浙江省杭州市锦绣·育才教育集团2016年3月中考数学模拟试卷(含解答)

2016年浙江省杭州市锦绣·育才教育集团中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．边长是m的正方形面积是7，如图，表示m的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C2．下列计算正确的是（）A．（a4）2=a6 B．a+2a=3a2C．a7÷a2=a5 D．a（a2+a+1）=a3+a23．如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在36≤x＜38小组，而不在34≤x＜36小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（）A．该学校教职工总人数是50人B．年龄在40≤x＜42小组的教职工人数占学校教职工人数的20%C．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组D．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组4．下列说法正确的是（）①代数式的意义是a除以b的商与1的和；②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0；④地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米．A．①④ B．①② C．②③ D．③④5．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）=0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（）A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或36．有A，B两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），小王掷A，朝上的数字记作x；小张掷B，朝上的数字记作y．在平面坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4）和（0，4），小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是（）A． B． C． D．7．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A． B． C． D．8．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A．2 B． C．6 D．29．对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2﹣1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③10．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）A． B．+1 C． D．2二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．计算：﹣22+（）﹣1+=．12．已知如图：▱ABCD中，AD=8，AB=6，DE平分∠ADC交BC于E，则BE=．13．直线y=（3﹣a）x+b﹣2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：=．14．三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为cm．15．有下列四个命题：（1）函数y=，当k＞0，x＜0时，y随着x的增大而减小．（2）点P（x，y）的坐标满足x2+y2+2x﹣4y+5=0，若点P也在反比例函数y=的图象上，则k=﹣2．（3）如果关于x的不等式组无解，则a＞1．（4）如果二次函数y=x2+bx+c过（m，k），（m+6，k）两点，那么关于x的方程x2+bx+c=k的两根之差的绝对值为6．真命题的序号是．16．如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为．17．判断代数式（）的值能否等于﹣1？并说明理由．18．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规在图①中画一个以AB为边的“好玩三角形”；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”．19．如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．（1）如果（a﹣2）+b+3=0，其中a、b为有理数，试求a，b的值；（2）如果（2+）a﹣（1﹣）b=5，其中a、b为有理数，求a+2b的值．20．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=．（1）求k的值；（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（1）分析探究：已知x2≥0，请探究：①如果x=a﹣b，那么利用完全平方公式，你可以得到什么结论？②如果x=（a≥0，b≥0），那么你可以得到什么结论？（2）实践应用：①要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用（1）中探究得出的结论，求出镜框周长的最小值；②已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1）．求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．22．如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，点P为斜边AC上的点，点D为直角边BC上的点，且PB=PD，DE⊥AC于E，BO与PD相交于M．（1）请说明BO=PE的理由；（2）若CE=x，AC=8，△ABP的面积是y，请写出y与x的函数关系式（不考虑x的取值范围），并画出这个函数的完整图象；（3）在（2）的条件下，函数图象与x轴的交点是D，与y轴的交点是A点，平面直角坐标系原点是O点，请画出∠OAB，使射线AB交x轴于B点，使射线AD平分∠OAB，若⊙O′经过点A、点D，且圆心O′点在AB上，请说明“OB为⊙O′的切线”的理由．23．如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（﹣1，0）、B（0，2），抛物线y=ax2+ax﹣2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF．下列结论：①BE+BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．

