银市靖远县联考2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】判断直线与圆的位置关系，由题意知OA⊥AP、OB⊥BP、AB⊥OP，则PO⋅所以当OP取最小值时PO⋅AB可取最小值，根据几何图形分析OP取最小值时的情况并求出最后利用两相交圆的公共弦的求法求出直线AB的方程.【详解】因为⊙O:x2+y2=1，点O到直线由题意知OA⊥AP,OB⊥BP,所以A，P，B，O四点共圆，且AB⊥OP，所以PO⋅AB=4当直线OP⊥l时，OPmin=2，PA所以直线OP:y=x，由y=x,x+y−2=0,解得所以以OP为直径的圆的方程为x−1x+y−1y=0两圆的方程相减得，x+y−1=0，即直线AB的方程为x+y−1=0.故选：D17．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知点P在直线x+y=4上，过点P作圆O:x2+y2=4的两条切线，切点分别为A，B则点A．10 B．210 C．310 【答案】A【来源】湖北省部分省级示范高中2024-2025学年高二上学期期中测试数学试题【分析】假设点Pa,b，求得以OP为直径的圆的方程，与已知圆O的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB过定点1,1【详解】设Pa,b，则a+b=4则以OP为直径的圆的方程为x−a与圆O的方程x2+y2=4又a+b=4，可得ax+4−ay−4=0，即可得x−y=04y−4=0，解得x=y=1，所以直线AB恒过定点N点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，MN=所以点M4,2到直线AB距离的最大值为10故选：A.18．(25-26高二上·河北沧州四校联考·期中)已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x−2y−5=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA，PB，A，B为切点，则四边形PACB的面积的最小值为【答案】6(【来源】河北省沧州市四校联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题【分析】将四边形的面积的最小值问题转化为原点到直线的距离最小值可得；再通过构造四边形的外接圆，两圆的方程相减得公共直线的方程，进而判断过定点可得.【详解】如图：

因为SPAOB=2SPAO=OA⋅PA所以只有OP最小时，四边形的面积有最小值，由点到直线的距离可得，OPmin=d=再设P(x0,y0)，则得圆的方程：(x−x02与x2+y2=2相减，得直线AB所以直线AB的方程为，(2y0+5)x+令5x−2=02x+y=0，得x=25故答案为：6；(2题型七两圆的位置关系：隐圆问题（共3小题）19．(25-26高二上·四川仁寿县铧强中学·)已知点P是直线l1:mx−y−5m+1=0和l2:x+my−5m−1=0的交点，点Q是圆C:(x+1)【答案】4−2【来源】四川省仁寿县铧强中学2025-2026学年高二上学期第二次教学质量检测数学试题【分析】分别找到直线l1、l2所过定点，求两直线垂直，从而得交点P的轨迹是以两定点的中点M(3,3)为圆心，以【详解】∵直线l1:mx−y−5m+1=0可变形为∴直线l1过定点A(5,1)同理l2:x+my−5m−1=x−1+my−5=0，则直线∵m=0时，直线l1:y=1，l2当m≠0时，k1∴直线l1但由于直线l1不可能为x=5，直线l2不可能为所以直线l1与直线l2的交点不包含∴直线l1与直线l2的交点P的轨迹是以AB的中点半径为r=12|AB|=2又∵圆C的圆心C(−1,0)，半径R=1，由于MC=∴|PQ|的最小值是|MC|−r−R=(3+1)

