2025 八年级数学下册矩形的折叠问题专项练习课件

一、从生活到数学：折叠问题的核心逻辑演讲人1.从生活到数学：折叠问题的核心逻辑2.矩形性质的深度回顾：折叠问题的“地基”3.折叠问题的四大类型与解题策略4.常见易错点与突破策略5.实战演练：从基础到拔高6.总结与升华目录2025八年级数学下册矩形的折叠问题专项练习课件作为一名深耕初中数学教学十余年的一线教师，我始终相信：几何问题的魅力在于“动”与“静”的转化，而矩形的折叠问题正是这种转化的典型载体。它不仅能检验学生对矩形基本性质的掌握，更能培养空间想象、逻辑推理和方程建模的综合能力。今天，我们就围绕“矩形的折叠问题”展开专项突破，从基础概念到复杂题型，逐步拆解，让每一个折叠操作都成为思维提升的阶梯。01从生活到数学：折叠问题的核心逻辑1折叠现象的生活原型在课堂上，我常让学生观察身边的折叠现象：课本的内页对折、试卷的边缘翻折、手工课上的纸船折叠……这些看似普通的操作，背后都隐藏着数学本质——轴对称变换。折叠的本质是将图形的一部分以某条直线（折痕）为对称轴，映射到另一部分的位置上。对于矩形而言，其本身的轴对称性（对边中点连线为对称轴）与折叠操作的对称性形成天然呼应，这是解决问题的关键切入点。2折叠问题的数学本质从数学定义出发，折叠操作满足以下核心性质（板书时我会用红笔标注）：对应边相等：折叠前后，被覆盖的线段与原线段关于折痕对称，即(AB=A'B')（(A')为(A)的对应点）；对应角相等：折叠前后的角大小不变，即(\angleABC=\angleA'B'C')；折痕是对称轴：折痕垂直平分对应点的连线，即折痕(l)是(AA')的垂直平分线，满足(l\perpAA')且(l)平分(AA')。这些性质如同“折叠问题的钥匙”，后续所有分析都需以此为基础展开。02矩形性质的深度回顾：折叠问题的“地基”矩形性质的深度回顾：折叠问题的“地基”要解决矩形的折叠问题，必须先牢固掌握矩形的核心性质（此处可让学生集体背诵，再由教师补充拓展）：1矩形的定义与基本性质矩形是“有一个角是直角的平行四边形”，其基本性质可归纳为“三特一轴”：01角特殊：四个角都是直角（(90^\circ)）；02边特殊：对边平行且相等（(AB=CD)，(AD=BC)）；03对角线特殊：对角线相等且互相平分（(AC=BD)，(AO=OC=BO=OD)）；04轴对称性：矩形是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点连线），也是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。052矩形与折叠的“天然适配”正因为矩形的四个角都是直角，折叠后形成的新图形中必然存在大量直角三角形；而矩形的对边相等、对角线相等，则为利用勾股定理、全等三角形或相似三角形解题提供了便利。例如，当我们将矩形的一个角折叠到对边上时，折痕与矩形边形成的三角形往往是等腰三角形或直角三角形，这是解题的常见突破口。03折叠问题的四大类型与解题策略折叠问题的四大类型与解题策略通过对近五年中考真题和人教版教材习题的梳理，矩形的折叠问题可分为四大类：求角度、求边长、求面积、存在性问题。接下来，我们逐一拆解，结合例题讲解“观察—标记—建模—求解”的四步解题法。1类型一：求角度——抓住“对应角相等”与“直角”典型例题：如图1，矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=6)，将(\triangleABC)沿(AC)折叠，点(B)落在点(B')处，求(\angleB'CD)的度数。分析过程（边画边讲，用不同颜色粉笔区分原图形与折叠部分）：观察：折叠后(\triangleABC\cong\triangleAB'C)，故(\angleBAC=\angleB'AC)，(\angleABC=\angleAB'C=90^\circ)；标记：在图中标注已知边长(AB=4)，(BC=6)，则(AC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13})；1类型一：求角度——抓住“对应角相等”与“直角”找关联角：(\angleBAC=\arctan\left(\frac{BC}{AB}\right)=\arctan\left(\frac{6}{4}\right)=\arctan(1.5))，则(\angleB'AC=\arctan(1.5))；计算目标角：(\angleB'CD=90^\circ-\angleACB-\angleB'CA)，而(\angleACB=\arctan\left(\frac{AB}{BC}\right)=\arctan\left(\frac{4}{6}\right)=\arctan\left(\frac{2}{3}\right))，由于(\angleB'CA=\angleACB)（折叠对应角），故(\angleB'CD=90^\circ-2\arctan\left(\frac{2}{3}\right))。1类型一：求角度——抓住“对应角相等”与“直角”总结：求角度问题的关键是利用折叠的“对应角相等”性质，结合矩形的直角条件，将目标角转化为已知角的和或差，必要时用三角函数辅助计算。2类型二：求边长——构建方程，利用勾股定理典型例题：如图2，矩形(ABCD)中，(AB=8)，(AD=10)，将边(AD)沿折痕(AE)折叠，使点(D)落在(BC)边上的点(F)处，求(EF)的长。