2016年浙江省杭州市锦绣·育才教育集团中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．边长是m的正方形面积是7，如图，表示m的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间（）A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．【分析】根据正方形的面积公式可得正方形的边长，利用算术平方根求出的范围，即可得到结果．【解答】解：设正方形的边长为a，a2=7，∴a=，：∵6.25＜7＜9，∴2.5＜＜3，则表示的点在数轴上表示时，在C和D两个字母之间，∴表示m的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间，故选A．【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数与数轴，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．2．下列计算正确的是（）A．（a4）2=a6 B．a+2a=3a2C．a7÷a2=a5 D．a（a2+a+1）=a3+a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘多项式．【分析】根据幂的乘方，可判断A，根据合并同类项，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据单项式乘多项式，可判断D．【解答】解：A、幂的乘方底数不变指数相乘，故A错误；B、合并同类项系数相加字母部分不变，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、单项式乘多项式用单项式乘多项式的每一项，并把所得的乘积相加，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如年龄为36岁统计在36≤x＜38小组，而不在34≤x＜36小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（）A．该学校教职工总人数是50人B．年龄在40≤x＜42小组的教职工人数占学校教职工人数的20%C．教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组D．教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组【考点】频数（率）分布直方图；中位数；众数．【分析】各组的频数的和就是总人数，然后根据百分比、众数、中位数的定义即可作出判断．【解答】解：A、该学校教职工总人数是4+6+11+10+9+6+4=50（人），故正确；B、在40≤x＜42小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例是：×100%=20%，故正确；C、教职工年龄的中位数一定落在40≤x＜42这一组，正确；D、教职工年龄的众数一定在38≤x＜40这一组．错误．故选：D．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．4．下列说法正确的是（）①代数式的意义是a除以b的商与1的和；②要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；③当2x﹣1=0时，整式2xy﹣8x2y+8x3y的值是0；④地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米．A．①④ B．①② C．②③ D．③④【考点】命题与定理．【分析】根据代数式的表示方法可对①进行判断；根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可对②进行判断；先把2xy﹣8x2y+8x3y因式分解，然后利用整体代入的方法计算，则可对③进行判断；根据科学记数法的定义对④进行判断．【解答】解：代数式的意义是a除以b与1的和，所以①错误；要使y=有意义，则x应该满足x≤3且x≠0，所以②错误；2xy﹣8x2y+8x3y=2xy（1﹣4x+4x2）=2xy（1﹣2x）2，当2x﹣1=0时，原式的值是0，所以③正确；地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米，所以④正确．故选D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．5．已知x是实数，且满足（x﹣2）（x﹣3）=0，则相应的函数y=x2+x+1的值为（）A．13或3 B．7或3 C．3 D．13或7或3【考点】二次函数的定义；二次根式有意义的条件；解一元二次方程-因式分解法．【分析】根据二次根式的性质以及相乘为0的性质得出x的值，进而代入求出y的值即可．【解答】解：∵（x﹣2）（x﹣3）=0，∴x≤1，∴x=1，当x=1，y=x2+x+1=1+1+1=3．故选：C．【点评】此题主要考查了函数值求法以及二次根式的性质等知识，得出x的值是解题关键．6．有A，B两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），小王掷A，朝上的数字记作x；小张掷B，朝上的数字记作y．在平面坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为（0，0），（6，0），（6，4）和（0，4），小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法；坐标与图形性质．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有36种等可能的结果，小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的有15种情况，∴小王小张各掷一次所确定的点P（x，y）落在矩形内（不含矩形的边）的概率是：=．故选B．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及坐标与图形的关系．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．如图，在矩形中截取两个相同的圆作为圆柱的上、下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成圆柱．