专题4-3 数列递推与构造求通项（期末复习专项训练）（解析版）

2/24专题04-3数列递推与构造求通项题型1归纳与猜想题型9型同构题型2换元型累加（重点）题型10型同构（重点）题型3累积型题型11分式型：取倒数法题型4周期型题型12分式型：型同构题型5消Sn求an型（常考点）题型13分段型（难点）题型6消an求Sn型题型14三阶构造型题型7隐形和换元型题型15和定型题型8型同构（重点）2/24题型一、归纳与猜想（共3小题）1．（2025高三·全国·专题练习）将个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据图像找规律即可.【详解】观察数表可知，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与相同，故选：A．2．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，下列各图形中第一个最小的等腰直角三角形的面积都是1，后一个等腰直角三角形的斜边恰好是前一个等腰直角三角形的直角边的2倍，则第10个图形的面积为（

）

A．1023 B．1024 C．2047 D．2048【答案】C【分析】根据题意，得图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，以此类推，进而得图形的面积，即可求出第10个图形的面积.【详解】根据题意，记图形1的面积为，后续图形的面积依次为，则图形1的面积，图形2的面积，图形3的面积，图形4的面积，以此类推，则图形的面积则第10个图形的面积为．故选：C.3．（2025高三下·全国·专题练习）数列，…中，根据规律，有序实数对可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据数列的项发现规律，利用解方程组即可确定.【详解】由数列中的项可发现规律：，即得，解得．故选：D.题型二、换元型累加（共3小题）4．（22-23高二上·重庆九龙坡·期末）数列满足，且，则等于（

）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】递推公式两侧同时乘以，化简递推公式，得，运用累加法及裂项相消法求和，化简整理，即可得到所求通项，代入数值即可得解.【详解】因为，，，所以有，，，，.累加得，又，所以，即.当时，符合上式，所以.则.故选：B.5．（2024·广东茂名·一模）数列满足，（），，若数列是递减数列，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，，，由累加法可得，，因为，所以，所以，因为数列是递减数列，故，即，整理可得，，因为，，所以，故.故选:D.6．（2023·上海虹口·一模）已知函数，数列满足，且（为正整数）．则（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.【详解】由，，故选：C题型三、累积型（共3小题）7．（24-25高二下·广东·月考）记为首项为1的数列的前项和，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解.【详解】易得，故，化简得，即，由知，故，累乘可得，即，故，当时，也符合上式，故，故.故选：C.8．（24-25高二下·重庆·月考）已知正项数列的前项和为，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知等式变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，即可得出的值.【详解】因为正项数列的前项和为，，且，可得，则，所以，，，，，，上述等式相乘得，则，故当且时，，且满足，对任意的，，故.故选：A.9．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）数列中，，，记，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，即可累加求解由即可累乘求解，即可判定AB,利用可得，即可求解CD.【详解】由可得，由于，所以，故，故，又可得，因此，故，故AB错误，又，又因为，则等号无法取到，故，由于故，因此，故C正确，D错误，故选：C【点睛】关键点点睛：将变形为和，即可累加以及累乘求解.题型四、周期型（共3小题）10．（25-26高二上·重庆·期中）已知数列满足，，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根据题目条件可得数列是周期为3的周期数列，.【详解】由数列满足，，可得：，，，，故数列是周期为的周期数列，.故选：A11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在数列中，，，，若的前项和为，则（

）A．4052 B．4053 C．4054 D．4055【答案】A【分析】根据题意分析可知，数列的一个周期为3，结合周期性运算求解即可.【详解】因为，，，令，则，即，且，可得，可知数列的一个周期为3，所以.故选：A.12．（2025高三·全国·专题练习）数列的前项和与前项积分别为，已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到，且，又，则，结合，求出和均是以4为周期的周期数列，根据，解得，求出，所以.【详解】因为，若，则，，不合题意，若，则，故，，即，不合要求，所以，且，又，则，所以，又，则，，可得数列是以4为周期的周期数列，则，，所以数列是以4为周期的周期数列，则，解得，则，则，所以.故选：D.题型五、消Sn求an型（共3小题）13．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出，进而求出，再由裂项相消法求出即可求出最小值.【详解】数列中，，当时，，当时，，两式相减得，则，而不满足此式，因此，当时，，当时，满足上式；因此，由对任意恒成立，得，所以的最小值为．故选：B14．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知数列的前n项和为，，且，则（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，求出数列递推公式，进而求出数列前6项，求出结果.【详解】由可得，即，得，由可得，，，故是周期为3的周期数列，且，故.故选：A.15．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则（

