第3章 勾股定理期末复习（知识清单）（答案版）-苏科版(2024)八上

第三章勾股定理知识点1：勾股定理1.勾股定理内容：文字语言符号语言图形语言直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.勾股定理的证明方法：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法.用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积两种不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.3.勾股定理的使用条件：要使用勾股定理，必须在直角三角形中，才可以使用！切记4.勾股定理的常用变形：5.勾股定理的应用：①已知直角三角形的任意两边长，求第三边；②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；③在网格中绘制长度为无理数的线段；④解决一些生活实际问题：梯子问题、面积问题、汽车超速问题……；知识点2：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理内容：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.勾股定理的逆定理与勾股定理的关系：勾股定理勾股定理逆定理条件直角三角形ABC结论直角三角形ABC关系知识点3：勾股数1.能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数；2.记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等；3.用含字母的代数式表示组勾股数：（为正整数）；（为正整数）（，为正整数）.知识点4：利用勾股定理解决实际问题的步骤将实际问题抽象出几何图形，建立数学模型；确定所求线段所在的直角三角形：如果原图存在可以用的直角三角形，就直接使用，如果原图中没有可用的直角三角形，就作垂线构造直角三角形，然后再使用勾股定理；根据勾股定理，列方程求解。一、勾股定理的使用条件：勾股定理的使用要分清：错误：认为“”一定代表直角边，一定代表斜边注意：勾股定理中表示直角边，代表斜边，但是，实际做的题目中不一定这样的。有可能是表示斜边，或者表示斜边，这要根据具体题目而定。对于直角边和斜边不确定的，还要分情况讨论。二、勾股数：注意区分“勾股数”与“能构成直角三角形”的区别错误：认为只要满足“”的三个数都是勾股数．注意：勾股数必须是满足两个条件三个数：①满足“”②正整数，像小数、分数、无理数都不行。三、勾股定理逆定理：判定一个三角形是直角三角形方法不止勾股定理逆定理一种 错误：认为“一看到判定一个三角形或证明垂直就找勾股定理逆定理” 提醒：判定一个三角形是直角三角形的方法很多，比如：利用直角三角形的定义，即证明三角形中有一个角是直角，可以证明这个三角形是直角三角形；也可以证明有两个锐角互为余角也可以；或者利用平行线的知识或者三角形的内角和、外角等其他知识证明垂直；也可一证明这个三角形与一个直角三角形全等等方法都可以，不要总盯着勾股定理逆定理；另外方法还有等腰三角形的三线合一性质，垂直平分线的判定方法等等都可以证明垂直（或者直角三角形）。题型01勾股定理的使用要分清1．直角三角形的两边长分别为8，15，第三边边长为，则．【答案】289或161【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论．分两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】解：①当第三边为斜边时，由勾股定理得，；②当第三边为直角边时，由勾股定理得，；综上，的值为289或161，故答案为：289或161．2．直角三角形的两边长为3、4，则第三边为．【答案】5或【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．分两种情况，边长为4的边是直角边，边长为4的边是斜边，根据勾股定理进行计算即可．【详解】解：当边长为4的边是直角边时，第三边为：，边长为4的边是斜边时，第三边为：．故答案为：5或．3．若一个直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的平方是．【答案】100或28/28或100【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题考查了勾股定理．分两种情况：当两直角边的长分别为6和8时，当斜边长为，一条直角边长为时，分别计算即可得出答案．【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为6和8，∴当两直角边的长分别为6和8时，第三边的平方是，当斜边长为，一条直角边长为时，第三边的平方是，故答案为：100或28．4．已知直角三角形的两边长为4和6，那么这个直角三角形的斜边长为．【答案】或【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求斜边的长必须分类讨论，即6是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【详解】解：当6是斜边时，第三边长；当4和6是直角边时，斜边长；∴斜边的长为：或，故答案为：或．5．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为．【答案】13【知识点】用勾股定理解三角形【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解．【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12，∴该三角形的斜边长为．故答案为：13．题型02勾股数的概念6．下列各组数中，勾股数是（

）A．1，2，2 B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D．1，，【答案】C【知识点】勾股树（数）问题【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解，【详解】解：A.，故不是勾股数，不符合题意；B.不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；C.，故是勾股数，符合题意；D.1，，不都是正整数，故不是勾股数，不符合题意；故选：C．7．下面四组数中是勾股数的一组是（

