专题4-1 等差数列及函数性质13题型（期末复习专项训练）（解析版）

2/24专题4-1等差数列与函数性质题型1等差数列定义与判定题型9比值错项型题型2构造递推型定义（常考点）题型10前n项和的二次函数性质（重点）题型3等差数列函数性质：单调性（重点）题型11等差数列正负不等式型（难点）题型4等差中项性质题型12等差数列压轴题型5等差数列“高斯”性质（常考点）题型13等差数列压轴第19题题型6奇数项与偶数项和题型7sn与an关系（重点）题型8双等差比值型2/24题型一、定义与判定（共3小题）1．（2025高三·全国·专题练习）“存在，使得”是“为等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别根据充分性、必要性的概念及等差数列的性质定义判断即可.【详解】必要性：若为等差数列，设其公差为，则，故存在，使得，故满足必要性；充分性：若存在，使得，则，两式相减可得，所以可知数列中的奇数项，偶数项分别成等差数列，但数列不一定是等差数列，如时，数列，故不满足充分性.所以“存在，使得”是“为等差数列”的必要不充分条件，故选：B2．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由题设等式作差推得，再由和的关系推出，结合条件得到为公差是2的等差数列，利用通项公式计算即得.【详解】由题知①，则②，由①－②，可得：，即，，，在已知等式中令，得，则，显然满足上式，故有③，则④．由③－④，可得：，即，即，∵，∴，故为公差是2的等差数列，又由可解得，∴．故选：A.3．（24-25高三上·黑龙江·月考）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可.【详解】对任意的，都有，令，可以得到，因此是公差为的等差数列；若，则，，，可得，故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件.故选：A题型二、构造递推型定义（共3小题）4．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，设数列的前n项和为，前n项积为，则下列说法错误的是（

）A．数列是等差数列 B．数列的最大项为C．使得取得最小值的n为7 D．有最小值，无最大值【答案】B【分析】根据题意，化简得到，求得，得到，可得判定A正确；由等差数列的通项公式，求得，结合且，可判定B错误；由通项公式，得到数列取值的正负，可判定C正确；求得的表达式，得到或时，且，当或时，，进而可判定D正确.【详解】由数列满足，可得，则，可得，即，因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以A正确；由等差数列的通项公式，可得，所以，因为，而，所以不是数列的最大项，所以B错误；当时，；当时，；当时，，可得在时取得最小值，所以C正确；由，当或时，且，此时取得最小值；当或时，，且无最大值，所以D正确.故选：B.5．（24-25高二下·广东茂名·月考）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可.【详解】依题意，对消去，得，等价于，所以，所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列，与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误．故选：D．6．（24-25高二下·广东广州·开学考试）设数列的前项之积为，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值．【详解】由，得，即，解得，当时，，显然，则，因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，则，所以.故选：C题型三、等差函数性质：单调性（共3小题）7．（24-25高二下·北京海淀·期末）设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】作差法得到，若递减，可得为递增数列，充分性成立，可以举出实例说明必要性不成立，从而可得答案.【详解】若递减，则因此需要满足：且恒成立；若，，则对所有成立，若，，则存在使得，与矛盾递减的充要条件是且，即若递减，则为递增数列，充分性成立；若为递增数列，则，，由于不知道的正负，故无法判断的正负，故不能得到为递减数列，必要性不成立，例如为以下数列：，则为，不是递减数列，所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件.故选：A.8．（23-24高二下·重庆·月考）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解.【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立，当是递增数列，则，若，则单调递减，显然不恒成立，所以，所以必要性成立，所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件.故选：B9．（2020·广东广州·二模）首项为﹣21的等差数列从第8项起开始为正数，则公差d的取值范围是（