故答案为：4−220．(25-26高二上·福建厦门第一中学·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x−a2+y−a+22=1，点A0,−2，若圆C上存在一点M，满足【答案】1−【来源】福建省厦门第一中学2025-2026学年高二上学期数学期中考试数学试卷【分析】设Mx,y，根据题意求出M【详解】设Mx,y，因为A0,−2，O0,0，所以MA因为MA⋅MO=3所以点M的轨迹是以0,−1为圆心，2为半径的圆，因为点M在圆上，所以两圆必须相交或相切，所以1≤a−02+a−2+1故答案为：1−1721．(25-26高二上·江西景德镇·期中)在平面直角坐标系xOy中，已知O(0,0),M(3,0)，若圆(x−2)2+y2=r2上存在点P【答案】[1,5]【来源】江西省景德镇市2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题【分析】根据给定信息求出点P的轨迹方程，再由两圆有公共点列出不等式求解.【详解】设P(x,y)，由|PM|=2|PO|，得(x−3)2整理得(x+1)2+y2=4又点P在圆(x−2)2+y2=所以实数r的取值范围是[1,5].故答案为：[1,5]题型八轨迹类：圆的轨迹方程推导（共3小题）22．(25-26高二上·广东东莞七校·)已知圆C:(x−3)2+y2=9，D是圆C上的动点，点E(2,4)，若动点M满足A．(x−52)C．(x−5)2+(y−8)【答案】B【来源】广东省东莞市七校2025-2026学年高二上学期联考数学试题【分析】根据给定条件，可得E为线段DM中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程.【详解】设点M(x,y)，由DE=EM，得E为线段DM中点，则点而点D在圆C上，因此(4−x−3)2+(8−y)所以点M的轨迹方程为(x−1)2故选：B23．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·)已知圆C:x2+y2(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；(2)线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)±2(2)(x+3【来源】辽宁省大连王府高级中学2025-2026学年高二上学期第二学段考试数学试题【分析】（1）设直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）设点Mx,y,Bx0,再利用点B的坐标满足的关系式得到点M的坐标满足的条件，即可求出.【详解】（1）已知C的圆心是O0,0显然直线l斜率存在，设直线l斜率为k，则直线l方程是y=kx+3，即kx−y+3k=0则圆心到直线l的距离为3kk解得直线l的斜率k=±2（2）设点Mx,y由点M是AB的中点得x=x0−3因为B在圆C上运动，所以x0①代入②得，(2x+3)2化简得点M的轨迹方程是(x+324．(25-26高二上·天津益中学校·期中)已知圆C经过点A1,1，B2,−2，圆心C在直线(1)求线段AB的垂直平分线的方程；(2)求圆C的方程；(3)若点P4,1，Q是圆C上任意一点，线段PQ的中点为M，求动点M【答案】(1)x−3y−3=0(2)x+3(3)x−【来源】天津市益中学校2025-2026学年高二上学期期中阶段性学情调研数学试卷【分析】（1）利用中点在直线上和垂直直线的斜率关系，由点斜式可得；（2）待定系数法求解圆的方程；（3）相关点法求动点的轨迹方程.【详解】（1）线段AB的中点32,−1所以线段AB的垂直平分线的方程为y+12=（2）设圆C的方程为x−a2由题意可知2−a2+−2−b所以圆C的方程为x+32（3）设点M的坐标为(x,y)，点Q的坐标为x0因为点P的坐标是(4,1)，点M是线段PQ的中点，所以x=x即x0因为端点Q在圆C上运动，所以x0代入可得2x−4+32+2y−1+2因此线段PQ的中点M的轨迹方程为x−1题型九代数类：直线与圆的韦达定理（共3小题）25．(25-26高二上·山东济宁曲阜·期中)已知线段MN的端点M3,1，端点N在圆(x+1)2+(y−1)2(1)求轨迹方程E；(2)过点A−1,0的直线l与曲线E交于P,Q两点，若OP⋅OQ=1，其中【答案】(1)(x−1)(2)2【来源】山东省济宁市曲阜市2025-2026学年高二上学期11月期中检测数学试题【分析】（1）利用中点坐标公式将N点用MN的中点坐标和M点坐标表示出来，再利用代入法即可求出轨迹方程；（2）联立直线l与曲线E，利用韦达定理结合OP⋅OQ=1即可求出直线l【详解】（1）设MN的中点为Bx,y∵MN的中点为Bx,y，且M3,1，∴x=∵点N在圆(x+1)2∴x0+1化简得(2x−2)2所以E的轨迹方程为：(x−1)2（2）设Px由直线l过点A−1,0且与圆E有两个交点，所以直线l设直线l的方程为：x=my−1，联立直线l与圆E的方程x=my−1x−12+∴Δ=(4m+2)2−4×4由OP⋅OQ=1得x化简得m2将韦达定理代入可得m2+1⋅此时直线l的方程为：x−2y+1=0，由圆E的方程知，圆E的圆心坐标为1,1，半径为r=1，又在直线l的方程中，当x=1时，y=1，即直线l过圆心，所以PQ=2r=226．