专题4-4 数列求和、不等式归类（期末复习专项训练）（原卷版）

2/24专题4-4数列求和、不等式归类题型1分组求和：公式型题型9裂项相消：指数倍数型题型2分组求和：分段型题型10裂项相消：分子分母和的倍数（重点）题型3分组求和：奇偶正负型（重点）题型11裂项相消：分子分母齐次消去法题型4分组求和：插入数型题型12裂项相消：分母有理化法题型5倒序求和：函数中心法（常考点）题型13裂项相消：幂指同构裂项法题型6错位求和：整数型题型14求和证明不等式题型7裂项相消：基础型（难点）题型15先放缩再求和证明不等式题型8裂项相消：分子为分库差的倍数（重点）题型16三角函数型2/24题型一、分组求和型：公式型（共2小题）1．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的通项分别为，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（

）A．21 B．38 C．42 D．432．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（

）．A． B． C． D．题型二、分组求和型：分段型（共2小题）3．（24-25高二下·广西钦州·期末）已知数列满足，，且，则的前51项的和为（

）A．37 B．40 C．42 D．464．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知数列满足，，记，则数列的前100项的和为（

）A． B．25 C． D．50题型三、分组求和型：奇偶正负型（共2小题）5．（24-25高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，，，则数列的前项和为（）A． B． C． D．6．（2025·河北衡水·模拟预测）已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得其前20项和为82，则写错之前这个数为（

）A．64 B． C．100 D．题型四、分组求和型：插入数型（共2小题）7．（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前n项和为，且，.在数列的每相邻两项、之间依次插入、、……、，得到数列：、、、、、、、、、、……，的前22项和为（

）A．34 B．36 C．37 D．398．（24-25高二上·黑龙江绥化·月考）对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列.现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，5.记第n次得到的数列的各项之和为，则的通项公式（

）A． B． C． D．题型五、倒序求和：函数对称中心法（共2小题）9．（25-26高二上·福建漳州·月考）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·北京西城·月考）数学家高斯在年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法.现有函数，则（

）A．2025 B．2024 C．1013 D．1012题型六、错位求和：整数型（（共2小题））11．（24-25高二下·广西崇左·期末）若数列满足，，的前项和为，则的整数部分为（

）A． B． C． D．12．（2025·广东茂名·二模）已知函数满足，，设，为数列的前项和，则使得成立的最小整数为（

）A．8 B．9 C．10 D．11题型七、裂项相消：基础型（共2大题）13．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）设是等差数列，是等比数列，且，其中与的前n项和为和．(1)求与的通项公式；(2)若，求数列的前n项和；(3)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值．14．（25-26高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，若对任意，向量，，有．(1)求数列的通项公式(2)记，数列前项和为，求证：．题型八、裂项相消：分子为分母差的倍数（共2大题）15．（25-26高三上·四川绵阳·月考）设数列的前n项和为，已知．(1)求的值和数列的通项公式；(2)数列的前n项和为，求证：．16．（2025·河北保定·一模）记数列的前n项和为，已知，.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的前n项和.题型九、裂项相消：指数倍数型（共2大题）17．（25-26高三上·河北衡水·月考）已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.18．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）数列满足：，各项均为正数的等差数列的前项和为，4是的等比中项，且．(1)求，的通项公式；(2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围．题型十、裂项相消：分子为分母和的倍数（共2大题）19．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知等差数列满足是关于的方程的两个根.(1)求数列的通项公式.(2)设，求数列的前项和.20．（25-26高二上·甘肃·期中）已知数列中，，前n项和为，且为等差数列.(1)证明：数列是等差数列；(2)已知，，求数列的前n项和.题型十一、裂项相消：分子分母齐次消去法（（共2大题））21．（25-26高三上·河北·期中）已知为正项等差数列，为的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和为，证明：.22．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足．(1)求的通项公式；(2)令（），求数列的前项和．题型十二、裂项相消：分母有理化法（（共2大题））23．（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知递增数列满足.(1)求；(2)证明：数列为等差数列；(3)令，求数列的前项和.24．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知数列的前n项和为，且(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和；(3)证明：题型十三、裂项相消：幂指同构裂项法（共2大题）25．（2025·河南·模拟预测）已知数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)求的通项公式；(3)记，数列的前项和为，证明：.26．（25-26高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和；(3)设是数列的前项积，求证：.题型十四、求和证明不等式（（共2小题））27．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：．28．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知函数，数列满足.(1)证明为定值，并求数列的通项公式；(2)记数列的前项和为，证明：.题型十五、先放缩再求和证明不等式（（共2小题））29．（2025高三下·全国·专题练习）已知实数，函数（e为自然对数的底数）．(1)求函数的单调区间及最小值；(2)若对任意的恒成立，求实数a的值；(3)证明：．30．（24-25高三下·广东惠州·月考）已知数列的前项和为，且，(1)证明是等差数列；(2)求；(3)求证：题型十六、三角函数型（（共2小题））31．（24-25高二下·湖北·月考）意大利画家达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”其原理往往运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象，现定义双曲正弦函数，他们之间