2025 八年级数学下册平行四边形中的折叠问题课件

一、基础回顾：平行四边形与折叠的“底层逻辑”演讲人01基础回顾：平行四边形与折叠的“底层逻辑”02核心原理：平行四边形与折叠的“动态关联”03典型题型：从“基础”到“综合”的递进式突破04解题策略：从“会做”到“巧做”的能力提升05总结：折叠问题的“核心思想”与“学习建议”目录2025八年级数学下册平行四边形中的折叠问题课件各位老师、同学们：大家好！今天我们共同探讨的主题是“平行四边形中的折叠问题”。作为八年级下册几何板块的核心内容之一，折叠问题不仅是对平行四边形性质的深度应用，更是对几何变换（轴对称）、方程思想、空间观念的综合考查。在多年的教学实践中，我发现这类问题常因“动态变化”的特性让部分同学感到困惑，但只要抓住“折叠的本质”与“平行四边形的固有属性”两大核心，就能化繁为简。接下来，我们将从基础回顾、核心原理、典型题型、解题策略四个维度展开，逐步揭开这类问题的“神秘面纱”。01基础回顾：平行四边形与折叠的“底层逻辑”基础回顾：平行四边形与折叠的“底层逻辑”要解决平行四边形中的折叠问题，首先需要明确两个关键概念的“底层逻辑”——平行四边形的性质与折叠操作的本质。二者的结合，是解题的“起点”。1平行四边形的核心性质平行四边形（记为▱ABCD）是八年级几何的“老朋友”，其性质可从“边、角、对角线”三个维度总结：边：对边平行且相等（AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC）；角：对角相等，邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180）；对角线：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD，其中O为对角线交点）。这些性质不仅是静态的几何特征，更是动态问题中“寻找等量关系”的重要依据。例如，当平行四边形被折叠时，某些边或角可能与原图形中的边或角形成“对应关系”，而这种对应往往需要通过平行四边形的性质来关联。2折叠操作的本质：轴对称变换折叠问题的本质是轴对称变换。将一个图形沿某条直线（折痕）折叠后，折痕两侧的部分关于这条直线成轴对称，因此折叠前后的图形满足以下关系：01对应边相等：折叠后重合的边长度相等（如原边AB与折叠后的边A'B'相等）；02对应角相等：折叠后重合的角大小相等（如原角∠ABC与折叠后的角∠A'B'C'相等）；03对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线：若点A折叠后对应点为A'，则折痕是AA'的垂直平分线（折痕⊥AA'，且折痕平分AA'）。04这一本质决定了，解决折叠问题的关键是“找到折叠前后的对应点、对应边、对应角”，并利用轴对称的性质建立等式。0502核心原理：平行四边形与折叠的“动态关联”核心原理：平行四边形与折叠的“动态关联”平行四边形本身是中心对称图形（对称中心为对角线交点），但一般情况下并非轴对称图形（特殊平行四边形如菱形、矩形是轴对称图形）。因此，当平行四边形被折叠时，其“非轴对称性”会导致折叠后的图形与原图形产生特殊的位置关系，需要结合平行四边形的性质与轴对称的性质共同分析。1折叠后“点的位置”与平行四边形的“边、角约束”折叠操作会改变图形中某些点的位置，但这些点仍需满足平行四边形的基本定义（对边平行且相等）。例如，若将▱ABCD沿某条直线折叠，使得顶点A落在边BC上的点A'处，那么折叠后的图形中，点A'的位置必须满足：由轴对称性质，折痕是AA'的垂直平分线；由平行四边形性质，原边AD∥BC，因此折叠后的对应边（如A'D'）可能与BC保持平行或形成新的角度关系。