(25-26高二上·四川绵阳中学·)已知圆C经过点A(3,3)、B(2,4)，并且直线m:3x−2y=0平分圆C．(1)求圆C的方程；(2)过点D(0,1)，是否存在斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，使OM⋅ON=8【答案】(1)(x−2)(2)不存在，理由见解析.【来源】四川省绵阳中学2025-2026学年高二上学期第二次测试数学试题【分析】（1）设标准方程，两点代入方程，圆心带入直线联立求解（2）直线l的方程与圆联立，得到韦达定理，代入OM⋅ON=8解出答案，并由Δ【详解】（1）设圆C的标准方程为(x−a)2因为直线m:3x−2y=0平分圆C的面积，所以直线过圆心(a,b)，即3a−2b=0，则3a−2b=0(3−a)2+圆的方程为(x−2)（2）由题意直线l的方程为y=kx+1，联立y=kx+1(x−2)2+(y−3)2设Mx1,则Δ=16(1+k)2故x1+x而y1所以OM=k故有4k(1+k)1+k2+8=8，解得k=−1或27．(25-26高二上·安徽安庆第二中学·期中)已知圆O:x2+y2=1的圆心O与圆(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l:y=kx+12交圆O于A,B两点，点P0,2，证明：当k不断变化时，y【答案】(1)x+12(2)证明见解析.【来源】安徽省安庆市第二中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】（1）根据题意，分别求得圆O和圆C的圆心坐标和半径，结合圆心O与圆心C关于直线对称，列出方程组，求得a,b的值，即可求解；（2）联立方程组，得到k2+1x【详解】（1）由圆O:x2+y2=1，可得圆又圆C:x−a2+y−b2因为圆心O与圆心C关于直线2x+8y+17=0对称，得2×a2+8×所以圆C的标准方程为x+12（2）证明：设Ax1,y1联立方程组y=kx+12x则Δ=k2+3k则kPA所以当k不断变化时，y轴始终平分∠APB.题型十跨模块：直线与圆结合平面向量（共3小题）28．(25-26高二上·广东广州天天向上联盟·期中)已知A，B是圆C：x2+y2−2x−4y+1=0上的两点，且AB=2，点A．2 B．4 C．5−3 【答案】D【来源】广东省广州市天天向上联盟2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷【分析】设H为AB的中点，由OA+OB=2【详解】已知A、B是圆C：x2+y点O为坐标原点，由于x2+y故圆C的圆心为C1,2，半径为2，设H为AB的中点，则CH⊥AB结合AB=2，得到CH=22−12又OA+OB=2而OC=OH的最小值为5−则OA+OB的最小值为故选：D29．(25-26高二上·江苏南菁高级中学·)已知直线x+y−k=0k>0与圆x2+y2=4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有A．0,2 B．0,3 C．2,2【答案】C【来源】江苏省南菁高级中学2025-2026学年高二上学期数学周练6【分析】利用向量的运算法则，结合直线与圆相交可求解.【详解】设AB的中点为D，则OD⊥AB，因为OA+OB≥33因为OD2+1因为直线x+y−k=0k>0与圆x所以OD2<4，所以即1≤−k22故选：C.30．已知向量a，b，c满足|a|=3，|b|=3，a⋅(b−a)=3【答案】1【来源】四川省资阳市2026届高三第一次诊断性考试数学试题【分析】先求出a,b夹角为π6，设a,b,c起点为O，终点为A,B,C，画出示意图，由向量a−c与b【详解】由题意a⋅(代入|a|=3，|b|=3得cos如图所示在直角三角形OBD中，OD=23∠AOB=π令OA=a,∠ACB即为向量a−c与b−则点C在AB所对圆周角为π3的圆弧上，其圆心角为2如图所示，要使得|c|最小，显然在由于∠ABO=π6，则在OB上取BE=1，由于AB=3，由余弦定理可得AE=所以点E即为圆心，半径BE=1，则OCmin=OE−1=1，此时O,C,E共线且点C故|c故答案为：1.题型十一几何意义最值：斜率，距离，截距型（共3小题）31．(25-26高二上·山东济南振声学校·期中)【多选题】已知实数x,y满足方程x2+yA．