湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

襄阳四中2024级高二上学期12数学试题8540分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

，b(2,

，若a//b，则 A. B.

C.

双曲

1的渐近线方程为 y B.yy2

y1

4

4C.k 已知圆Cx2y22xmy10mRx2y10对称，圆C x22y3216，则圆C与圆C的位置关系是 A.内 B.相 C.外 D.外P、Q分别为6x8y200与6x8y50PQ的最小值为（ B.

C. D.(x1)2已知动点P(x,y)满足 x4(x1)2A. B.椭 C.双曲 D.抛物:A.1或 B.2或 C.1或 D.2或 PAGEPAGE2页/5y22pxp0F的直线l（斜率为正）MN两点（M在第一象限P

3,

6，则F到抛物线的准线的距离为 A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求下列命题的是（B.ABABC.ABABD.PABCDPAABCDPA2AB1MPC上，则（）PABCD的外接球表面积为BMDM的最小值为MDM2M2已知椭圆C

Px,y

的是 x

P的坐标为(4737 Pxyy22pxp0Pxy到点p0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

1的焦距 44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量→abcabc0Px,yz，点 xx0yy0zz02若平面αP，且以uP是平面α axx0byy0czz00.α的方程为xy2z70，直线lx2y30xz10的交线，则直线l与平面α xy0xy6xy

(x(x3)2(y四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（2）若直线l经过点24，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为A“得到的点数为偶数”B“得到的点数不大于4”，记事件C“得到的点数为质数”．PABCPAPBPC连续抛掷3Eii123为第iAB发生，求连续抛掷3AB只发生1次的概率．已知双曲线C

1b0M，离心率为3A，B是C求CMAMB0（MABABCC1BD CDAC平面CBD 若CABCDABCD的对角线交点，且CCBCCDBCD60 求平面C1BCABCD如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，平面内给定圆Cx12y21和直线lx2OC和直线lA、B,在射线OA上M满足OMAB求蔓叶线M在蔓叶线mxny1m2n20与蔓叶线Pi123,记直线OP的k 线OPC交于点Qxyxy0kkk2111的值 i

xxxax3bx2cxd0xxxb xxxxxxc,xxxd

1 2 3

12 PAGE1PAGE1页/21襄阳四中2024级高二上学期12数学试题8540分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合(2,abA.【答案】C.D.【分析】根据空间向量平行的性质进行求解即可【详解】因为 ，所以2 8k4a/

双曲

1的渐近线方程为 y B.yy2

y1【答案】

x2

0可得

x2

1

x2

0，即y x

4

4k PAGEPAGE2页/21【答案】【分析】由两点斜率公式可求解斜率，进而得1tanα1

1

2kPAklkPB，即1kl10απ3παπ 倾斜角α的取值范围是0π3π,π 4

BCD错误，A正确，已知圆Cx2y22xmy10mRx2y10对称，圆C x22y3216，则圆C与圆C的位置关系是 A.内 B.相 C.外 D.外【答案】【分析】先根据对称求出m值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系【详解】因为圆

x2y22xmy10，即x

m y2

x2y10

说明该直线过圆心C112，则有12210 PAGE3页/PAGE3页/21圆C2的圆心坐标为

234，而41C

1421221231P、Q分别为6x8y200与6x8y50PQ的最小值为（ B.

C. D.【答案】【分析】先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得【详解】因直线6x8y200与直线6x8y50P、Q是两直线上的点，PQ为两直线的公垂线段时，PQ取得最小值，PQ的最小值为两直线之间的距离，为|PQ

d|5(20)|56262(x1)2(x1)2

x4，则点P的轨迹是 A. B.椭 C.双曲 D.抛物【答案】【分析】化简给定方程，再由方程特征确定轨迹(x(x1)2

x4两边平方得4[(x1)2y2x4)2整理得4x28x44y2x28x16，即3x24y212P

1P的轨迹为椭圆 ::

432A.1或 B.2或 C.1或 D.2或 PAGEPAGE4页/21【答案】

2tac再利用离心率公式可得结果PF1F1F2:

4:3:2

2t若曲线为椭圆则2aPFPF6t，c3t，则ec1 2a4t2t2t，at，c3t，ec3A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率以及双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆ac，从而求出e;ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求y22pxp0F的直线l（斜率为正）MN两点（M在第一象限P

