解直角三角形课件湘教版（2012）九年级数学上册

2025-2026学年湘教版数学九年级上册第4章

锐角三角形4.3解直角三角形ACBcba(1)三边之间的关系：a2+b2=_____；(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=_____；(3)边角之间的关系：sinA=_____，cosA=_____，tanA=_____.

如图，在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中∠C=90°.c290°复习引入#人教版九年级数学《4.3解直角三角形》教学资源包（含教学过程、PPT分页内容、课堂案例、习题设计，无教学目标/作业）##一、教学过程（45分钟）###（一）情境导入（5分钟）1.展示情境图：教学楼前有一棵大树，为测量树高AB，小明在地面C点测得树顶A的仰角为30°，BC=10米（BC垂直于地面），如何求树高AB？2.提问引导：-图中△ABC是什么三角形？（直角三角形）-已知哪些条件？（一个锐角30°，一条直角边BC=10米）-要求的是什么？（另一条直角边AB）3.引出课题：像这样已知直角三角形的一些元素，求其他未知元素的过程，就是“解直角三角形”。###（二）新知探究（15分钟）####1.定义讲解-明确：在直角三角形中，除直角外的5个元素（3条边、2个锐角），已知其中2个元素（至少1个是边），求其余3个元素的过程，叫做解直角三角形。-强调：“至少1个是边”的原因（若只知两个锐角，无法确定三角形大小）。####2.解直角三角形的依据（板书核心公式）-边角关系（三角函数）：-sinA=对边/斜边=a/c，cosA=邻边/斜边=b/c，tanA=对边/邻边=a/b-sinB=b/c，cosB=a/c，tanB=b/a（A+B=90°）-三边关系（勾股定理）：a²+b²=c²-锐角关系：∠A+∠B=90°####3.分类例题讲解（结合教材例题改编，分步板书）#####例1：已知直角边和一个锐角（基础型）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，BC=6cm（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75），求：-∠B（90°-37°=53°）-斜边AB（由sinA=BC/AB，得AB=BC/sinA=6/0.6=10cm）-直角边AC（由tanA=BC/AC，得AC=BC/tanA=6/0.75=8cm；或用勾股定理验证）#####例2：已知斜边和一个锐角（提升型）在Rt△ABC中，∠C=90°，c=20cm，∠B=45°，求a、b、∠A：-∠A=90°-45°=45°（等腰直角三角形）-a=c·cosB=20·cos45°=20×√2/2=10√2≈14.14cm-b=c·sinB=20·sin45°=10√2≈14.14cm（或a=b，用勾股定理验证）#####例3：已知两条直角边（综合型）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=3cm，b=4cm，求c、∠A、∠B：-c=√(a²+b²)=√(9+16)=5cm（勾股定理）-tanA=a/b=3/4，得∠A≈36.87°（用计算器计算，强调操作步骤）-∠B=90°-36.87°≈53.13°###（三）课堂练习（15分钟）1.基础题（全员必做）：-在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，求a、b、∠B（答案：∠B=30°，a=6√3cm，b=6cm）-在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5cm，c=10cm，求b、∠A、∠B（答案：b=5√3cm，∠A=30°，∠B=60°）2.变式题（小组讨论）：-已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2√3，BC=2，求∠A的正弦值、余弦值、正切值（答案：sinA=1/2，cosA=√3/2，tanA=√3/3）3.反馈纠正：重点讲解学生易错点（如三角函数定义混淆、计算器使用错误、根式化简不规范）。###（四）课堂小结（5分钟）1.回顾解直角三角形的定义和核心依据（三边、边角、锐角关系）；2.总结解题步骤：-明确已知条件和所求元素；-选择合适的公式（优先三角函数，再勾股定理）；-计算并验证结果（勾股定理或锐角和为90°验证）；3.强调：灵活选择公式可简化计算，注意单位统一和结果精确性（保留根号或精确到0.1）。###（五）拓展延伸（课堂剩余时间）展示生活情境题：某水坝的横断面是梯形ABCD，上底CD=3m，下底AB=18m，高DE=8m，坝坡AD的坡度i=1:√3（坡度i=垂直高度/水平宽度），求坝坡AD的长度和∠A的度数（答案：AD=16m，∠A=30°），为后续应用课铺垫。##二、PPT分页内容（共12页，简洁直观，突出重点）|页面序号|页面标题|核心内容||----------|----------------|--------------------------------------------------------------------------||1|课题导入|情境图（大树测量）+问题链+课题展示“4.3解直角三角形”||2|定义讲解|解直角三角形定义：已知2个元素（至少1边）→

