第4章 等可能条件下的概率期末复习（知识清单） （学生版）-苏科版(2024)九上

第四章等可能条件下的概率知识点梳理01：等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.【微点拨】1、设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件．．．．，每次试验有且只有．．．．其中的一个．．结果出现，而且每个结果出现的机会均等．．．．，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这试验的结果具有等可能性。2、无论是试验的所有可能产生结果是有限个，还是无限个，只有具备哪几个特征的试验结果才具有等可能性？（①在试验中发生的事件都是随机事件②在每一次试验中有且只有一个结果出现③每个结果出现机会均等知识点梳理02：概率1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)．（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这个事件发生的概率。（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=．（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。（2）在一次实验中,可能出现的结果有限多个.（3）在一次实验中,各种结果发生的可能性相等.（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能性越大，则它的概率越接近1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0。（5）一个事件的概率取值：0≤P（A）≤1当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1，即P（必然事件）＝1不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）＝0随机事件的概率：如果A为随机事件，则0＜P（A）＜1（6）可能性与概率的关系事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．知识点梳理03：求概率的方法（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助枚举法。（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。易错点1：等可能性（核心概念回顾与易混淆点）概念：一个随机试验的所有可能结果出现的可能性相同。这是本章所有计算的基础假设。错误：忽视前提条件：不是所有随机试验的结果都是等可能的！例如：掷一枚图钉，钉尖朝上和钉尖朝下的可能性一般不相等；比较两个人的身高，谁更高的可能性也不一定相等。关键是要能判断所给问题是否满足等可能性条件。主观臆断：凭感觉认为某种结果更容易出现或更不容易出现，而忽视题目中明确给出的等可能性信息。【典例精讲1】（2024·北京·一模）学校组织学生到某工艺品加工厂参加劳动实践活动．用甲、乙两台设备加工三件工艺品，编号分别为A，B，C，加工要求如下：①每台设备同一时间只能加工一件工艺品；②每件工艺品须先在设备甲上加工完成后，才能进入设备乙加工；③每件工艺品在每台设备上所需要的加工时间（单位：min）如下表所示：

（1）若要求A，B，C三件工艺品全部加工完成的总时长不超过20min，请写出一种满足条件的加工方案（按顺序写出工艺品的编号）；（2）A，B，C三件工艺品全部加工完成，至少需要min．易错点2：概率公式（核心概念回顾与易混淆点）概念：事件A发生的概率P(A)=事件A包含的样本点数(k)/样本空间中总的样本点数(n)。错误：n和k不对应：分子中的样本点数k必须是分母中样本空间n的一部分。常见的错误是在涉及步骤或多要素时（如放回抽样和不放回抽样），分子和分母使用了不同的样本空间或计数标准。误用排列组合：该公式的应用前提是所有样本点是等可能且能被清晰列举或计数。如果样本空间本身不等可能或者计数困难，直接套用公式会出错。忽视最简形式：计算结果没有化简到最简分数形式。题目要求时没有按要求转换为小数或百分比（保留位数也可能出错）。【典例精讲2】（24-25九年级上·广东珠海·期末）（1）解方程：x(（2）填空：如图是计算机中“扫雷”游戏的画面，在一个有9×9个小方格的正方形雷区中，随机埋藏着3颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷．小王在游戏开始时随机地踩中一个方格，踩中后出现了如图所示的情况，我们把与标号3的方格相邻的方格记为A区域（划线部分），A区域外的部分记为B区域，数字3表示在A区域中有3颗地雷，每个小方格中最多只能藏一颗．那么，第二步应该踩在A区域还是解：∵再继续踩在A区域踩到地雷的概率为，而踩在B区域踩到地雷的概率为，∴第二步应该踩在B区域．【变式训练2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）不透明的袋子装有除颜色外其他都相等的小球共16个，其中有8个黄球，6个绿球，余下的为红球，从中任取一个，则取出的是红球的概率为（