点x,y到点2,0的距离为定值 B．y的最大值为2C．x2+y−12的最大值为5+【答案】ACD【来源】山东省济南振声学校2025-2026学年高二上学期期中学情检测数学试题【分析】整理可得点x,y的轨迹为圆，根据2,0为该圆圆心可知A正确；利用y2=3−x−22≤3可求得B错误；利用x【详解】对于A，由x2+y∴点x,y的轨迹是以2,0为圆心，半径r=3∴点x,y到点2,0的距离为该圆的半径，即定值3，A正确；对于B，∵y2=3−x−22≤3，对于C，x2+y−12的几何意义为点∵圆心2,0到点0,1的距离d=2−0∴x2+对于D，设x=2+3cosθ，y=x+y=2+3∵θ∈0,2π，∴当θ+π4=π2，即θ=故选；ACD.32．(22-23高二上·河北唐山迁安·期中)【多选题】已知实数x，y满足曲线C的方程x2+yA．y−x的最大值为6B．x2+C．yx的最大值为D．曲线C上恒有四个点到直线mx−y−2m=0的距离等于3【答案】AD【来源】河北省唐山市迁安市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷【分析】令y−x=z，t=x2+【详解】根据题意，方程x2+y表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，对于A，设y−x=z，即x−y+z=0，直线x−y+z=0与圆(x−2)2所以|2+z|1+1≤则z=y−x的最大值为6−2对于B，设t=x2+所以t的最大值为2+3故x2+y对于C，设k=yx，则kx−y=0，直线kx−y=0与圆则|2k|1+k2≤3，解得−对于D，直线mx−y−2m=0化为x−2m−y=0令x−2=0−y=0，解得x=2所以直线mx−y−2m=0过圆心(2,0)，则圆上的点到直线mx−y−2m=0距离的最大值为3，且直线与圆相交，因为3>所以曲线C上恒有四个点到直线mx−y−2m=0的距离等于32故选：AD.33．(25-26高二上·江苏无锡宜兴六校·期中)【多选题】已知实数x，y满足曲线C的方程x2+yA．x2+y2的最大值是9C．x+y的最大值是22+1 D．x−y+3【答案】AC【来源】江苏省无锡市宜兴市六校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷【分析】先将曲线C的方程化为标准方程，确定其几何图形，再根据不同选项的要求，结合圆的性质进行分析.【详解】曲线C的方程x2+y令t=x2+圆心1,0到原点的距离为d=1−0圆上的点到原点的最大距离为圆心1,0到原点的距离加上半径，即d+r=1+2=3，∴x2+y2设k=y+2x+2，其几何意义是圆上的点x,y与点则k=y+2x+2可化为y+2=kx+2∵直线与圆x2+y即k×1−0+2k−2k2+1≤2，化简得∴y+2x+2的最大值为125设t=x+y，则y=−x+t，其几何意义是直线y=−x+t在y轴上的截距，当直线y=−x+t与圆x−12+y圆心1,0到直线x+y−t=0的距离d=1+0−t1+1=r=2解得t=1+22或t=1−2∴x+y的最大值是22+1，设m=x−y+3，即y=x+3−m，其几何意义是直线y=x+3−m在y轴上的截距，当直线y=x+3−m与圆x−12+y圆心1,0到直线y=x+3−m的距离d=1−0+3−m1+1=r=2解得m=4+22或m=4−2∴x−y+3的最小值是4−22，故选：AC.题型十二定点问题：圆恒过定点（共3小题）34．(25-26高二上·海南天一联考·)已知圆C：x2(1)求实数m的值．(2)过直线l：x+y=0上的动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（ⅰ）当点P的坐标为2,−2时，求这两条切线的方程；（ⅱ）证明△PAB的外接圆过定点，并求出所有定点的坐标．【答案】(1)m=16(2)（ⅰ）x=2和3x−4y−14=0；（ⅱ）证明见解析，4,2，1,−1．【来源】海南省天一联考2025-2026学年高二上学期学业水平诊断（一）数学试题【分析】（1）将一般方程化为标准方程，由半径为2求出m的值即可；（2）（i）分类讨论，利用点到直线的距离公式求出切线斜率，从而求出切线方程；（ii）由题意，△PAB的外接圆是以为PC直径的圆，设Pt,−t【详解】（1）圆C的方程化为标准方程得x−42因为圆C的半径为2，所以20−m=22，得（2）（ⅰ）由（1）知圆心为C4,2，设过点P的切线为l当l′的斜率不存在时，l′方程为当l′的斜率存在时，设l′方程为y=kx−2利用点到直线的距离公式可得d=4k−2−2k−2k2所以l′的方程为34x−y−2×综上，这两条切线的方程分别为x=2和3x−4y−14=0．