分析过程（此处可让学生先尝试，再讲解）：标记已知与未知：设(DE=x)，则(EF=x)（折叠对应边相等），(EC=8-x)；利用矩形性质找边长：(AF=AD=10)（折叠对应边相等），在(\triangleABF)中，(AB=8)，(AF=10)，由勾股定理得(BF=\sqrt{10^2-8^2}=6)，故(FC=BC-BF=10-6=4)；2类型二：求边长——构建方程，利用勾股定理在(\triangleEFC)中列方程：(EF^2=EC^2+FC^2)，即(x^2=(8-x)^2+4^2)；解方程：展开得(x^2=64-16x+x^2+16)，化简得(16x=80)，解得(x=5)，故(EF=5)。总结：求边长问题的核心是“设未知数+勾股定理”。折叠会产生相等的线段（如(DE=EF)），而矩形的对边相等（(BC=AD)）、直角（(\angleB=\angleC=90^\circ)）为构建直角三角形提供了条件，通过设未知数列方程是最常用的方法。3类型三：求面积——拆分图形，结合边长与高典型例题：如图3，矩形(ABCD)中，(AB=6)，(BC=8)，将矩形沿对角线(BD)折叠，点(C)落在点(C')处，求重叠部分（(\triangleBED)）的面积。分析过程（强调“重叠部分”的对称性）：确定重叠部分形状：折叠后(\triangleBCD\cong\triangleBC'D)，故(\angleCBD=\angleC'BD)，又(AD\parallelBC)（矩形对边平行），故(\angleADB=\angleCBD)（内错角相等），因此(\angleEBD=\angleEDB)，即(\triangleBED)是等腰三角形（(BE=DE)）；3类型三：求面积——拆分图形，结合边长与高设未知数表示边长：设(BE=DE=x)，则(AE=AD-DE=8-x)；在(\triangleABE)中用勾股定理：(AB^2+AE^2=BE^2)，即(6^2+(8-x)^2=x^2)；解方程求(x)：(36+64-16x+x^2=x^2)，化简得(16x=100)，(x=6.25)；计算面积：(S_{\triangleBED}=\frac{1}{2}\timesDE\timesAB=\frac{1}{2}\times6.25\times6=18.75)（或用底乘高，底(BD=10)，高可通过面积法计算）。3类型三：求面积——拆分图形，结合边长与高总结：求面积问题需先明确重叠部分的形状（如等腰三角形、直角三角形），再利用折叠性质找到边长关系，结合矩形的边长和勾股定理求出关键边长，最后用面积公式计算。4类型四：存在性问题——分类讨论，验证合理性典型例题：如图4，矩形(ABCD)中，(AB=5)，(BC=12)，点(E)在(AD)上，将(\triangleABE)沿(BE)折叠，点(A)落在点(A')处，是否存在点(E)使得(A')落在(CD)边上？若存在，求(AE)的长；若不存在，说明理由。分析过程（强调“存在性问题”的解题逻辑：假设存在→推导→验证）：假设存在：设(AE=x)，则(A'E=x)（折叠对应边相等），(ED=12-x)；标记(A')的位置：设(A')在(CD)上，故(A'D=y)，则(A'C=5-y)（(CD=AB=5)）；4类型四：存在性问题——分类讨论，验证合理性利用勾股定理列方程：在(\triangleA'BC)中，(A'B=AB=5)（折叠对应边相等），(BC=12)，故(A'C=\sqrt{A'B^2-BC^2})？不，这里错误！（此处故意犯错，引导学生纠正）正确思路：(A')在(CD)上，故(\triangleA'DE)是直角三角形（(\angleD=90^\circ)），由(A'E^2=A'D^2+DE^2)，即(x^2=y^2+(12-x)^2)①；4类型四：存在性问题——分类讨论，验证合理性同时，在(\triangleA'BC)中，(A'B=AB=5)，(BC=12)，(A'C=5-y)，由勾股定理(A'B^2=A'C^2+BC^2)，即(5^2=(5-y)^2+12^2)②；01解方程②：(25=25-10y+y^2+144)，化简得(y^2-10y+144=0)，判别式(\Delta=100-576=-476<0)，无实数解，说明假设错误；02（此处学生可能疑惑，教师需纠正：(A'B=AB=5)是错误的，折叠后(A'B=AB=5)正确，但(A')在(CD)上时，(A'C)应为(CD-A'D=5-y)，034类型四：存在性问题——分类讨论，验证合理性而(BC=12)是矩形的长，(\triangleA'BC)中(BC)是直角边吗？不，(\angleC=90^\circ)，故(A'B^2=A'C^2+BC^2)正确，但计算发现无解，说明不存在这样的点(E)。）总结：存在性问题需先假设存在，通过折叠性质和矩形性质建立方程，若方程有解且符合实际（边长为正），则存在；否则不存在。解题时需注意图形的位置关系，避免错误应用勾股定理。04常见易错点与突破策略常见易错点与突破策略在多年教学中，我发现学生在解决折叠问题时容易出现以下误区（结合学生作业中的典型错误讲解）：1误区一：忽略折叠的对称性错误表现：折叠后对应点的连线被折痕垂直平分，但学生常忘记这一性质，导致无法找到关键线段的垂直关系。突破策略：在图中用虚线连接对应点（如(AA')），并标注折痕(l)，明确(l\perpAA')且(l)平分(AA')，必要时用符号“(\perp)”和“中点”标记。2误区二：漏解或多解错误表现：折叠问题中，点可能落在不同边上（如(CD)或(BC)），学生常只考虑一种情况。突破策略：在分析时，先确定折叠后对应点的可能位置（如矩形的四条边或内部），分类讨论，逐一验证。3误区三：计算错误错误表现：勾股定理应用时，边长平方计算错误（如(8^2=60)等低级错误）。突破策略：强调“慢计算，重检查”，要求学生在草稿纸上分步计算，关键步骤用红笔标注。05实战演练：从基础到拔高1基础题（巩固核心性质）如图5，矩形(ABCD)中，(AB=3)，(AD=4)，沿对角线(AC)折叠，点(B)落在(B')处，求(B'D)的长。（答案：(\frac{7}{5})）2提升题（综合应用）如图6，矩形(ABCD)中，(AB=