3,

6，则F到抛物线的准线的距离为 A. B. C. D.【答案】【分析】结合图形特征得出sinNPB1sinNPB1a3p4即得 MNAB

a

3a，由抛物线的定义得NBa，所以sinNPB

1PAGE5页/21PAGE5页/21在Rt△PMA

6,MP64a，又因为sinNPBsinMPA

6

1，a3，又记准线与对称轴交于点C，因为sin∠NPBsin∠FPCCF

p

1p4F

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求下列命题的是（ABABABAB【答案】ACBA：互斥事件指不能同时发生的事件，但只有对立事件互斥且必有一个发生的概率和为例如，掷骰子时“出现1点”与“出现2点”P1点P2点1111A PABPAPABPAPAPBPA1PBPAPB，AB独立，B正确．CABAB完全相同则AB同时发生”PA，AB恰有一个发生”的概率为0PAGEPAGE10页/21 选项2故第三次正面与反面的可能性相等，D错误．PABCDPAABCDPA2AB1MPC则（PABCD的外接球表面积为BMDM的最小值为MDM2M2【答案】BPABD，根据已知求CM，建立空间直角坐标系，表示出ACDM的坐标.ACDMACDM0，列出方程解出λDABBM

.数的性质，即可得出最小值APCAB2AD2AB2AD2且该长方体的外接球即为该四棱锥的外接球，半径为PC 6PC

6表面积为4π24π26πA B1PABDPCM，易知VPBC,VPDC均为直角三角形，且VPBC,VPDC全等，且PBPD ，BCCD1，PC PCBD

1PCBD

V

即有16BD15151 BD

30MBMD的最小值为30.B CMAC2AABADAPxyzAxyz空间直角坐标系.ACDMACDM1λλ0，解得λ1MACDM.CBM BM BM11λ2λ222λ21

45 2所以，当λ4MAB25.D正确 已知椭圆C

Px,y

的是 x

P的坐标为(4737 Pxyy22pxp0Pxy到点p0 【答案】【分析】根据椭圆及抛物线的定义，再结合基本不等式及柯西不等式可得

1a24b23c21a2b

3c1. PF1对于A：由椭圆的定义得PFPF )2(2a)24，当且仅当PFPF1

a2 AB

(1x,y),

1xyPF

x21y2x

1PF1PF2

21

1

2x[22

4 1PF1PF24

2123x2时等号成立.BC

1，所以

)(43)(x

，即 xy

x4

x4x

当且仅当2 ，即 3代入4

1，解得y

或 3 y3 所以当y37,x47时，xy有最小值 ，故C正确

y22pxp

上，抛物线的焦点为p0 根据抛物线的定义，Px,y到点p0的距离等于P点到准线的距离x xp p因 ，所以y )2px，

33x(x0)34x34x

Pxy到点p0dxpx

33x

3

39

2当且仅 ，即x （负值舍去）时等号成立.故D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

1的焦距 【答案】a2，短半轴的平方b2a、b、c的关系c2a2b2求出半焦距的平方c2，从而得到半焦距c，由椭圆的焦距为2c计算焦距.

1

y轴上

因为259 a225，短半轴的平方b29a、b、c的关系c2a2b2c225916，故c4(c0).椭圆的焦距为2c，因此焦距为248.844页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量→abcabc0Px,yz，点 xx0yy0zz02若平面αP，且以uP是平面α axx0byy0czz00.利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为xy2z70，直线l是平面x2y30与xz10的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值 【答案】6##1 【分析】根据教材习题的结论，分别求得平面α的法向量和直线l的方向向量，再根据线面角的向量求法，求得直线l与平面α所成角的正弦值.【详解】Q平面α的xy2z70，平面α的一个法向量→112x2y30→120xz10→10,1x2y30xz10→x,yz→→q·nx2→→ ，q·pxz

y

→则

→

→

故答案为：6

m (x3)2(yxy(x3)2(y

的最大值 【答案】5【分析】设t0，原式化为x232y232x232y3x232y3xy0xy6，设t0

(x(x3)2(y(x3)2(y

(x3)2(x3)2(y

(x3)2(y

x2y2x2y2t22xy2tx(x3)2(y(x3)2(y令12t20，则t (x3)2(y则上式为x232(x3)2(yPxyA2323B32，Py6位于第一象限的点，(x(x3)2(y