（ⅱ）因为PA，PB与圆C相切，所以PA⊥AC，PB⊥BC，所以P，A，B，C四点都在以PC为直径的圆上，即△PAB的外接圆必过的一个定点为C4,2设Pt,−t，则PC的中点为4+t2,以PC为直径的圆的方程为x−4+t整理可得x2由x2+y2−4x−2y=0,所以△PAB的外接圆过定点4,2，1,−1．35．(23-24高二上·北京第一六一中学·期中)已知圆C：x−a2+y2=1与直线y=−x−1交于M、N两点，点P为线段(1)求a的值及△MON的面积；(2)若圆C与x轴交于A、B两点，点Q是圆C上异于A、B的任意一点，直线QA、QB分别交l：x=−4于R、S两点.当点Q变化时，以RS为直径的圆是否过圆C内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)a=−2，S(2)过定点，−4+【来源】北京市第一六一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题【分析】（1）先确定直线的方程，联立直线方程求得点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得；根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设直线QA方程，含参表示直线QB方程，求出R,S坐标，从而求出以RS为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【详解】（1）由题意可知直线OP的方程为y=−1则联立y=−x−1与y=−13又因点P为线段MN的中点，所以可得MN⊥PC，即KMN·Κ由a=−2可知圆心C−2,0，所以C−2,0到直线y=又因圆C半径为1，根据勾股定理可求得MP=所以线段MN=2又因原点O到直线y=−x−1距离为d1=所以S△MON（2）由圆C与x轴交于A,B两点，得A−3,0不妨设直线QA的方程为y=kx+3，其中k≠0在直线QA的方程中，令x=−4，可得R−4,−k因为QA⊥QB，则直线QB的方程为y=−1在直线QB的方程中，令x=−4，可得y=3k，即点则线段RS的中点为F−4,3−k所以以线段RS为直径的圆的方程为x+42即x+42+y2−因此当点Q变化时，以RS为直径的圆恒过圆内的定点−4+3【点睛】解题的关键是设直线QA的方程为y=kx+3，则直线QB的方程为y=−1kx+1，由k表示的RS中点为F−4,3−k22k，圆的半径平方为3+36．(24-25高三上·云南师范大学附属中学·月考)古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数λλ>0, λ≠1的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点A到M−8,0的距离是点A到N−(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴的负半轴交于点B, O为坐标原点，若点A不在x轴上，直线AB, AO分别与直线l:x=1【答案】(1)x+2(2)以DE为直径的圆过定点2,0，或−1,0，理由见解析【来源】云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题【分析】（1）设Ax,y，由AM（2）求出B−4,0,O0,0，设Ax,yy≠0，直线AB, AO的方程分别为y=k1x+4k1≠0、y=【详解】（1）设Ax,y，由题意得AM即x+82+y所以曲线C的方程为x+22（2）以DE为直径的圆过定点2,0，或−1,0，理由如下，令y=0，可得x=0，或x=−4，所以B−4,0设Ax,yy≠0，直线AB, AO的方程分别为因为AB⊥AO，所以k2=−1由x=12y=k1x+4得可得DE的中点为12,9以DE为直径的圆的方程为x−1整理得x−1由x−122+y可得以DE为直径的圆过定点2,0，或−1,0.题型十三直线定点：直线过定点（共3小题）37．