）A．d>3 B．d C．3≤d D．3<d【答案】D【分析】根据从第8项起开始为正数，可得a7≤0，a8＞0，利用“”法求解.【详解】an＝﹣21+（n﹣1）d．∵从第8项起开始为正数，∴a7＝﹣21+6d≤0，a8＝﹣21+7d＞0，解得3＜d．故选：D．【点睛】本题主要考查等差数列的单调性及通项公式，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.题型四、等差中项性质（共3小题）10．（24-25高二下·山东德州·月考），若存在使得成等差数列，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由，解得，依题意，存在使得成等差数列，即存在使得，即存在使得，则，，设，则，函数的开口向上，对称轴为，所以函数在区间上单调递增，则，所以，而且，所以.故选：B11．（24-25高一下·上海·月考）若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足则称成“β等差数列”．已知集合，则由M中的三个元素组成的所有数列中“β等差数列”的个数为（

）A．50 B．51 C．100 D．101【答案】A【分析】利用等差数列结合已知等式建立方程组可解得，，从而可得这样的三个数满足的条件中的有多少个，即可得到判断.【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列可得：，又因为消得：，因为是三个非零且互不相等的实数，所以解得：，即，此时的三个数分别为，所以在集合中的三个元素组成的所有数列中“β等差数列”，必满足为偶数，且属于，又因为，所以可取，这样的数共有个，即由M中的三个元素组成的所有数列中“β等差数列”的个数为，故选:A.12．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列满足，则（

）A． B．5 C．5或－5 D．或【答案】C【分析】根据式子的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质和等差中项公式不断简化式子即可得解.【详解】由题，解得，故选：C.题型五、等差数列“高斯”性质（共3小题）13．（24-25高二下·陕西西安·月考）若等差数列满足，则（

）A．2025 B． C． D．【答案】B【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.【详解】由等差数列满足，则对于，，当时，，则，设，则，两式相加可得，解得.故选：B.14．（24-25高三上·江苏泰州·期中）在1和11之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第1个为，第个为，则的最小值是（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根据等差数列的性质，结合不等式的“乘1法”即可求解.【详解】由题可知，，所以有，当且仅当，即时等号成立，此时满足，，所以的最小值是3.故选：C.15．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，若存在正整数m，n，p，q满足时有成立，则等于（

）A．4 B．1C． D．由等差数列的首项的值决定【答案】B【分析】设的公差为d，则由，可得，由，可得，则，可得．【详解】设的公差为d，则，所以，，因为，所以，因为存在正整数m，n，p，q满足，所以，则，又，所以，所以．故选：B.题型六、奇数项与偶数项和（共3小题）16．（25-26高二上·江苏苏州·月考）若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（

）A．4 B．5 C．9 D．11【答案】C【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数.【详解】由题设，则，显然，所以，可得，则共有项.故选：C17．（2023·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，首项为，则，所以，因为，即，则，等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，所以.故选：B18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（

）A．10 B．19 C．21 D．29【答案】B【分析】设项数为，则，再利用等差中项的性质和等差数列的求和公式化简，然后计算可得.【详解】设项数为，则，.此数列共有19项.故选：B19．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知正项数列前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数是（

）①；②当为奇数时，；③.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】由得，当时解得，当时由递推关系得到，分奇偶讨论求出，做出判断.【详解】因为，故，即，当时，，解得，故①正确；当时，，，即，又，所以，则数列的奇数项是以3为首项，6为公差的等差数列，偶数项是以5为首项，6为公差的等差数列，则当为偶数时，，则当为奇数时，，故②正确；，故③正确.故选：D题型七、sn与an关系（共3小题）20．（23-24高二下·辽宁·期中）设为数列的前项和，若，且存在，，则的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用可得,继而可得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，根据可得或，对的取值讨论即可求解．【详解】由可得存在，使得，且因为，所以，假设，解得或（舍去），此时，由存在，，所以有或，由可得，，两式相减得：，当时，有，即，根据可知：数列的奇数项和偶数项分别是等差数列，且公差均为2，所以，解得，当时，有，即，，解得，由已知得，所以．故选：A．【点睛】关键点点睛：利用可得,得数列的奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列.21．（2024·浙江温州·三模）数列的前项和为，则可以是（

