湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（含解析）

湖南省娄底市部分普通高中2024-2025学年高一上学期1月期末联考数学试题一、单选题1．设集合则（

）A． B． C． D．2．设命题，则p是q的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要3．函数零点所在区间为（

）A． B． C． D．4．已知，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．下列函数是偶函数的是（

）A． B．C． D．6．不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．7．若函数，则等式（

）A．5 B．6 C．63 D．648．已知函数是定义上的偶函数，且，若在区间上是减函数，则（

）A．在区间上是增函数，在区间上是增函数B．在区间上是增函数，在区间上是减函数C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．在区间上是减函数，在区间上是减函数二、多选题9．下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．若函数（，且）的图象过点，则（

）A．B．C．函数在上单调递增D．11．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若是偶函数，则B．若的解集是，则C．若，则恒成立D．，，在上单调递增三、填空题12．函数的定义域为．13．．14．借助信息技术计算的值，我们发现当时的底数越来越小，而指数越来越大，随着越来越大，会无限趋近于（是自然对数的底数）．根据以上知识判断，当越来越大时，会趋近于四、解答题15．已知集合，全集．(1)当时，求(2)若，求实数a的取值范围．16．已知．(1)化简求值：；(2)若是第一象限角，，且，求的值．17．已知函数．(1)求的最小正周期和最大值；(2)将的函数图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为，矩形广告的总面积为.

(1)将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围；(2)当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.19．已知函数，对于任意的，都有，当时，．(1)求的值；(2)判断的奇偶性和单调性；(3)设函数，若方程有2个不同的解，求m的取值范围．

参考答案1．D【详解】因为，所以，故D正确.故选：D2．A【详解】当时，必有成立，反之不成立，故p是q的充分不必要条件，故选：A3．B【详解】函数的定义域为，且连续.因为在单增，在单增，所以在单增.，，.所以函数零点所在区间为.故选：B4．C【详解】由题意得，由基本不等式得，当且仅当时取等，此时解得，则的最小值为，故C正确.故选：C5．A【详解】A选项，定义域为R，，故为偶函数，A正确；B选项，由指数函数图象知，为非奇非偶函数，B错误；C选项，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；D选项，的定义域为R，且，故为奇函数，D错误.故选：A6．B【详解】由，得，解得或，则不等式的解集为或.故选：B.7．A【详解】因为，所以，则，故A正确.故选：A8．B【详解】因为，所以函数关于成轴对称，所以区间与区间，区间与关于对称，由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数，又函数是偶函数，所以函数在上是增函数，所以函数在上是减函数，故选：B9．BD【详解】A.当时，，故错误；B.因为，所以，故正确；C.当时，，故错误；D.若，则，故，所以，故正确；故选：BD10．ACD【详解】由题意函数（，且）的图象过点，得，A正确；由于在上单调递增，故，B错误；由于，故函数在上单调递增，则，CD正确；故选：ACD11．ABD【详解】对于A选项，函数的定义域为，若函数为偶函数，则，即，即对任意的恒成立，则，A对；对于B选项，若不等式的解集为，则且、为方程的两根，则，解得，故，B对；对于C选项，若，则，，故不恒成立，C错；对于D选项，当时，因为，则在上单调递增，当时，函数的对称轴为直线且，由二次函数的单调性可知，函数在上单调递增，因此，，，在上单调递增，D对.故选：ABD.12．且【详解】由题设，可得且，则定义域为且.故答案为：且13．【详解】故答案为：14．【详解】由题意知，由越来越大时，会无限趋近于，故越来越大时，会无限趋近于，则会无限趋近，故会无限趋近于.故答案为：.15．(1)(2)【详解】（1）当时，，或，故．（2）因为，所以，解得，实数a的取值范围为．16．(1)(2)【详解】（1）原式（2）由为第一象限角，且，即，解得，；又，且，故．17．(1)(2)【详解】（1）由题意：，由此可得：（2）由题意可知：，因为为偶函数，所以，解得，

又因为，所以当时，的最小值为.18．(1)，(2)当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.【详解】（1）单个矩形栏目的长度为，，（2）由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.19．(1)(2)为奇函数；函数是上的减函数(3)或．【详解】（1）令，代入得，所以．（2）令，代入，可得