(24-25高二上·贵州九师联盟·)设A1,3，B4,0，C−3,3，D1,−3，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A(1)求圆Q的方程；(2)若圆Q上存在两个不同的点P，使得PA2+P(3)设斜率为k直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为k1，k2，且k1【答案】(1)x−2(2)20−8(3)证明见解析【来源】贵州省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月联考数学试题（人教B版）【分析】（1）首先分析圆Q只能过点A，B，D三点，再求出线段AB、线段AD的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程；（2）设Px,y，根据PA2+PC2=2λ，得到x+12+y−3（3）设直线l的方程为y=kx+m，Ex1,y1【详解】（1）若圆Q经过A，C，则圆心必在AC的垂直平分线x=−1上，不合题意；又A1,3与D1,−3关于x轴对称，圆心在x轴的正半轴上，所以圆Q只能过点A，因为kAB=31−4=−所以线段AB的垂直平分线的方程为y−32=又线段AD的垂直平分线的方程为y=0，联立方程组3x−y−23=0,所以圆心为Q2,0，半径为QB=4，所以圆Q的方程为（2）设Px,y，因为P所以x−12化简得x+12+y−则点P在以M−1,3为圆心，λ−4为半径的圆上，依题意该圆M与圆又MQ=则λ−4−2<23（3）设直线l的方程为y=kx+m，Ex1,y由y=kx+mx−22+所以x1+x所以k=k2+所以直线l方程为y=kx+2，令x+2=0y=0，解得x=−2y=0，即直线l38．(25-26高二上·四川绵阳南山中学·期中)已知平面上两定点A4,0和B1,0，动点M满足|MA||MB|=2，记点(1)求曲线C的方程；(2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线l:x=32交于点N，证明：(3)若点P、Q在曲线C上，点S2,2满足直线PS、QS的斜率之积为−2，试问直线PQ是否过定点，若直线PQ【答案】(1)x2(2)证明见解析；(3)23【来源】四川省绵阳南山中学2025-2026学年11月高二上学期期中考试数学试题【分析】（1）根据两点间的距离公式可得曲线C的方程；（2）设直线联立得出韦达定理结合弦长公式计算证明；（3）设直线PQ为x=ty+n及y=y0，结合斜率之积计算得出【详解】（1）设Mx,y,因为A4,0B1,0，MA所以x−42+y所以曲线C的方程为x2（2）设直线DB为x=my+1，直线DB与曲线C交点为x1联立x=my+1所以m2+1yD、B两点的弦的中点M的纵坐标为−mm联立l:x=32与x=my+1，所以N的纵坐标为|BM|·|BN|=所以|BM|·|BN|恒为定值1（3）设直线PQ为x=ty+n，Px联立x=ty+nx所以t2所以y3又因为点S2,2满足直线PS、QS所以y3所以y3所以y3即得1+2t化简得3n所以2n−2所以2n−2−2当2n−2−2t−n=0时，即n=23当2n−2+2直线PQ为x=ty+2+2t,x=ty+2+当直线PQ为y=y0，Px3,y0所以y0−2即得3y02−22综上，直线PQ过定点23

39．(25-26高二上·甘肃庆阳华池县第一中学·期中)已知圆O：x2+y2=4交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O(1)若点N（0,2）(2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由．【答案】(1)M(2)过定点（【来源】甘肃省庆阳市华池县第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组x2+y（2）设P（4,t），由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和t=0、t【详解】（1）∵点N0,2,A−2,0，∴直线AN令x=4，则P（4,6）．又B（2,0由y=3（x−2）及x（2）设P（4,t），∵点A（−2,0由y=t6x+2及x∵点B（2,0），∴直线BM由y=t2x−2及x当直线MN垂直于x轴时，则72−2t236+N1,3,M1,−3或N当t=0时，M（−2,0）,N（故若直线MN过定点，则该定点为C（当t2=12时，直线MN的方程为x=1，显然过点当t2≠12时，kMC∴kMC=kNC，∴M，N，C三点共线，即直线题型十四定值探究（共3小题）40．(25-26高二上·山东泰安宁阳县复圣中学·期中)已知圆C的圆心在y轴上，且过3,4，22(1)求圆C的标准方程；(2)过直线l:x−y+2=0上且在圆C外的一点Q作圆C的两条切线，切点分别为M、N，当点M的坐标为0,1时，求点N的坐标.