）A．18 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】易通过，可得，也可求得，但此数列存在不确定的首项，所以在求和后发现结果为，与选项中的四个数进行对比分析，发现一定不能为负整数，所以只能选C.【详解】由可得：且，由上式又有：，还有，两式相减得：，两边同时除以得：，由上式可知数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，公差为1，所以，由此数列的奇数项公式为，又由，所以可以判断一定不能为负整数，即只能有，故选：C.22．（16-17高三上·四川资阳·月考）设，分别是等差数列，的前项和，若，则A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【详解】试题分析：由，得，所以，故选A.考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前项和公式.题型八、双等差比值型（共3小题）23．（24-25高二下·云南昆明·月考）设等差数列的前项和分别是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用等差数列的前项和公式可得答案.【详解】因为等差数列，的前n项和分别是，所以.故选：A.24．（20-21高二上·甘肃白银·月考）设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】令，，求出，，进而求出，，则可得．【详解】令，，可得当时，，，当，，符合，故，，故.【点睛】由求时，，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．题型九、比值错项型（共3小题）25．（2022·四川·二模）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（

）A． B．C． D．3【答案】B【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B.26．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）设，分别是等差数列，的前n项和，若，则（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】由题可得，然后由等差数列前n项和公式及等差数列性质可得答案.【详解】令，可得.则．故选：A27．（15-16高一下·江苏宿迁·期中）设,分别是等差数列,的前项和,已知,,则．【答案】【详解】试题分析：根据等差数列的前项和公式，则，设，，则.考点：奇数项等差数列的前项和及其中间项的问题.题型十、前n项和的二次函数特征（共3小题）28．（2023·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（

）A．10 B．80 C． D．【答案】D【分析】利用等差数列前项和的结构特征假设，从而利用题设条件列式求得，进而得解.【详解】因为等差数列的前项和为，所以设，则，即，两式相减，得，所以，所以.故选：D.29．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数k为（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列前n项和的性质，列式计算即得.【详解】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，由二次函数的对称性及，，得，解得，所以正整数k为2023．故选：D30．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为．若，则的值是（

）A．5 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据的表达式为关于的二次函数，且则易得的对称轴方程，再利用对称轴方程，结合易得.【详解】设等差数列的公差为．等差数列的前项和可看作是关于的二次函数，又故对称轴方程为．又，解得．故选：B.题型十一、前n项和的最值（共3小题）31．（2024·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】法一：根据条件得到，，再利用等差数列的通项公式及前项和公式的函数性质，即可求出结果；法二：根据条件得到，建立不等不关系，即可求出结果.【详解】方法一：因为，所以，得到，设等差数列的公差为，由，得到，又，所以，所以，，又，令，其图象如图所示结合等差数列的前n项和及通项的函数特征，

由图知，n的取值范围是．方法二：由条件得，即．因为，所以，并且有，所以．由，得，整理得．因为，所以，即，解得，所以n的取值范围是，故选：C.32．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则（

）A．当时，最大 B．当时，最小C．数列中存在最大项，且最大项为 D．数列中存在最小项【答案】C【分析】根据题意分析可得，.对A：根据等差数列的前项和的性质结合二次函数分析判断；对B：分类讨论判断与的大小关系；对C、D：根据等差数列的单调性以及的正负性分析判断.【详解】设等差数列的公差为d，∵，则，即，又∵，解得，对A：∵为等差数列，则可设，由二次函数可知不存在最大值，故A错误；对B：因为，则有：当时，，故；当时，，故；当时，，；故B错误；对C、D：∵，则数列为递减数列，且，所以对，均有；对，均有0，所以中，最大，无最小项，故C正确，D错误.故选：C.33．（24-25高三上·广东东莞·月考）设等差数列的前n项和为，若>0，，则时，n的最大值为（