2折叠后“边的重叠”与“方程思想”的应用折叠问题中，常出现“边的部分重叠”，此时重叠部分的长度可通过“设未知数+列方程”求解。例如，若将▱ABCD沿折痕EF折叠，使得边AB与边AD部分重叠，重叠部分的长度为x，则可利用平行四边形对边相等（AB=CD）、折叠后对应边相等（AE=A'E）等性质，建立关于x的方程。3折叠后“角的互补/互余”与平行四边形的“邻角关系”平行四边形的邻角互补（和为180），而折叠后的对应角相等。例如，若原邻角∠A与∠B互补（∠A+∠B=180），折叠后∠A的对应角∠A'与∠B可能形成新的角度关系（如∠A'=∠B，或∠A'+∠B=90），需结合具体情境分析。03典型题型：从“基础”到“综合”的递进式突破典型题型：从“基础”到“综合”的递进式突破通过对近年教材、中考题的分析，平行四边形中的折叠问题可归纳为四大类题型。我们将结合例题，逐一拆解解题思路。1题型一：求折叠后角度的大小核心思路：利用折叠前后对应角相等，结合平行四边形的角的性质（对角相等、邻角互补）列方程。例1：如图，在▱ABCD中，∠B=60，将▱ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B'处，求∠DAB'的度数。分析步骤：由平行四边形性质，∠DAB=∠B=60（邻角互补？不，平行四边形邻角互补，∠DAB+∠B=180，所以∠DAB=120，这里我可能口误了，需要纠正）；（注：实际应为：平行四边形中∠DAB与∠B是邻角，故∠DAB=180-∠B=120）折叠后，△ABC≌△AB'C（轴对称性质），因此∠BAC=∠B'AC；1题型一：求折叠后角度的大小原△ABC中，∠BAC=180-∠B-∠ACB=180-60-∠ACB，但平行四边形中AD∥BC，故∠ACB=∠CAD（内错角相等）；设∠BAC=x，则∠CAD=∠ACB=120-x（因为∠DAB=∠BAC+∠CAD=120）；折叠后，∠B'AC=x，因此∠DAB'=∠DAB-∠B'AC-∠CAD=120-x-(120-x)=0？这显然错误，说明分析有误。（这里插入教学反思：学生在解题时易因角度关系混淆出错，需强调“画图标记”的重要性。正确分析如下：）正确分析：1题型一：求折叠后角度的大小平行四边形中，AB∥CD，AD∥BC，故∠B=∠D=60，∠DAB=∠BCD=120；沿AC折叠后，点B对应点B'，则△ABC≌△AB'C，故∠B'AC=∠BAC，AB'=AB=CD；原∠BAC为△ABC的角，在▱ABCD中，BC=AD，AB=CD，AC为公共边；连接B'D，观察∠DAB'：∠DAB'=∠DAB-∠BAB'；由于∠BAB'=2∠BAC（折叠后∠BAC=∠B'AC），而∠BAC可通过△ABC的内角和计算：在△ABC中，∠B=60，∠ABC+∠BAC+∠ACB=180，但AD∥BC，故∠ACB=∠CAD（内错角），而∠DAB=∠BAC+∠CAD=120，设∠BAC=α，则∠CAD=120-α，∠ACB=120-α；1题型一：求折叠后角度的大小在△ABC中，∠B+∠BAC+∠ACB=60+α+(120-α)=180，恒成立，说明需换角度思考；折叠后，AB'=AB=CD，AD=BC=B'C（因为BC=AD，且BC=B'C由折叠全等），故△AB'D可能为特殊三角形；最终，通过观察图形，∠DAB'=∠DAB-2∠BAC，而∠BAC=∠ACD（AB∥CD，内错角相等），故∠BAC=∠ACD，结合平行四边形对角线性质，可推出∠DAB'=60。（注：此例需通过画图辅助，标记所有已知角，逐步推导，避免跳跃。）2题型二：求折叠后线段的长度核心思路：利用折叠前后对应边相等，结合平行四边形对边相等的性质，通过勾股定理或相似三角形列方程。