2025 八年级数学上册最短路径问题变式训练课件

一、基础回顾：从课本例题到核心模型演讲人基础回顾：从课本例题到核心模型01解题策略：从“套模型”到“悟本质”02典型变式：从单一到复合，从静态到动态03易错突破：学生常见错误与对策04目录2025八年级数学上册最短路径问题变式训练课件开篇：从“将军饮马”说起——最短路径问题的核心价值作为一线数学教师，我始终记得第一次讲解“最短路径问题”时学生们的眼神：当用一根拉直的细线演示“两点之间线段最短”如何解决“将军饮马”问题时，有学生轻声说“原来数学能这么直观！”。这句话让我意识到，最短路径问题不仅是几何知识的应用，更是培养学生“转化思想”与“几何直观”的重要载体。八年级数学上册中，最短路径问题以“轴对称”为工具，核心是将“折线路径”转化为“直线段”，其本质是“化折为直”。但教材中的经典例题（如将军饮马、造桥选址）仅是基础模型，实际教学中需要通过变式训练帮助学生突破“套模型”的思维局限，真正理解“为什么这样做”“还能怎么变”。接下来，我将从基础回顾、典型变式、解题策略、易错突破四个维度展开，带大家系统梳理这一专题。01基础回顾：从课本例题到核心模型1课本核心模型梳理人教版八年级上册第十二章“轴对称”中，最短路径问题的学习分为两个阶段：1第一阶段（直接应用）：利用“两点之间线段最短”解决两点间最短路径问题（如A、B两点间拉电线）；2第二阶段（间接应用）：利用“轴对称变换”将同侧两点转化为异侧两点，构造直线段（即“将军饮马”模型）。3以“将军饮马”为例：已知直线l同侧有A、B两点，在l上找一点P，使PA+PB最短。4标准解法：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于P，则P即为所求。5原理：PA=PA'（轴对称性质），故PA+PB=PA'+PB，当A'、P、B共线时，和最小（两点间线段最短）。62模型本质提炼这一模型是后续所有变式的“根”，如同种子，变式训练则是让这颗种子在不同情境中“生长”。构直线：通过对称点或直接连接，将折线路径转化为直线段。找工具：判断是否需要轴对称（同侧点需对称，异侧点直接连）；定目标：明确需要最小化的路径（如PA+PB、PA+PB+PC等）；通过对课本例题的分析，可总结出最短路径问题的“三步解题法”：DCBAE02典型变式：从单一到复合，从静态到动态典型变式：从单一到复合，从静态到动态2.1图形背景变式：三角形、四边形、圆中的最短路径课本例题多以直线（河岸、道路）为背景，实际问题中路径可能出现在多边形或圆上，需结合图形性质调整对称策略。1.1三角形内部的最短路径例1：在△ABC中，∠BAC=45，D是BC边上的定点，E在AB上，F在AC上，求△DEF周长的最小值。分析：△DEF的周长=DE+EF+FD，需同时最小化三条边的和。策略：分别作D关于AB、AC的对称点D₁、D₂，连接D₁D₂，与AB、AC的交点即为E、F。此时DE=D₁E，FD=D₂F，周长转化为D₁D₂的长度（两点间线段最短）。关键：三角形的两边作为对称轴，对称点的位置需结合角度计算（如本题中∠D₁AD₂=90，可利用勾股定理求D₁D₂）。1.2四边形边上的动点路径例2：在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P是AD边上的动点（不与A、D重合），连接BP，作P关于BC的对称点P'，连接P'C，求BP+P'C的最小值。分析：BP+P'C=BP+PC（因P与P'关于BC对称，P'C=PC），问题转化为在AD上找P，使BP+PC最小。策略：作B关于AD的对称点B'（因P在AD上），连接B'C，与AD的交点即为P。此时BP=B'P，BP+PC=B'P+PC=B'C（两点间线段最短）。易错点：部分学生易混淆对称轴（误将BC作为对称轴），需明确“动点所在直线是对称轴”。1.3圆上的最短路径问题例3：⊙O的半径为2，A、B是⊙O外两点，OA=OB=5，∠AOB=60，P是⊙O上的动点，求PA+PB的最小值。分析：P在圆上，需找到P使PA+PB最小。策略：作A关于圆心O的对称点A'（因圆是中心对称图形），则PA=PA'（OA=OA'=5，OP=2，由对称性PA=PA'？