(3)已知点A0,2，点B在y轴上且异于点A，动点P在圆C上，当PAPB为定值时，求点【答案】(1)x(2)N(3)0,−【来源】山东省泰安市宁阳县复圣中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题【分析】（1）借助待定系数法计算即可得；（2）由题意可先求出过点M的切线方程，则可联立直线l得到点Q坐标，再以Q为圆心，QM为半径作圆，求出该圆与圆C的交点坐标即可得解；（3）设Px,y，B0,t，PAPB=k，则可借助两点间距离公式得到与y、【详解】（1）设圆C的标准方程为x−a2由圆C的圆心在y轴上，则a=0，由圆C过3,4，22则有32+4−b即圆C的标准方程为x2（2）圆C:x2+则过点M0,1的切线与y轴垂直，即为y=1对l:x−y+2=0，令y=1，则x=y−2=−1，即Q−1,1以Q−1,1为圆心，QM=1为半径作圆，即为则M、N为该圆与圆C的两个交点，x+12+y−12=1由M0,1，故N

（3）设Px,y，B0,tt≠2，则x设PAPB=k>0，则由PA2PB2则4y−3=k整理得8−2tk则需8−2tk2−4=0k2即有k2由t≠2，则2t+1=0，即t=−12，则k2即方程组8−2tk2−4=0即点B的坐标为0,−1

41．(25-26高二上·广东广州广东实验中学·期中)已知点Px0,y0为圆A:x−22(1)求点Q的轨迹方程；(2)已知点C5,8，求QB(3)若过点B的直线与点Q的轨迹交于E，F两点，试问在x轴上是否存在点Mm,0，使ME⋅MF【答案】(1)x(2)138(3)存在，点M1,0，定值为【来源】广东省广州市广东实验中学2025-2026学年高二上学期期中数学试题【分析】（1）设Qx,y，利用对称关系把点P的坐标用x,y（2）利用两点间距离公式整理QB2+QC（3）设出直线方程，联立圆的方程消去y，利用韦达定理代入化简ME⋅【详解】（1）设Qx,y，因为点Q是点P关于点B所以x+x02=1y+y0所以2−x−22+−y2=4（2）易知QB=−12x−16y+98=−43x+4y令z=3x+4y，则y=−314z可视为直线y=−3所以3x+4y的最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距，由直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径可得d=z5=2所以3x+4y的最小值为−10，因此QB2（3）存在点M1,0，使得ME⋅MF理由如下：当直线l斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为y=kx−1由x2+y2=4设Ex1,y1又ME=x1则ME==1+要使上式恒为定值，需满足m2−2m−2=m此时M1,0，ME⋅MF

42．(25-26高二上·山东烟台芝罘区·期中)已知圆M过点P(0,1)，且与圆N:(x−1)2+(y−4)2(1)求圆M的方程；(2)经过点C(2,3)的直线l与圆M交于A，B两点，直线l不经过圆心M，过点A，B分别作圆M的切线，两切线交于点D，求证：点D在一条定直线上；(3)设r=6，已知点E为圆N上任意一点，过点E作圆M的一条切线，切点为F，是否存在一定点Q，使得EF2EQ2【答案】(1)x2(2)证明见解析；(3)存在，Q(−1,−4)，定值为12【来源】山东省烟台市芝罘区2025-2026学年高二上学期期中学业水平诊断数学试题【分析】（1）设Mx（2）设Ax1,y1,Bx2,（3）假设存在点Q(m,n)满足题意，再利用两点距离公式得到方程，最后因为分解即可得到方程组，解出即可.【详解】（1）因为圆M和圆N关于直线2x+8y−17=0对称，所以点M和点N关于直线2x+8y−17=0对称，且两圆半径相等．由题知，N(1,4)，设Mx则有y0−4x0−1所以，圆M的方程为x2又因为点P(0,1)在圆M上，所以r=1，所以圆M的方程为x2（2）设Ax则OA=由已知得，OA⊥AD，所以OA⋅即x1a−x又因为x12+y1所以直线AB的方程为ax+by=1，又因为点C(2,3)在直线AB上，所以2a+3b=1．故点D恒在定直线2x+3y=1上．（3）设E(x,y)，则有(x−1)2即x2若存在点Q(m,n)，使EF2EQ2为定值，设EF2EQ又因为EF2所以x2整理得(1−k)x所以(1−k)(2x+8y+19)=km即(2−2k+2mk)x+(8−8k+2nk)y+18−19k−km要使EF2EQ2解得m=−117n=−故当点Q−117,−417时，题型十五定线推导（共3小题）43．