求其余3个元素||3|解题依据（1）|锐角关系：∠A+∠B=90°；三边关系：勾股定理a²+b²=c²（配图标注边）||4|解题依据（2）|三角函数定义（表格形式）：sinA=a/c、cosA=b/c、tanA=a/b（配图强化对应关系）||5|例题1|已知直角边+锐角（题目+分步解答+公式标注）||6|例题2|已知斜边+锐角（题目+分步解答+等腰直角三角形性质提示）||7|例题3|已知两条直角边（题目+分步解答+计算器操作步骤提示）||8|基础练习题|2道必做题（题目+留白区域，供课堂书写）||9|变式练习题|1道小组讨论题（题目+坡度概念补充）||10|易错点总结|1.三角函数定义混淆；2.计算器角度模式错误；3.根式化简不规范（配反例）||11|课堂小结|核心依据（3点）+解题步骤（3步）+注意事项（2点）||12|拓展延伸|水坝横断面情境题（配图+题目）+课后思考提示|##三、课堂案例补充（生活情境类）1.**测塔高问题**：-情境：在距离塔底O点20米的A处，测得塔顶B的仰角为60°，求塔高BO（不计观测者身高）。-解答：Rt△ABO中，∠A=60°，AO=20米，tan60°=BO/AO→BO=20×√3≈34.64米。2.**测河宽问题**：-情境：为测量河流宽度CD，在河岸一侧C点测得对岸D点的仰角为45°，沿BC方向走10米到A点，测得D点的仰角为30°（BC垂直于CD），求河宽CD。-解答：设CD=x米，Rt△BCD中，BC=CD=x；Rt△ACD中，AC=CD/tan30°=x√3；由AC-BC=10，得x√3-x=10→x=10/(√3-1)=5(√3+1)≈13.66米。##四、教学使用建议1.PPT使用：例题页面可设置动画，分步展示解答过程，避免一次性呈现；三角函数定义页面可搭配动态配图，强化“对边、邻边”的对应关系。2.课堂互动：练习环节采用“独立完成+小组互查”模式，变式题鼓励学生分享不同解题思路（如用勾股定理vs三角函数）。3.工具准备：提前让学生熟悉计算器的角度模式（确保为“DEG”模式），并演示三角函数值的计算步骤。4.分层教学：基础薄弱学生重点掌握前2道例题和基础练习题，能力较强学生可尝试拓展延伸题，教师针对性点拨。已知两边解直角三角形在图中的Rt△ABC中，(1)根据∠A=75°，斜边

AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？合作探究ABC675°(2)根据

AC=2.4，AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ABC62.4

在直角三角形中，除直角外有

5

个元素（即

3

条边、2

个锐角），只要知道其中的

2

个元素（至少有

1

个是边），就可以求出其余的

3

个未知元素.像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.ABC解：典例精析例1

如图，在

Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=，，解这个直角三角形.已知Rt△ABC中，∠C

=90°，a=30，b=20，解此直角三角形.

解：根据勾股定理得ABCb=20a=30c练一练已知一边及一锐角解直角三角形例2

如图，在

Rt△ABC

中，∠C

=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).ABCb=20ca35°解：1.在Rt△ABC中，∠C

=90°，∠B

=72°，c=14.根据条件解直角三角形.ABCbac=14解：练一练2.如图，已知AC=4，求AB和BC的长．提示：作

CD⊥AB

于点

D，根据三角函数的定义，在

Rt△ACD

和

Rt△CDB

中，即可求出CD，AD，BD的长，从而得解．在

Rt△CDB

中，∠DCB

=∠ACB－∠ACD

=

45°，解：如图，作

CD⊥AB

于点

D.在

Rt△ACD

中，∵∠A

=

30°，∴∠ACD

=

90°

-

∠A

=

60°，∴

BD

=

CD

=

2.D在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.已知一锐角三角函数值解直角三角形例3

如图，在Rt△ABC

中，∠C=90°，cosA=，BC=5，试求

AB的长.ACB解：设1.在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，sin

A=，BC

=

6，则

AB

的长为

(

)A．4B．6C．8D．10D2.如图，在菱形

ABCD

中，AE⊥BC

于点

E，EC

=

4，sin

B=，则菱形的周长是()

A．10B．20C．40D．28C练一练提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.例4

在△ABC

中，AB

=，AC

=

13，cosB

=，求

BC的长.解：∵cosB=，∴∠B

=

45°.当△ABC

为钝角三角形时，如图①.∵AC

=

13，∴由勾股定理得

CD

=

5.∴BC

=

BD

-

CD

=

12

-

5

=

7.图①当△ABC

为锐角三角形时，如图②，此时

BC

=

BD

+

CD

=

12

+

5

=

17.综上可知，BC的长为7或17.图②2.如图，在

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，∠B

=

30°，

AB

=

8，则

BC

的长是(

)

D

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，

∠B，∠C的对边，则下列各式正确的是(

)A.b=a·tanAB.b=c·sinAC.b=c·cosAD.a=c·cosAACB

C3.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=37°，BC=32，

则

AC=

(参考数据：sin37°

≈0.60，cos37°

≈

0.80，tan37°

≈0.75