）A．，， B．5，12，13C．1.5，2，2.5 D．，，【答案】B【知识点】勾股树（数）问题【分析】本题考查的是勾股数，勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念逐一验证判断即可．【详解】解：A、即36，64，100，，而，不满足，所以，，不是勾股数，不符合题意；B、5，12，13，均为正整数，且，满足勾股定理，是勾股数，符合题意；C、1.5，2，2.5包含小数，非正整数，不符合勾股数定义，不是勾股数，不符合题意；D、不是正整数，且，不满足勾股定理，不是勾股数，不符合题意．故选：B．8．勾股数，又名毕氏三元数，下列各组数构成勾股数的是（

）A．5，12，13 B．，，C．，， D．5，15，20【答案】A【知识点】勾股树（数）问题【分析】本题考查勾股数，勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需同时满足两个条件：①均为正整数；②最大数的平方等于另两数的平方和．据此判断即可．【详解】解：A、∵，且5，12，13均为正整数，∴5，12，13是一组勾股数；B、，，不是正整数，故它不是勾股数；C、，，不是正整数，故它不是勾股数；D、由于，故它不是勾股数．故选：A．9．以下列各组数据是勾股数，以它们为边长作三角形能作成直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】勾股树（数）问题【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义，需满足三个正整数且能构成直角三角形．对各选项逐一验证是否满足勾股定理及是否为整数．【详解】A．，满足勾股定理，且均为正整数，是勾股数，故符合题意；B．，虽满足勾股定理，但含小数，不符合勾股数必须为正整数的要求，不符合题意；C．，不满足勾股定理，故错误，不符合题意；D．，不满足勾股定理，且非正整数，故错误，不符合题意．综上，只有选项A符合条件．故选A．10．下面各组数中，是勾股数的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【知识点】勾股树（数）问题【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数的特点进行判断即可．【详解】解：，故选项A不是勾股数；，故选项B不是勾股数；，故选项C是勾股数；，故选项D不是勾股数；故选：C．题型03判定垂直（直角）不一定用勾股定理逆定理11．如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F．(1)判断的形状？并说明理由；(2)求的长．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析；(2)的长为5．【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SSS综合（SSS）【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质．（1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答；（2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可．【详解】（1）解：是直角三角形，理由：，，，，是直角三角形，且，垂直平分，，，在和中，，，，是直角三角形；（2）解：由（1）知，，，，，，在中，由勾股定理得，即，解得，的长为5．12．如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．(1)判断与的位置关系，并说明理由；(2)若，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)DE的长为4.75【知识点】直角三角形的两个锐角互余、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形【分析】（1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可；（2）连接，设，则，，利用勾股定理解答即可．本题考查了直角三角形两个锐角互余，等边对等角，线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【详解】（1）解：．理由如下：理由：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：如图，连接，设，则，，∵，∴，∴，解得，∴的长为．13．如图，，是上的一点，且，．(1)与全等吗？并说明理由；(2)求证：．【答案】(1)全等，理由见解析(2)见解析【知识点】全等的性质和HL综合（HL）【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：（1）等角对等边，得到，证明两个三角形全等即可；（2）根据全等三角形的性质结合等角的余角，求出即可．【详解】（1）解：与全等，理由如下：∵，∴，∵，，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∴．14．如图，．(1)求出与的数量关系(2)延长到，使，延长到F，使，连接．补全图形，并证明．(3)在（2）的条件下，作的平分线，交于点H，延长交于点M，延长交于点G．补全图形并证明．【答案】(1)，(2)见解析(3)见解析【知识点】根据平行线判定与性质证明、全等三角形综合问题、根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，勾股定理，平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．（1）勾股定理求得，结合已知条件即可求解；（2）根据题意画出图形，证明，得出，则，即可得证；（3）根据题意画出图形，根据角平分线以及平行线的性质证明，得到，进而证明，即可得证．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）证明：如图所示，∵，，，∴，∴，∴，∵，∴；（3）证明：如图所示，∵，，∴，∴，∵是的角平分线，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，

∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴．15．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，并延长交的延长线于点．(1)与全等吗？请说明理由；(2)若．①试说明；②若，，，求点到的距离．【答案】(1)全等，见解析(2)①见解析；②4【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性