设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是（）A． B． C． D．【考点】一次函数综合题；正比例函数的定义．【专题】数形结合．【分析】从y﹣等于该圆的周长，即列方程式，再得到关于y的一次函数，从而得到函数图象的大体形状．【解答】解：由题意即，所以该函数的图象大约为A中函数的形式．故选A．【点评】本题考查了一次函数的综合运用，从y﹣等于该圆的周长，从而得到关系式，即解得．8．如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=3，过点A作AE⊥BC于E，且AE=3，连结DE，若F为线段DE上一点，满足∠AFE=∠B，则AF=（）A．2 B． C．6 D．2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】先根据AD∥BC，AE⊥BC得出△AED是直角三角形，根据勾股定理求出DE的长，再根据相似三角形的判定定理得出△ADF∽△DEC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，即△AED是直角三角形，∵Rt△AED中，AE=3，AD=3，∴DE===6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°；∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC，∴=，=，解得AF=2．故选D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先根据题意判断出△ADF∽△DEC是解答此题的关键．9．对于实数a、b，定义一种运算“⊗”为：a⊗b=a2+ab﹣2，有下列命题：①1⊗3=2；②方程x⊗1=0的根为：x1=﹣2，x2﹣1；③不等式组的解集为：﹣1＜x＜4；④点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上．其中正确的是（）A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【考点】命题与定理．【分析】通过利用新定义可对①进行判断；先利用新定义把原方程转化为x2+x﹣2=0，再利用因式分解法解方程，则可对②进行判断；先利用新定义把原不等式组转化为，然后通过解不等式组可对③进行判断；先利用新定义把原函数关系式转化为y=x2﹣x﹣2，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．【解答】解：1⊗3=12+1×3﹣=2，所以①正确；方程x⊗1=0化为x2+x﹣2=0，解得x1=﹣2，x2﹣1，所以②正确；不等式组化为，解得﹣1＜x＜4，所以③正确；函数y=x⊗（﹣1）化为y=x2﹣x﹣2，当x=1时，y=x2﹣x﹣21﹣1﹣2=﹣2，所以点（1，﹣2）在函数y=x⊗（﹣1）的图象上，所以④正确．故选A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．如图，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，双曲线y=与AB交于点D，与BC交于点E，DF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，交DF于点H．若矩形OGHF和矩形HDBE的面积分别是1和2，则k的值为（）A． B．+1 C． D．2【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】计算题．【分析】设D（t，），由矩形OGHF的面积为1得到HF=，于是根据反比例函数图象上点的坐标特征可表示出B点坐标为（kt，），接着利用矩形面积公式得到（kt﹣t）•（﹣）=2，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．【解答】解：设D（t，），∵矩形OGHF的面积为1，DF⊥x轴于点F，∴HF=，而EG⊥y轴于点G，∴E点的纵坐标为，当y=时，=，解得x=kt，∴B（kt，），∵矩形HDBE的面积为2，∴（kt﹣t）•（﹣）=2，整理得（k﹣1）2=2，而k＞0，∴k=+1．故选B．【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）11．计算：﹣22+（）﹣1+=﹣3．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用二次根式性质计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣4+2+﹣1=﹣3，故答案为：﹣3【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．已知如图：▱ABCD中，AD=8，AB=6，DE平分∠ADC交BC于E，则BE=2．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再根据BE=BC﹣CE，代入数据计算即可得解．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵▱ABCD中AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∴CD=AB=6，BC=AD=8，∴BE=BC﹣CE=8﹣6=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．13．直线y=（3﹣a）x+b﹣2在直角坐标系中的图象如图所示，化简：=1．【考点】一次函数图象与系数的关系；二次根式的性质与化简．【专题】压轴题．【分析】先根据图象判断出a、b的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可．【解答】解：根据图象可知直线y=（3﹣a）x+b﹣2经过第二、三、四象限，所以3﹣a＜0，b﹣2＜0，所以a＞3，b＜2，所以b﹣a＜0，a﹣3＞0，2﹣b＞0，所以=a﹣b﹣|a﹣3|﹣（2﹣b）=a﹣b﹣a+3﹣2+b=1．故答案为1．【点评】主要考查了一次函数的图象性质及绝对值的性质，要掌握它的性质才能灵活解题．14．三棱柱的三视图如图所示，△EFG中，EF=8cm，EG=12cm，∠EGF=30°，则AB的长为6cm．【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图的对应情况可得出，△EFG中FG上的高即为AB的长，进而求出即可．【解答】解：过点E作EQ⊥FG于点Q，由题意可得出：EQ=AB，∵EG=12cm，∠EGF=30°，∴EQ=AB=×12=6（cm）．