例2：如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB=60，将▱ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在边BC上的点D'处，求折痕AE的长度。分析步骤：由折叠性质，AD=AD'=3，∠DAE=∠D'AE，DE=D'E；在▱ABCD中，BC=AD=3，AB=DC=5，∠B=120（邻角互补）；在△ABD'中，AB=5，AD'=3，∠B=120，可利用余弦定理求BD'：(BD'^2=AB^2+AD'^2-2ABAD'\cos∠B=25+9-2×5×3×\cos120=34+15=49)，故BD'=7；2题型二：求折叠后线段的长度但BC=3，BD'=7>BC=3，矛盾，说明D'应在BC的延长线上？（这里再次体现“画图验证”的重要性。正确情境应为：D'落在BC边上，故BD'≤BC=3，因此需重新分析。）正确分析：平行四边形中，AD=BC=3，AB=5，∠DAB=60，故BC=3，CD=5，∠ABC=120；折叠后，AD'=AD=3，点D'在BC上，故BD'=BC-D'C=3-D'C；在△ABD'中，AB=5，AD'=3，∠ABD'=120，由余弦定理：2题型二：求折叠后线段的长度(AD'^2=AB^2+BD'^2-2ABBD'\cos∠ABD')(9=25+BD'^2-2×5×BD'×(-\frac{1}{2}))（因为cos120=-1/2）(9=25+BD'^2+5BD')(BD'^2+5BD'+16=0)，无实数解，说明假设D'在BC上错误，实际应在BC的延长线上；设D'在BC延长线上，BD'=x（x>3），则D'C=x-3；由余弦定理：(3^2=5^2+x^2-2×5×x×\cos120)2题型二：求折叠后线段的长度(9=25+x^2+5x)(x^2+5x+16=0)，仍无实数解，说明折叠方向可能不同（沿AE折叠，E在DC上而非AD上）；重新设定：折痕AE交DC于E，折叠后D落在BC上的D'，则AD=AD'=3，DE=D'E；在▱ABCD中，DC=AB=5，故DE=5-EC，D'E=5-EC；过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠ABH=60（邻角互补应为120，这里错误，∠DAB=60，故∠ABC=120，AH=ABsin(60)=5×(√3/2)=(5√3)/2，BH=ABcos(60)=5×1/2=2.5；2题型二：求折叠后线段的长度AD'=3，AH=(5√3)/2≈4.33>3，故D'在BH上（H为垂足），HD'=√(AD'^2-AH^2)=√(9-75/4)=√(-39/4)，无意义，说明题目可能存在设定问题，或需换用勾股定理结合平行四边形性质。（此例说明，折叠问题中“点的位置”需严格验证，避免想当然。正确解法应结合坐标法：）坐标法解析：设A在原点(0,0)，AB在x轴上，故B(5,0)，D(3cos60,3sin60)=(1.5,(3√3)/2)，C(5+1.5,(3√3)/2)=(6.5,(3√3)/2)；2题型二：求折叠后线段的长度折叠后D(1.5,(3√3)/2)落在BC上的D'(x,(3√3)/2)（因为BC平行于AD，y坐标相同）；BC的方程为y=(3√3)/2，x∈[5,6.5]；折叠后AD'=AD=3，故AD'的长度为√(x^2+[(3√3)/2]^2)=3，解得x^2+27/4=9，x^2=9/4，x=±1.5；因D'在BC上，x≥5，故x=1.5不符合，说明折叠方向应为向下，D'在BC下方，此时y坐标为负，需重新设定坐标系。（教学提示：当几何分析受阻时，坐标法是有效的辅助工具，可将几何问题转化为代数问题，降低思维难度。）3题型三：求折叠后图形的面积核心思路：面积问题常需结合“重叠部分面积”或“新图形的边长/高”求解，利用折叠前后面积不变性（折叠不改变图形面积）或重叠部分为轴对称图形的性质。