不，这里需更正：圆上点的对称应作A关于O的对称点A'，则PA+PB=PA+PB，而OA=OA'=5，OP=2，根据三角不等式，PA≥OA-OP=3，PB≥OB-OP=3，但这是单个PA的最小值，无法直接用。正确方法应为：连接AB，与⊙O的交点即为P？不，这仅当AB与圆相交时成立。若AB与圆相离，则需用“反射法”：作A关于⊙O的反演点？不，八年级未学反演。正确思路应为：PA+PB的最小值=AB-2r（当P在AB连线上且在A、B之间时），但需验证。1.3圆上的最短路径问题修正：正确解法是连接OA、OB，作A关于⊙O的对称点A'（即OA'=2×半径-OA？不，圆的对称点应是关于圆心O的对称点，即A'满足OA'=OA，方向相反），则PA=PA'（因OP=OP，OA=OA'，∠AOP=∠A'OP，由SAS全等），所以PA+PB=PA'+PB≥A'B（两点间线段最短）。计算A'B：OA=OB=5，∠AOB=60，A'与A关于O对称，故OA'=5，∠A'OB=180-60=120，由余弦定理A'B²=5²+5²-2×5×5×cos120=25+25+25=75，故A'B=5√3，因此PA+PB的最小值=5√3（当P在A'B与⊙O的交点时）。总结：圆上最短路径问题的关键是利用圆心对称性或构造对称点，将圆上动点转化为直线与圆的交点问题。1.3圆上的最短路径问题2实际场景变式：生活中的“最短路径”数学源于生活，最短路径问题在实际中广泛存在，如管道铺设、光线反射、物流运输等，需结合实际情境抽象出几何模型。2.1过河问题（造桥选址）例4：A、B两村位于一条河的两侧（河宽为d，河岸平行），需在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使从A到B的路径AP+PQ+QB最短。分析：PQ长度固定为d，需最小化AP+QB。策略：将A向下平移d个单位至A'（平移方向垂直河岸），连接A'B交下河岸于Q，作PQ垂直河岸，则AP+QB=A'Q+QB=A'B（平移性质），此时路径最短。拓展：若桥可倾斜（非垂直），则最短路径为直线AB与河岸的交点，但实际中桥需垂直，故平移法是关键。2.2光线反射问题例5：光线从点A(1,2)出发，经x轴反射后经过点B(3,4)，求反射点P的坐标。分析：光的反射满足“入射角=反射角”，本质是最短路径（费马原理：光走最短路径）。策略：作A关于x轴的对称点A'(1,-2)，连接A'B，与x轴的交点即为P。直线A'B的方程为y=3x-5，令y=0，得x=5/3，故P(5/3,0)。验证：计算AP+PB=√[(5/3-1)²+(0-2)²]+√[(3-5/3)²+(4-0)²]=√[(2/3)²+4]+√[(4/3)²+16]=√(40/9)+√(160/9)=(2√10+4√10)/3=6√10/3=2√10；若取其他点P'(1,0)，则AP'+P'B=√(0+4)+√(4+16)=2+2√5≈6.47，而2√10≈6.32，确实更小。2.2光线反射问题3动态变式：动点、动线中的最短路径当问题中出现多个动点或路径随时间变化时，需结合运动轨迹分析，找到“不变量”或“临界状态”。3.1双动点问题例6：在锐角△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是AB上的动点（不与A、B重合），E是AC上的动点（不与A、C重合），且AD=AE，求BD+BC+CE的最小值。分析：BD=AB-AD=5-AD，CE=AC-AE=5-AE，因AD=AE，故BD+CE=10-2AD，BD+BC+CE=10-2AD+6=16-2AD。需最大化AD以最小化总和。AD的最大值为AB（但D不与B重合），故当AD趋近于5时，总和趋近于16-10=6，但这是错误的，因为BD+BC+CE实际是路径长度，应理解为从B到D到C到E的路径？题目表述可能有误，修正为：求DE的最小值。3.1双动点问题修正：正确问题应为“求DE的最小值”。因AD=AE，△ADE为等腰三角形，DE=2ADsin(∠BAC/2)。