(25-26高二上·四川成都第七中学·月考)动圆C：x2+y2+λx+λy−λ+1=0(1)证明：动圆C必过两定点，并求出这两点坐标；(2)求AB的最小值；(3)是否存在一条定直线，在其上任取点K，无论λ为何值，都有KA⋅【答案】(1)(1,0)或(0,1)；(2)43(3)存在，3x+6y−5=0.【来源】四川省成都市第七中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题【分析】（1）将圆的方程整理得x2+y（2）求出圆x2+y2+λx+λy−λ+1=0λ∈R的圆心坐标和半径r，求圆心到直线l的距离为d，使用公式AB=2r2（3）设定A(x1,2x1)，B(x2,2x2)，【详解】（1）x2整理得x2由x2+y2−1=0即动圆C恒过两定点的坐标为(1,0)或(0,1).（2）由圆的方程x2圆C的圆心坐标为C(−λ圆C的半径为r=1则圆C的圆心到直线l：y=2x的距离为d=2⋅(−所以A,B两点间的距离AB=2整理得AB=2设t=920λ故tmin所以ABmin（3）设A(x1,2将直线y=2x代入圆x2得x2整理得5x2+3λx−设K(m,n)，则KA=(x1则有KA⋅整理得KA⋅即有KA⋅整理得KA⋅因为无论λ为何值，都有KA⋅则令35(m+2n)−1=0，KA⋅故存在定直线x+2y=53，即3x+6y−5=0，其上任意点

44．(25-26高二上·四川成都双流区立格实验学校·期中)已知⊙O：x2+y2=9与x轴分别相交于A,B两点，过点F−1,0的直线(1)当MN=42时，求直线(2)当△OMN的面积S△OMN取得最大值时，将⊙O沿x轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点Q，使平面ONQ与平面BMN的夹角的余弦值为105？若存在，求出点(3)若直线MA与直线BN相交于点T，判断点T是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由．【答案】(1)x=−1(2)Q(3)答案见解析【来源】四川省成都市双流区立格实验学校2025-2026学年高二上学期半期质量监测数学试题【分析】（1）设l:x=my−1，利用圆心到直线的距离公式和圆心、弦长列式求解即可；（2）利用面积公式求解可得，当m=0时，S△OMN取得最大值，建立空间直角坐标系，设Q0,3cosθ,3sin（3）联立直线与圆的方程，利用韦达定理及斜率公式，求出两直线的方程，联立直线方程可得T在定直线x=−9上.【详解】（1）由题意得直线l的斜率不为0，设l:x=my−1，即x−my+1=0，圆心到直线的距离为d=1又MN=4所以d2=9−8=1，所以d=1所以直线l的方程为x=−1.（2）由题意得直线l的斜率不为0，设l:x=my−1，即x−my+1=0，由（1）知MN=29−dS△OMN令9m2+8所以S△OMN又t≥22，y=t+1t所以当t=22时，t+1t取得最小值为924此时9m2+8建立空间直角坐标系，如图，则M(0,−1,22)，N(22所以BM=(0,−4,22)设平面BMN的法向量为m=(BM⋅m=−4设Q0,3cosθ,3所以ON=(22,−1,0)设面ONQ的法向量为n=(ON⋅n=2设平面ONQ与平面BMN的夹角为α，cosα=解得cosθ=0，所以Q（3）A−3,0,B3,0，设M由题意得直线l的斜率不为0，设l:x=my−1，所以x=my−1x可得m2所以y1+ykAM=y1xkBN=y2x联立方程①②可得x+3=m可得x=−9，所以点T在定直线x=−9上.45．(25-26高二上·河南天一大联考·)已知点O0,0，Q2,0，动点P满足PO2+PQ(1)求曲线C的方程，并判断C的形状．(2)已知过点O且不与坐标轴重合的直线l1与曲线C相交于A，B①过点O作与l1垂直的直线l2，与曲线C相交于E，F两点，求四边形②设曲线C与x轴相交于M，N两点，直线MA与NB相交于点G，证明点G在定直线上，并求出该直线的方程．【答案】(1)x−12+y2=4(2)①7；②证明见解析，x=−3【来源】河南省天一大联考2025-2026学年高二上学期阶段性测试（一）数学试卷（北师大版）【分析】（1）设Px,y，根据两点距离公式代入等式中进行化简即可得到曲线C（2）①先求出直线l1,l2与圆相交的弦的长，然后根据四边形的面积公式列