）A． B．3 C．4 D．【答案】C【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系式，再根据累加法求的值.【详解】由，得，所以，所以，，…，，各式两端相加得，故．故选：C.题型六、消an求Sn型（（共3小题））16．（2024·安徽合肥·三模）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】借助与的关系并化简可得，结合，逐项代入计算即可得解.【详解】由可得，所以可得，.故选：D17．（23-24高二下·广东·期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（

）A．49 B．50 C．51 D．52【答案】A【分析】根据给定的递推关系，结合变形，再构造常数列求出，然后代入计算即可.【详解】当时，，则，于是，即有，因此数列是常数列，，即，由，得，而，所以.故选：A18．（23-24高二上·四川成都·期末）若数列满足，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由与的关系求得，从而为常数列，得到，即可求的值.【详解】由及得，即，即，所以，即为常数列，又，所以，即，所以，所以.故选：B题型七、隐形和换元型（共3小题）19．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（

）A．2 B． C．2024 D．【答案】D【分析】用相减法求得的关系，用连乘法求得结论．【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，所以，所以，所以，所以，因为数列为正项数列，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以故选：D．20．（2024·江苏·一模）已知正项数列满足，若，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】由已知和式求出通项的通项，从而得出，再由已知条件，从而求出，类似的往前推，求出即可.【详解】时，时，，故选：D.21．（22-23高二下·湖北·月考）已知数列满足，设，则数列的前2023项和为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意先求出，即可求出则可写出的通项公式，再利用裂项相消即可求出答案.【详解】因为①，当时，；当时，②，①-②化简得，当时：，也满足，所以，，所以的前2023项和.故选：B.题型八、型同构（共3小题）22．（20-21高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足：，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】取特殊值即可求解.【详解】当时，，显然AC不正确，当时，，显然B不符合，D符合故选：D23．（20-21高三上·甘肃平凉·月考）已知数列中，，（且），则数列通项公式为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.【详解】由，知：且()，而，，∴是首项、公比都为3的等比数列，即，故选：C【点睛】思路点睛：1、构造辅助数列：且，可得的通项公式；2、求通项公式：由辅助数列通项公式直接写出.24．（18-19高一下·吉林·期末）数列中，若，，则A．29 B．2563 C．2569 D．2557【答案】D【分析】利用递推关系，构造等比数列，进而求得的表达式，即可求出，也就可以得到的值．【详解】数列中，若，，可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，所以，．【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法．利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等．题型九、型同构（共3小题）25．（19-20高三上·黑龙江哈尔滨·期中）数列的前n项和为，已知，（），若，则实数m的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步解不等式求出结果．【详解】由题意知，（），可变形为，所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，整理得，当时，，由于，所以，整理得，由于，所以，当时，，解得，故m的最小值为.故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考查的式学生对关系式的应用和计算能力，属于中档题．26．（2021·全国·模拟预测）若数列{an}满足a1＝3，an＝3an﹣1+3n（n≥2），则数列{an}的通项公式an＝（

）A．2×3n B． C．n3n D．【答案】C【分析】由递推关系求得，结合选项一一代入检验排除即可得结果．【详解】由an＝3an﹣1+3n（n≥2），当时，对于A，，故A错；对于B，，，故B错；对于C，，，对于D，，故D错，故选：C27．（23-24高二上·广东·期末）在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出.【详解】由，得，即，而，则，即，，由数列为递增数列，得任意的恒成立，则，即恒成立，当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为1，则，当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则，所以实数的取值范围为.故选：A【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可.题型十、型同构（共3小题）28．（23-24高二下·广东湛江·期中）在数列中，已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可.【详解】因为，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，所以，所以．故选：D．29．（2023·四川成都·一模）若数列满足，则（