）A．14 B．13 C．11 D．7【答案】B【分析】根据等差数列前n项和为过原点的二次函数，利用对称性求解.【详解】∵等差数列的前n项和是二次函数，且得，∴，即,所以n的最大值为13，故选：B题型十二、等差数列正负不等式型（共3小题）34．（21-22高三上·江苏南京·月考）设是等差数列的前项和，且，则下列结论正确的有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】等差数列的前项和，即可把等差数列的前项和看成关于的二次函数，常数项为，结合二次函数的图象与性质求解即可.【详解】因为等差数列的前项和，所以由可知，，抛物线开口向下，其对称轴在之间，所以抛物线与轴正半轴交点的横坐标范围是，结合二次函数的图象和性质可知；；；.故选：A35．（2020·浙江杭州·模拟预测）设等差数列的前项和为，并满足：对任意，都有，则下列命题不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设等差数列的公差为，对分、、三种情况讨论，在时验证即可；在时，取，可设，根据恒成立求得实数的取值范围，逐一验证各选项即可；同理可判断出时各选项的正误.【详解】设等差数列的公差为，则.①当时，则，，则对任意的恒成立，A、B、C、D四个选项都成立；②当时，不妨取，记，则，由可得，即，则，令，可得；令，可得.，则，解关于的不等式，可得或，所以或.由于数列单调递减，该数列没有最小项；由双勾函数的单调性可知，函数在区间上单调递增，所以，数列单调递减，该数列的最大项为，.对于A选项，，，则，，，则，所以，，A选项成立；对于B选项，，则，，，则，所以，，B选项成立；当时，；当时，.满足，.对于C选项，，，，，当时，，所以，C选项不一定成立；对于D选项，，，所以，，D选项成立；③当时，由②同理可知，C选项不一定成立.故选：C.【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难题36．（21-22高二下·湖南·期中）已知等差数列的前n项和为，若，，则当最小时，n的值为（