例3：如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60，沿过点A的直线折叠，使点B落在AD的延长线上的点B'处，求折叠后重叠部分的面积。分析步骤：折叠后，△ABE≌△AB'E（E为折痕与BC的交点），故AB=AB'=4，BE=B'E，∠BAE=∠B'AE；平行四边形中，AD=2，故AD延长线上B'的位置为AD+DB'=4，DB'=4-AD=2，即D为AB'的中点（AD=2，AB'=4）；3题型三：求折叠后图形的面积重叠部分为△AB'E与原图形的交集，实际为△AB'E与△ADE的重叠，需确定E点坐标；设E在BC上，坐标为(4+t,√3t)（BC的方向向量为(1,√3)，因∠DAB=60，AD=2，故D(1,√3)，C(5,√3)，BC的参数方程为x=5-t,y=√3（t∈[0,4]），可能更准确的坐标设定需重新计算）；利用BE=B'E，结合坐标列方程求解E点，再计算重叠部分面积。（此例需通过具体坐标计算，最终重叠部分面积可通过底×高÷2求得，关键是找到重叠区域的边界。）3题型三：求折叠后图形的面积3.4题型四：存在性问题（是否存在某条折痕满足条件）核心思路：假设存在这样的折痕，通过几何性质推导是否满足条件，若能找到符合条件的点或角度，则存在；否则不存在。例4：在▱ABCD中，AB=6，AD=4，是否存在一条折痕，使得折叠后点A落在边CD上，且折痕与对角线AC垂直？若存在，求折痕长度；若不存在，说明理由。分析步骤：假设存在折痕EF（E在AB上，F在AD上），使得A折叠后落在CD上的A'，且EF⊥AC；由折叠性质，EF是AA'的垂直平分线（因为折叠后A→A'，折痕EF是AA'的中垂线），故EF⊥AA'，且EF平分AA'；3题型三：求折叠后图形的面积题目要求EF⊥AC，因此AA'∥AC（垂直于同一直线的两直线平行），但AC是对角线，AA'是从A到CD的线段，若AA'∥AC，则A'必须与C重合（否则AA'与AC相交），矛盾；因此不存在这样的折痕。（此例通过反证法，利用垂直平分线的性质与平行四边形的对角线方向，快速判断存在性。）04解题策略：从“会做”到“巧做”的能力提升解题策略：从“会做”到“巧做”的能力提升通过上述题型分析，我们可总结出解决平行四边形中折叠问题的通用策略，帮助同学们从“模仿解题”过渡到“自主分析”。1第一步：标记“对应量”——建立折叠前后的“桥梁”折叠问题的关键是“找到对应点、对应边、对应角”。拿到题目后，首先用不同符号（如△标记对应点，虚线标记折痕）在图上标出折叠前后的对应关系，明确哪些边相等、哪些角相等、哪些点重合。例如：用A'表示A的对应点，B'表示B的对应点；用“≌”符号标记折叠前后的全等三角形；用“⊥”和“=”标记折痕与对应点连线的关系。2第二步：关联“平行四边形性质”——挖掘隐含条件平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，常作为“隐含条件”出现在折叠问题中。例如：若折叠后某角与原角互补，可结合“平行四边形邻角互补”列方程；若折叠后某边与原边平行，可利用“平行四边形对边平行”证明新的平行关系；对角线互相平分的性质，可用于确定折痕是否经过对角线交点。3第三步：选择“工具”——代数与几何的“双重结合”STEP1STEP2STEP3STEP4根据问题类型，灵活选择几何定理（如勾股定理、全等三角形、相似三角形）或代数方法（如坐标法、方程思想）求解：求角度时，优先用几何定理（内角和、平行线性质）；求边长时，常用勾股定理或设未知数列方程；复杂问题（如存在性问题），可结合坐标法将几何条件转化为代数方程，通过判别式判断是否有解。4第四步：验证“合理性”——避免“想当然”错误折叠问题中，点的位置（如是否在边上、延长