故答案为：6．【点评】此题主要考查了由三视图解决实际问题，根据已知得出EQ=AB是解题关键．15．有下列四个命题：（1）函数y=，当k＞0，x＜0时，y随着x的增大而减小．（2）点P（x，y）的坐标满足x2+y2+2x﹣4y+5=0，若点P也在反比例函数y=的图象上，则k=﹣2．（3）如果关于x的不等式组无解，则a＞1．（4）如果二次函数y=x2+bx+c过（m，k），（m+6，k）两点，那么关于x的方程x2+bx+c=k的两根之差的绝对值为6．真命题的序号是（1）、（2）、（4）．【考点】命题与定理．【分析】根据反比例函数的性质对（1）进行判断；先利用配方法和非负数的性质求出x和y的值，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可对（2）进行判断；利用不等式组的解集的确定方法得到a+1≥2，则可对（3）进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程解的定义可判断x1=m，x2=m+6为关于x的方程x2+bx+c=k的两根，则可对（4）进行判断．【解答】解：函数y=，当k＞0，x＜0时，y随着x的增大而减小，所以（1）正确；点P（x，y）的坐标满足x2+y2+2x﹣4y+5=0，即（x+1）2+（y﹣2）2=5，则x=﹣1，y=2，若点P也在反比例函数y=的图象上，所以k=﹣2，所以（2）正确；如果关于x的不等式组无解，则a+1≥2，所以a≥1，所以（3）错误；如果二次函数y=x2+bx+c过（m，k），（m+6，k）两点，则x1=m，x2=m+6为关于x的方程x2+bx+c=k的两根，所以关于x的方程x2+bx+c=k的两根之差的绝对值为6，所以（4）正确．故答案为（1）、（2）、（4）．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．16．如图，已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点，连结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，则线段BE的长为8或2．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】分类讨论．【分析】如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意．因此本题分两种情况进行讨论：①当∠ADN=∠BME时，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出关于DE，BE，EM的比例关系式，即可求出x的值．②当∠AND=∠BEM时，∠ADB=∠BME，可根据这两个角的正切值求出x的值．【解答】解：因为如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因为AD∥BC，如果两角相等，那么M与D重合，显然不合题意，故应分两种情况进行讨论，设BE长为x．①如图1，当∠ADN=∠BEM时，那么∠ADB=∠BEM，作DF⊥BE，垂足为F，tan∠ADB=tan∠BEM，AB：AD=DF：FE=AB：（BE﹣AD）．即2：4=2：（x﹣4）．解得x=8．即BE=8．②如图2，当∠ADB=∠BME，而∠ADB=∠DBE，∴∠DBE=∠BME，∵∠E是公共角，∴△BED∽△MEB，∴，BE2=DE•EM=DE2=（DF2+EF2），∴BE2=[22+（4﹣x）2]，∴x1=2，x2=﹣10（舍去），∴BE=2．综上所述线段BE为8或2，故答案为8或2．【点评】本题主要考查了直角梯形的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，题目的难度在于要根据不同的对应角相等来分情况讨论，不要漏解．17．判断代数式（）的值能否等于﹣1？并说明理由．【考点】分式的化简求值．【分析】先将原代数式化简，再令化简后的结果等于﹣1，解出a的值，由结合分式存在的意义可以得出结论．【解答】解：原式=[﹣]×，=×，=．当=﹣1时，解得：a=0，∵（a+1）（a﹣1）a≠0，即a≠±1，a≠0，∴代数式（）的值不能等于﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值和分式存在的意义，解题的关键：将原式化简后令其=﹣1，解得a=0，再去判定分母是否为0．本题属于基础题型，解决该类题型时一定要注意分母不能为0．18．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规在图①中画一个以AB为边的“好玩三角形”；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：△ABC是“好玩三角形”．【考点】作图—复杂作图．【专题】新定义．【分析】（1）先作AB的垂直平分线得到AB的中点D，然后以D为端点任意画线段CD=AB，再连结AC、BC，则△ACB满足条件；（2）取AC的中点D，连结BD，如图②，设AC=2x，则CD=AD=x，利用得到BC=x，再在Rt△BCD中利用勾股定理计算出BD=2x，则BD=AC，然后根据“好玩三角形”即可得到结论．【解答】（1）解：如图①，△ABC为所作；（2）证明：取AC的中点D，连结BD，如图②，设AC=2x，则CD=AD=x，∵，∴BC=x，在Rt△BCD中，BD===2x，∴BD=AC，∴△ABC是“好玩三角形”．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．19．如果ax+b=0，其中a，b为有理数，x为无理数，那么a=0且b=0．（1）如果（a﹣2）+b+3=0，其中a、b为有理数，试求a，b的值；（2）如果（2+）a﹣（1﹣）b=5，其中a、b为有理数，求a+2b的值．【考点】实数的运算；解二元一次方程组．【专题】计算题；实数．【分析】（1）根据题意确定出a与b的值即可；（2）根据题意确定出a与b的值，代入计算即可求出原式的值．【解答】解：（1）由（a﹣2）+b+3=0，得到a=2，b=﹣3；（2）由（2+）a﹣（1﹣）b=5整理得：（a+b）+（2a﹣b﹣5）=0，∵a、b为有理数，∴，解得：a=，b=﹣，则a+2b=﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，直线y=x+1与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=．（1）求k的值；（2）设点N（1，a）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【专题】计算题．