xx232y3

PAPB(x3)2(x3)2(y

AB

的最大值是5

3323223PAGE12页PAGE12页/21四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（2）若直线l经过点24，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l（1）x2y10x2y10（2）2xy0xy20xy60（1）PQ的坐标求得入射光线的方程，进而得到入射光线的斜率，根据对称求得反射光线的斜率，根据反射光线过点Q求得反射光线的方程；（2）讨论直线l线lykx；当在两坐标轴上的截距均不为零时，设直线lxy1. 24，可求得直线l1】设入射光线为l1，反射光线为l2入射光线ly2x3x2y10 0 1Q入射光线lk1，反射光线lk1 又Q反射光线要经过点Q10反射光线ly1x1x2y10 PAGEPAGE13页/212】当直线l的截距为0时，设直线lykx因为直线l经过点24k2y2x，即2xy0，当直线l的截距不为0时，设直线lxy1， 则 24则 a

ab

a b若a2，则直线lxy1xy2b 若a6则直线lxy1xy60b

综上所述，直线l2xy0xy20xy60如图，一个正八面体八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为A“得到的点数为偶数”B“得到的点数不大于4”，记事件C“得到的点数为质数”．PABCPAPBPC连续抛掷3Eii123为第iAB发生，求连续抛掷3AB只发生1次的概率．（2）证明见解 （1）AB所含的样本点，事件CABC所含的样结合对立事件概率公式，根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可1因为正八面体八个面分别标以数字1到8任意抛掷一次，与地面接触的面上的数字可能是12345678，所以样本空间Ω1234567,8．2PAPBPC1PABCPAPBPC3Ei为第iABPEPAB1 AB只发生1PE1PE2PE3PE1PE2PE3PE1PE2PE313331333127 已知双曲线C

1b0M，离心率为3A，B是C求CMAMB0（MABAB 【答案（1）x （2）（1）a的值，求出b的值，代入双曲线方程即可（2）MAMB0进行PAGE15页/PAGE15页/2111a1e1

311所以b28，故C的标准方程为x 2 由

1，得8t21y216nty8n280yyyy16yy 8t2 1

8n2 08t2MAMB0，所以ty1n1ty2n1y1y20，1 即t21yytn1yyn1)21 即t

1

8n2

tn1

(n

08t

1即t218n2816t2nn18t21(n1)20整理得7n22n90，解得n 或n1ABxty1ABM10n9ABxty9AB过定点90 PAGEPAGE17页/21AB过定点90 CC1BD CDAC平面CBD 若CABCDABCD的对角线交点，且CCBCCDBCD60 求平面C1BCABCD（1）

1（1）利用投影定义结合线面垂直性质定理与空间向量线性运算法则计算可得CC1与CD的数量关系，再找出平面C1BCABCD所成角的平面角，结合三角函数定义与同角三角函数基本关系计算即可得.1

CBa

CD

，

c

bBDBCCDCDCBba

→ → 则CC1BDcbabccosθcacosθccosθba0，故CC1BD，即CC1BD；2CD1AC平面CBD设CC1taA1C平面C1BDBDC1D平面C1BD，A1CBDA1CC1D，又CA1CBCDCCabcBDba，DC1CC1CDcb

有CA1BDabc·babcosθ→ bcosθ

→ → → →ccosθbcosθacccosθbcosθac

a

bac

有CA1DC1abc·cb→

→ →

→

→ →accosθbccosθ accosθ bccosθ 0 CD则cb，故当且仅当 3BD中点O，连接C1O，由BCD60ABCD是菱形，故点OABCD的对角线交点，且△BCD为等边三角形，则C1OABCD，又CAABCD，则C1OCA

1 1 1 1 → bcosθacbbcosθacbc

→ →

→

→ →1→ →2

1→

1 aaa aa→→→

ab

cab033a33a23a 3

→

2，则C1O

过点O作OEBCE，则即为平面C1BCABCD由1OEBC2 3BC2，则OE 3BC 3a V 22222则tanCEO1222，则cosC1EO 3 即平面CBCABCD1 如左图所示，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如右图所示，平面内给定圆Cx12y21和直线lx2OC和直线lA、B,在射线OA上M满足OMAB.求蔓叶线M在蔓叶线mxny1m2n20与蔓叶线Pi123,记直线OPk 线OPC交于点Qxyxy0kkk2111的值