不等式性质的应用

1/1不等式性质的应用灵活运用不等式的性质，对快速、准确地解题至关重要，下面通过几个例子看看不等式的性质在解题中的应用.一、不等式变形例1 根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）4x>3x+6；（2）﹣2x<4；（3）5x>10；（4）x﹣3<7.分析：根据不等式的特点适当地选用不等式的性质对所给不等式进行变形，对于不等式（1）、（4）运用性质1进行变形；对于不等式（2）运用性质3进行变形；对于不等式（3）运用性质2进行变形.解：（1）由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都减去3x，不等号的方向不变，所以4x﹣3x>3x+6﹣3x，即x>6；（2）由不等式的基本性质3可知，不等式的两边都除以﹣2，不等号的方向改变，所以eq\f(-2x,-2)>eq\f(4,-2)，即x>﹣2；（3）由不等式的基本性质2可知，不等式的两边都除以5，不等号的方向不变，所以eq\f(5x,5)>eq\f(10,5)，即x>2；（4）由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上3，不等号的方向不变，所以x﹣3+3<7+3，即x<10.点评：解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式上的差别，从而适当选用不等式的性质进行变形，在运用中一定要注意不等式的基本性质3，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.二、判断正误例2判断正误：（1）若m>n，则mz>nz；（2）若m>n，则mz2>nz2；（3）若m+z>n+z，则m>n；（4）若mz2>nz2，则m>n.分析：解这类题的关键是对照不等式的基本性质，观察和分析从条件到结论到底运用了哪一个性质，运用不等式的基本性质的条件是否具备.解：（1）是在m>n两边同乘以z，而z是什么数并没有确定，若z>0，由不等式的基本性质2知，mz>nz；若z<0，由不等式的基本性质3知，mz<nz；若z=0，mz=nz，故（1）是错误的；（2）当z=0时，mz2=nz2，故（2）是错误的；（3）由不等式的基本性质1知，不等式的两边同减去z，不等号方向不变，知（3）正确；（4）是在mz2>nz2两边同除以z2，而z2>0，由不等式的基本性质2知（4）是正确的.点评：不等式两边同乘以一个字母或代数式时，要分三种情况讨论，即大于0或小于0或等于0三种情况.三、确定不等式成立的条件例3根据不等式的基本性质，写出下列不等式成立时m应满足的条件：（1）由a>b，得到am<bm；（2）由a>b，得到am≥bm；（3）由a<b，得到am2<bm2.分析：本题是不等式的基本性质的逆用，即根据结论，补充已知，由于所给出的不等式中均为字母，更要注意字母的正负与不等号方向之间的关系.解：（1）由a>b得到am<bm，是在不等式两边同乘以m得来的，而不等号方向改变了，根据不等式的基本性质3知m<0.（2）由a>b得到am≥bm，是在不等式两边同乘以m得来的，而不等号方向没改变，根据不等式的基本性质2知m≥0.（3）由a<b得到am2<bm2，是在不等式两边同乘以m2得来的，而不等号方向没变，根据不等式的基本性质2知m2>0，但因任意一非零数的平方一定是正数，所以只需m≠0.点评：对于给出的不等式，逆用不等式的基本性质进行推理，判断一组新不等式是否成立，也是中考中常考题型之一.在解题过程中一定要注意“≥”“≤”号中不要忘记取“=”.四、比较大小例4数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，试比较bc，ab，ac，a+b的大小.分析：由数轴上对应点的位置，可以确定a、b、c之间的大小关系及正负性，再根据不等式的基本性质逐一进行比较.解：由图知﹣2<c<﹣1<0<b<1<a.所以|b|<|c|.因为b>0，a>0，根据不等式的基本性质1，得a+b>a.因为0<b<1，a>1，所以ab<a.因为c<a，根据不等式的基本性质2，得bc<ab.因为a>b，c<0，根据不等式的基本性质3，得ac<bc.所以ac<bc<ab<a+b.