【分析】（1）对于直线y=x+1，令x=0求出y的值，确定出A坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，得到M横坐标与A横坐标相同，再由M在直线y=x+1上，确定出M坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；（2）将N坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P（如图），此时PM+PN最小，由N与N1关于y轴的对称，根据N坐标求出N1坐标，设直线MN1的解析式为y=kx+b，把M，N1的坐标代入求出k与b的值，确定出直线MN1的解析式，令x=0求出y的值，即可确定出P坐标．【解答】解：（1）由y=x+1可得A（0，1），即OA=1，∵tan∠AHO==，∴OH=2，∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为2，∵点M在直线y=x+1上，∴点M的纵坐标为3，即M（2，3），∵点M在y=上，∴k=2×3=6；（2）∵点N（1，a）在反比例函数y=的图象上，∴a=6，即点N的坐标为（1，6），过N作N关于y轴的对称点N1，连接MN1，交y轴于P（如图），此时PM+PN最小，∵N与N1关于y轴的对称，N点坐标为（1，6），∴N1的坐标为（﹣1，6），设直线MN1的解析式为y=kx+b，把M，N1的坐标得，解得：，∴直线MN1的解析式为y=﹣x+5，令x=0，得y=5，∴P点坐标为（0，5）．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：锐角三角函数定义，待定系数法求一次函数解析式，对称的性质，以及一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（1）分析探究：已知x2≥0，请探究：①如果x=a﹣b，那么利用完全平方公式，你可以得到什么结论？②如果x=（a≥0，b≥0），那么你可以得到什么结论？（2）实践应用：①要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用（1）中探究得出的结论，求出镜框周长的最小值；②已知函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1）．求的最小值，并指出取得该最小值时相应的x的值．【考点】二次函数的应用．【专题】探究型．【分析】（1）①根据x2＞0，x=a﹣b，从而可以得到（a﹣b）2≥0，展开整理即可得到所要的结论；②根据x=（a≥0，b≥0），x2≥0，可以得到，展开整理即可得到所要的结论；（2）①根据题意可以分别设出长方形的长和宽，然后根据（1）中的结论，即可得到镜框周长的最小值；②根据函数y1=x+1（x＞﹣1）与函数y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），可以对进行化简，然后利用前面的结论即可得到的最小值，以及此时取得该最小值时相应的x的值．【解答】解：（1）①∵x2＞0，x=a﹣b，∴（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，得a2+b2≥2ab；②∵x=（a≥0，b≥0），x2≥0，∴，∴，得；（2）①设长方形镜框的长为a米，宽为b米，则ab=1，∵，∴a+b≥2，∴2（a+b）≥4，即镜框周长的最小值是4米；②∵y1=x+1（x＞﹣1），y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），∴，∴当时，取得最小值4，∴（x+1）2=4，解得x1=1，x2=﹣3（舍去），即的最小值是4，取得该最小值时相应的x的值是1．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，弄清题目中的数量关系，充分利用所得的结论解答所要求的问题．22．如图，在等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，点P为斜边AC上的点，点D为直角边BC上的点，且PB=PD，DE⊥AC于E，BO与PD相交于M．（1）请说明BO=PE的理由；（2）若CE=x，AC=8，△ABP的面积是y，请写出y与x的函数关系式（不考虑x的取值范围），并画出这个函数的完整图象；（3）在（2）的条件下，函数图象与x轴的交点是D，与y轴的交点是A点，平面直角坐标系原点是O点，请画出∠OAB，使射线AB交x轴于B点，使射线AD平分∠OAB，若⊙O′经过点A、点D，且圆心O′点在AB上，请说明“OB为⊙O′的切线”的理由．【考点】圆的综合题．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合等腰三角形性质和外角性质证明△BOP≌△PED即可；（2）结合（1）表示出三角形APB的底和高，用三角形面积公式进行求解，用两点法画直线即可；（3）结合平行和半径相等，证明O′D∥OA即可．【解答】解：（1）如图1由等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，可得：∠A=∠C=∠ABO=∠CBO=45°，BO⊥AC，∠BOP=90°，∵PB=PD，∴∠PBD=∠PDB，∴45°+∠PBO=45°+∠DPE，∴∠PBO=∠DPE，∵DE⊥AC，∴∠DEP=90°，∴∠DPE=∠BOP，在△BOP和△PED中，，∴△BOP≌△PED，BO=PE；（2）由等腰直角三角形ABC中，点O是斜边AC的中点，可得：BO=AC=4，由（1）知，PE=BO=4，∴AP=8﹣4﹣x=4﹣x，∴y==﹣2x+8，图象是过（4，0）和（0，8）的一条直线，如图2，（3）如图3，∵AO′=DO′，∴∠O′AD=∠O′DA，∵AD平分∠OAB，∴∠OAD=∠O′AD，∴∠OAD=∠O′DA，∴O′D∥OA，∴∠O′DB=90°，∴OB为⊙O′的切线．【点评】此题主要考查等腰直角三角形的性质和圆的综合问题，会构造全等三角形证明线段相等，会表示三角形面积，会证明圆的切线是解题的关键．23．如图①，在平面直角坐标系中，Rt△AOB≌Rt△CDA，且A（﹣1，0）、B（0，2），抛物线y=ax2+ax﹣2经过点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线（对称轴的右侧）上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图②，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作⊙O′，连接AE，在⊙O′上另有一点F，且AF=AE，AF交BC于点G，连接BF．下列结论：①BE+BF的值不变；②，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论．【考点