）A．6 B．14 C．22 D．37【答案】D【分析】根据条件求出，即可得出结果.【详解】∵，∴，，，∴.故选：D.30．（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【答案】B【分析】将式子变形为,可得为常数列，即可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，故为常数列，所以.由，解得.故选：B题型十一、分式型：取倒数法（共3小题）31．（21-22高二上·全国·单元测试）已知数列满足，则=.【答案】【分析】由题可得，然后利用累加法及等差数列求和公式即得.【详解】对递推关系取倒数，得.即，分别用替换，有，，，…，以上个式子相加，得，所以，，n=1成立∴.故答案为：..32．（21-22高二·全国·课后作业）已知数列满足，，则数列的通项公式为．【答案】【分析】对递推数列两边同时去倒数，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列，即可求出数列的通项公式.【详解】因为，，所以，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以．故答案为：.33．（17-18高一下·上海浦东新·期末）已知数列{}满足，且，则＝．【答案】【分析】由题意可证明数列是以为首项，3为公差的等差数列，即可求出数列{}的通项公式.【详解】对两边同时取倒数，所以，则，所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，所以，所以.故答案为：.题型十二、分式型：型同构（（共3小题））34．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知数列|中，，，则满足的n的最小值为.【答案】13【分析】先构造数列得出等比数列计算得出，再计算不等关系结合指数幂的运算求解即可求参【详解】由，得，则．因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以.由，可得，所以，即，又，，故满足的n的最小值为13.故答案为：13.35．（20-21高二上·河南鹤壁·期末）已知数列满足，若，则数列的通项公式为.【答案】【分析】变形为，再利用等比数列的定义可得答案.【详解】因为，，所以，，所以，而，且，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，.故答案为：.36．（23-24高二下·广东深圳·月考）已知数列的首项，且，则；满足的最大整数的值为.【答案】2023【分析】由，化简得到，求得，根据等比数列的求和公式，求得，根据，即可求解.【详解】由题意，数列满足，可得，可得，又由，所以，所以，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.可得，所以设数列的前项和为，则，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为2023.故答案为：；题型十三、分段型（共3小题）37．（2024·北京怀柔·模拟预测）设首项是1的数列的前项和为，且，则；若，则正整数的最大值是．【答案】811【分析】由递推公式依次计算可求出；分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而利用分组求和法及等比数列求和公式求得为偶数、奇数时的前项和，再结合单调性确定的值即可．【详解】由，得，，；当为偶数时，，则，又，因此，；当为奇数时，，则，又，因此，，数列各项均为正，则数列单调递增，当为偶数时，，又，当时，，当时，；当为奇数时，，当时，，所以正整数的最大值是11.故答案为：8，11【点睛】关键点点睛：按奇偶分析求出通项，再按奇偶求出前项和是求解问题的关键.38．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，是，的等比中项，则数列的通项公式.【答案】【分析】由已知求得，然后由等比中项定义求出，再分为奇函数，偶数分别求出通项公式.【详解】因为，所以，，又是的比例中项，所以，即，显然且，故解得；当是奇数时，，，所以，而，所以数列是等比数列，则，即；当是偶数时，则；综上可得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是首先推导出的值，另外就是当是奇数时求出通项公式.39．（24-25高三上·河南南阳·月考）数列满足，，若数列的前项的和为，则的的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据已知条件得，令，通过裂项相消求得，然后代入即可求解.【详解】数列满足①，当时，，即，当时，②，

由②①得，数列的所有奇数项，，数列的所有偶数项，，综上，数列的通项公式为.记，所以数列的前项和为：，由得，即，因为，随着的增大而增大，故当时，刚好满足，所以，的最小值为.

故选：C.题型十四、三阶构造型（（共3小题））40．（24-25高二上·湖北·期末）已知数列满足：，，则所有可能的取值的集