第2章 对称图形-圆期末复习（知识清单）（学生版）-苏科版(2024)九上

第2章对称图形——圆1.点和圆的位置关系点在圆外，；点在圆上，；点在圆内，；（圆的半径为r,点到圆心的距离为d）2.垂径定理及推论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.3.外心与内心外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心.外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边重点，钝角三角形的外心在三角形外部。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与外心连线夹角的一半.内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做内心，它的性质是到三角形三边的距离相等。三角形的一个内角等于它另外两个角顶点与内心连线夹角减去再乘以2..三角形周长为，面积为，内切圆半径为,则.直角三角形两直角边分别是，斜边为，内切圆半径为，则.4.圆周角定理及推论圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半.推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径.推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.5.直线和圆的位置关系：（圆心到直线距离为d，圆的半径为r）相交：直线与圆有两个公共点，；相切：直线与圆有一个公共点，；相离：直线与圆无公共点，.6.切线性质定理和判定定理切线定理：圆的切线垂直于过切点的半径.切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定方法：（1）直线与交点个数；（2）直线到圆心的距离与半径关系；（3）切线的判定定理.7.弧长公式与扇形面积公式正变形的圆心角为度.弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为.如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为.如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为.易错点190度的圆周角所对的弦是直径1.易错点总结:忽略前提条件：需明确该圆周角必须在同一个圆中，若在等圆或同心圆中，需保证弦对应的圆半径一致，否则结论不成立。混淆“所对”关系：误将“90度圆周角所对的弦”等同于“弦所对的圆周角为90度”，忽略一条弦可对两个圆周角（互补），仅直径所对圆周角必为90度。2.注意事项:

应用定理时先确认图形是否满足“同圆或等圆”条件，避免跨圆错误。推理时紧扣“圆周角与弦的对应唯一性”，明确直径是90度圆周角的唯一对应弦。例题1．在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为．

易错点2直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系1.易错点总结:公式记忆混淆：误将面积S=½(a+b+c)r记为S=(a+b+c)r，忽略系数½，导致计算错误。直角边斜边混淆：用两条直角边之和代替周长，忽略斜边，尤其在仅知直角边时易漏算。2.注意事项:牢记公式推导：由面积等于三个内三角形面积和，推导得r=2S/C（C为周长），避免死记硬背。明确边长构成：直角三角形周长含两条直角边和斜边，计算时需先确认斜边长度，再代入公式。例题2．如图，在中，，，，是的内切圆，分别切边于点D，E，F．(1)求的半径．(2)若Q是的外心，连接，求的长度．易错点3求某点的弧形运动路径长度1.易错点总结:半径判断错误：误将运动点到旋转中心的距离算错，如混淆线段长度与半径，或忽略旋转过程中半径的变化。圆心角单位混淆：计算时未将角度单位统一，直接用角度代入弧度公式，或弧度与角度换算错误，导致弧长偏差。2.注意事项:确定旋转中心和半径：明确运动点绕哪一点旋转，准确测量该点到中心的距离作为半径。统一圆心角单位：弧长公式中圆心角需用弧度，若已知角度，先按π/180换算，再代入公式l=θr计算。例题3．如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是cm（结果用含的式子表示）．

易错点4求其他不规则图形的面积1.易错点总结:

扇形与三角形混淆：计算弓形面积时，误将扇形面积直接当作弓形面积，忽略减去三角形面积；或混淆圆心角与圆周角对应的图形。重叠区域漏算/多算：多个圆相交时，求阴影面积易漏减重叠部分，或对“不规则”边界判断不清，重复计算公共区域。2.注意事项:

分解为规则图形：将不规则图形拆分为扇形、三角形、圆等，明确各部分关系（和或差），标注圆心、半径和角度。验证边界与角度：确认图形是否由同圆或等圆构成，核对圆心角大小，必要时通过几何性质（如切线、直径）辅助计算。例题4．如图，正五边形的边长为1，分别以点C，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点F，图中阴影部分的面积为．（结果保留）

一、单选题1．如图，摆钟是一种技术与艺术相结合的机械时钟，图是其钟摆摆动示意图，，当钟摆从摆动到时，若摆动角度，则端点A移动的路径长为（）A． B． C． D．2．如图，P是外一点，射线交于A，B两点，与相切于点C，，若，则阴影部分的面积是（

）A． B． C．1 D．3．如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（

）A．6 B． C．4 D．4．如图，中，，，．点P为内一点，且满足．则的长度最小值为（

）A．3 B． C． D．二、填空题5．如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动．到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点经过的路程长为（结果保留π）．6．如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，则，，，围成的面积（图中阴影部分面积）为．7．如图，E为正方形内一点，，垂足为E，连接，F，G分别是的中点，若，则的最小值是．8．如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为，最大值为．三、解答题9．如图，三角尺中，，，，将三角尺绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在和点A、B同一直线上的点处，同时点A落在点处．(1)_______°；(2)旋转过程中点A和点C所经过的路程分别为多少？10．如图，以的边上一点O为圆心的圆经过两点，且与边交于点E，，连接交于点F，若．(1)求证：是的切线；(2)若的半径是4，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号）．11．如图，在中，是直