）A．1010 B．1011 C．1012 D．2021【答案】B【分析】根据等差数列前项和的图象特征，由已知条件先确定抛物线的开口方向和零点范围，根据零点范围确定对称轴范围，进而结合二次函数的单调性和对称性得到答案.【详解】由于等差数列的前项和的形式，图象是由经过坐标原点的抛物线上的横坐标为正整数的所有点构成，由，可知抛物线的开口向上，且大于零的零点在区间(2021,2022)之间，因此对称轴在区间之间，离对称轴最近的横坐标为整数的点的横坐标为,∴取得最小值时n的值为1011．故选：题型十三、等差数列函数型求参（共3小题）37．（2025高三·全国·专题练习）对于数列，定义为数列的“好数”，已知某数列的“好数”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则的不可能取值为（）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，利用作差法求出的通项公式，即可得到为等差数列，依题意可得，，即可求出的取值范围.【详解】由题意，，则，当时，，两式相减得：，所以，，当时，上式对也成立，故，则，所以数列为等差数列，故对任意的恒成立可化为，；即，解得，结合四个选项，BCD符合的取值，故选：A．38．（22-23高二下·广西河池·期末）已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列递推式求出的表达式，设，可求得其表达式，根据的最大值仅为，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案.【详解】由题意，令，即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则，解得，故选：C．.39．（24-25高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由数列通项可证明数列为等差数列，再由恒成立即可得，解不等式即可求得结果.【详解】根据题意令，显然为常数；所以为等差数列，首项为，由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0，所以，即，解得，故选：A题型十三、等差数列压轴小题（共3小题）40．（21-22高一下·四川成都·期末）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，人们把函数，称为高斯函数（其中表示不超过x的最大整数，例如：，）．已知数列的首项，前n项和记为．若k为函数，值域内的任意元素，且当整数时，都有成立，则的通项公式为．【答案】【分析】先由倍角公式和辅助角公式化简，结合求出的值域，进而得到的值；再由得到，利用和得到时，，判断出是等差数列即可求解.【详解】，又时，当时，，，当时，，则；，，则，则，所以或7；又当整数时，有，则，两式相减得，即；当时，时，有，则成等差数列，设公差为；当时，时，有，则成等差数列，设公差为；则时，，，两式相减得，令，则时，，即时，，故数列从第二项开始为等差数列，又可得，当时，，即，即；当时，，即，即，解得，则，即数列是1为首项，2为公差的等差数列，则.故答案为：.【点睛】本题关键点有两个，一是通过倍角公式及辅助角公式，结合求得的值域，得到的取值；二是利用结合前项和和通项的关系得到，再代入的值，证得数列是等差数列，即可求解.41．（20-21高三下·全国·月考）已知首项为的数列的前项和为，若，且数列，，…，成各项均不相等的等差数列，则的最大值为．【答案】【分析】由已知结合得，设前项等差数列的公差为，分析得，分析得，两式结合可得，求出，验证符合题意，验证不符合题意，利用反证法证得不符合题意，即可得解.【详解】且，（*）；因为前项成各项均不相等的等差数列，设公差为，则，，若，则，，在（*）式中，令得，，即，化简得①；若，则，在（*）式中，令得，，即，化简得②；②①得，，，，将代入①得，，所以，则，所以符合题意．若，则，，，，，，，，在（*）式中，令得，，，所以，所以不符合题意．假设时符合题意，则，整理得，即即，又时，所以与等差数列矛盾，所以不符合题意．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的知识，解题的关键是利用将已知条件转换为，再分别分析，，时是否符合题意，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.42．（20-21高二上·上海宝山·期中）设数列的前项和为，，()，(，).且､均为等差数列，则.【答案】【解析】根据已知条件知数列是首项为，公差为的等差数列，可求出，再根据已知条件转化求出等差数列､的通项公式，再利用分组求和即可得解.【详解】又，即数列是首项为，公差为的等差数列，①，又分别构成等差数列，根据①式可得②，③，④，由②+③，得，又是等差数列，所以必为常数，所以，或，由①得，即，，，又，，即或(舍去)，，是首项为1，公差为的等差数列，，同理，由③+④得，，所以或，，，，即或(舍去)，，是首项为a，公差为的等差数列，，从而，所以.故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的方法有：（1）分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项相消法；（4）等差等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题.题型十四、等差数列压轴第19题（共3小题）43．（24-25高二下·北京房山·月考）设和是两个等差数列，记（，2，3，…），其中表示，，…这s个数中最小的数.(1)若，，求证：不是等差数列；(2)若，，证明：是等差数列；(3)证明：或者对任意实数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得，，，…是等差数列.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；【分析】（1）把代入即可求得，即可证明不是等差数列；（2）在（1）的启发下，证明当时，，所以关于单调递增.所以，从而得证；（3）首先求的通项公式，分三种情况讨论证明.【详解】（1），，，所以不是等差数列.（2），当时，当时，，所以关于单调递增，所以，所以对任意，因此，所以是等差数列；（3）设数列和的公差分别为，则.所以①当时，取正整数，则当时，，因此.此时，是等差数列.②当时，对任意，此时，是等差数列.③当时，当时，有.所以对任意正数，取正整数，故当时，.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图像是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.44．（2025·北京丰台·一模）已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列.(1)若，写出数列的自身子数列的前4项；(2)证明：；(3)若数列与是公差分别为，的等差数列.（i）证明：；（ii）当，时，求数列的通项公式.【答案】(1)1，5，9，13；(2)证明见详解；(3)【分析】（1）由自身子数列定义即可求；（2）由题意可得，设，即可证明，进而命题得证；（3）（i）根据等差数列的通项公式及题意可得，进而得到，进而命题得证；（ii）分别假设存在，使和成立，分别推出矛盾，进而说明，设，由定义求出，从而得出通项公式.【详解】（1）因为所以数列的自身子数列为，所以前4项为：，即数列的自身子数列的前4项为1，5，9，13.（2）因为数列是递增数列且各项均为正整数，于是，所以，设，则，所以.（3）（i）由题得，，又及是递增数列，得，即，即，由于对任意正整数均成立，则，否则矛盾.所以.（ii）由，若存在，使得，设，不妨设，有，则，又，因此与矛盾，所以对任意，都有.若存在，使得，设，不妨设，有，则，又，因此与矛盾，所以对任意，都有，综上，对任意，都有.设，则数列是公差为的等差数列，，又，因此，又，所以.45．（2