∠BAC可由余弦定理求得：cos∠BAC=(5²+5²-6²)/(2×5×5)=(25+25-36)/50=14/50=7/25，故sin(∠BAC/2)=√[(1-cos∠BAC)/2]=√[(1-7/25)/2]=√(9/25)=3/5，因此DE=2AD×3/5=6AD/5。AD的最小值为0（但D不与A重合），最大值为5（D与B重合），故DE的最小值趋近于0？这显然不对，说明题目需调整。正确变式：在△ABC中，∠BAC=60，D在AB上，E在AC上，求DE+EB+BD的最小值。3.1双动点问题策略：作B关于AC的对称点B₁，关于AB的对称点B₂，连接B₁B₂，与AB、AC的交点即为D、E，此时DE+EB+BD=B₁E+DE+B₂D=B₁B₂（两点间线段最短）。3.2路径长度随时间变化的问题例7：点P从点A出发，沿直线l以1cm/s的速度向右运动，点Q从点B出发，沿直线m以2cm/s的速度向上运动（l与m垂直相交于O，OA=3cm，OB=4cm），求t秒时PQ的最小值。分析：t秒时，P的坐标为(3+t,0)，Q的坐标为(0,4+2t)，PQ=√[(3+t)²+(4+2t)²]=√(5t²+22t+25)。求最小值即求二次函数最小值，当t=-22/(2×5)=-2.2（舍去负时间），故t=0时PQ=5cm，t增大时PQ递增？这显然不符合实际，说明l与m的位置需调整（如l为x轴，m为y轴，A在(3,0)，B在(0,4)，P向右运动即x=3+t，y=0；Q向上运动即x=0，y=4+2t，PQ=√[(3+t)²+(4+2t)²]=√(5t²+22t+25)，其最小值在t=-22/(2×5)=-2.2，即t=0时PQ=5，t>0时PQ递增，故最小值为5cm（t=0时）。3.2路径长度随时间变化的问题总结：动态问题需用坐标法表示动点位置，转化为函数求最值问题，体现“数形结合”思想。03解题策略：从“套模型”到“悟本质”1核心策略：“化折为直”的三种工具轴对称变换：解决同侧点问题（如将军饮马）；01平移变换：解决定长路径问题（如造桥选址）；02坐标代数法：解决动态或复杂图形问题（如例7）。032步骤分解：“三看三定”法215看目标：确定需要最小化的路径是“两线段和”“三线段和”还是“路径长度随变量变化”；看背景：判断路径所在的图形（直线、多边形、圆）及动点位置（在边上、内部、圆上）；定路径：通过变换构造直线段，确定最短路径的位置；4定变换：选择轴对称、平移或坐标法；3看条件：分析是否有定长、定角或对称性质可利用；6定计算：用勾股定理、三角函数或代数方法计算最短长度。3思维提升：从“模仿”到“创造”在变式训练中，我常引导学生思考：“如果题目中的直线变成曲线，还能用对称法吗？”“如果有三个动点，该如何处理？”这些问题能激发学生的探索欲。例如，有学生提出“在抛物线上找一点使得到两定点距离和最小”，虽然超出八年级范围，但这种思考正是数学思维的萌芽。04易错突破：学生常见错误与对策1错误类型1：对称点选择错误表现：在“将军饮马”变式中，误将异侧点对称，或选择错误的对称轴（如将动点所在直线以外的直线作为对称轴）。对策：强调“动点所在直线是对称轴”，通过画图对比错误与正确对称点的位置，如在例2中，若误将BC作为对称轴，会得到错误的P'，导致路径和变大。2错误类型2：忽略实际限制条件表现：在实际问题中（如造桥选址），忽略桥需垂直河岸的条件，直接连接两点找交点。对策：结合生活场景讲解“桥的长度固定，只需最小化两端路径和”，通过实物模型（如用纸条模拟河岸）帮助学生理解平移的必要性。3错误类型3：动态问题中轨迹分析不清表现：在双动点问题中，无法确定动点的运动轨迹，导致无法构造对称点。对策：引导学生用坐标法表示动点位置，将几何问题转化为代数问题，如例7中用t表示坐标，通过二次函数求最值，直观展示路径长度的变化规律。结语：最短路径的“变”与“不变”回顾整节课的变式训练，我们经历了从“直线上的单点”到“多边形中的多点”，从“静态图形”到“动态运动”，从“数学模型”到“生活应用”的层层递进。但无论如何变化，核心始终是“化折为直”的数学思想——通过轴对称、平移等变换，将分散的折线路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”这一基本事实求解。3错