）A．116 B．110 C．18易错点3：树状图与列表法（计算方法的易错点）概念：用于系统列举样本空间或事件结果的工具。错误：选择不当：对于涉及顺序的事件（如先后抽取、按顺序掷骰子），尤其是不放回的情况，树状图更清晰。对于两个因素同时发生且因素结果有限的事件（如同时掷两个骰子，但需注意顺序与否），列表法可能更方便。错误选择导致列举混乱或遗漏。层次不清晰：使用树状图时，第一层、第二层代表的含义不明确，导致后续计数错误。标注不清：在树状图的“树枝”上没有清晰标注每一步发生的事件（如抽取球的颜色），仅凭“路径”计算，容易在复杂图中混淆。路径计数错误：从树状图根到末端节点的每条路径代表一个样本点，只有“叶子节点”才被计数。可能错误地把树枝上的中间点也算作结果点。“等可能枝”的理解：树状图的一个前提是每个分支的发生是等可能的（如掷骰子每个点数概率1/6）。但在实际画图时，有时为了简化会合并路径（如硬币的“正面”和“反面”各画一个分支），此时必须确保每个分支代表的事件发生的概率总和是相等的？。不对！关键点是：每个“等可能结果”在其所在的层级有单独的分支路径。在骰子问题中，每个点数（1到6）都应该有一条从起点出发的路径，每条路径的概率在假设等可能时是相等的（都为1/6）。合并路径（如点数1-3合并为一组）会掩盖内部的等可能性差异，此时该分支的概率不等于1/6，而是1/2（假设3个点数和另3个点数各自等可能）。除非题目明确分组且各组等可能，否则一般不合并样本点路径。树状图的核心优势是清晰展现所有等可能的样本路径。【典例精讲3】（24-25九年级上·四川资阳·期末）某校进行九年级体能测试，测试后，将学生的体能成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图．请你根据统计图信息，回答下列问题：(1)参加体能测试的学生共有______名；在扇形统计图中，表示“C等级”的扇形的圆心角的度数为______；图中m的值为______．(2)补全条形统计图；(3)等级为C的学生有4名来自九年级1班，这4名学生中有两名是女生．王老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用树状图或列表格的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率．【变式训练3】（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）贵州山川秀美，景色迷人，是中国西部的一个黄金旅游区．为了奖励员工，某公司计划组织一次旅游活动，有以下四个地点供选择：A．花江铁索桥；B．马岭河峡谷；C．二十四道拐；D．万峰林．现随机调查了部分员工最想去的旅游地点，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图中的信息，解答下列问题：(1)这次调查一共抽取了________名员工；扇形统计图中，旅游地点D所对应的扇形圆心角的度数为________．(2)请补全条形统计图．(3)在选择旅游地点C的员工中，甲，乙，丙，丁4人表现最为积极，现打算从这4人中任选2人作为本次旅游活动的策划员，请用列表或画树状图的方法求出选中的两人中一定有甲的概率．易错点4：分步概率的乘法规则(树状图优势)计算方法的易错点概念：事件A并且事件B发生的概率：P(A且B)=P(A)×P(B|A)。其中P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。错误：混淆“放回”与“不放回”：放回抽样：第一次抽取结果不影响第二次抽取的样本空间和概率。即P(B|A)=P(B)。不放回抽样：第一次抽取结果改变了第二次抽取的样本空间（减少了一个样本），概率也改变。必须重新计算条件概率P(B|A)。这是最常犯的错误！常表现为计算第二次概率时忘记剩余总数少了一个。顺序混淆：对于涉及时间先后或步骤顺序的问题（如抽签问题、比赛先后），在树状图或计算时要明确顺序步骤。【典例精讲4】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）今年暑假，我市各中小学试行“阳光分班”方案，以树立教育公平为基本方向，实现机会均等，确保每个孩子享有公平而有质量的教育．某校七年级共设3个教学班，班号依次为1、2、3，分班过程分两批完成，第一批由家长代表抽签确定各班学生，第二批抽签确定各班学生对应的班主任．(1)小刚被抽到4班是________事件（填“必然”“随机”“不可能”）．(2)求小刚和正老师分到同一个班的概率（请用画树状图或列表的方法求解）．易错点5：几何概型（典型应用场景的易错点）概念：当样本点无限多，且区域具有某种均匀性（如长度、面积、体积）时，可用几何区域的测度（长度、面积、体积）之比计算概率。即：P(A)=A的测度/总测度。错误：选择错误测度：混淆长度、面积、体积。例如，在一条数轴上等可能投点算区间概率，应该用长度比；在平面区域（如转盘）内投点，应该用面积比；在空间中投点，应该用体积比。计算测度错误：对所求事件区域和目标区域的测度（长度、面积）计算不准确（几何基本计算能力不足）。忽略关键因素：例如，在圆面投点落在某个扇形内，概率等于扇形圆心角/360°(或者扇形面积/圆面积)，而不能错误地认为等于扇形弧长/圆周长（这是周长比，用于在圆周上投点）！必须搞清楚投点是落在面上还是线上（边界上）。【典例精讲5】（24-25九年级上·福建三明·阶段练习）如图，大小相同的A，B两个转盘都被分成红、蓝两色区域，A盘红色扇形区域与B盘蓝色扇形区域的圆心角都是120°

(1)A盘转出红色的概率为___________，B盘转出红色的概率为___________；(2)小颖认为：两个转盘的红色区域可以拼成一个圆形，蓝色区域也可以拼成一个圆形，转动两个转盘出现的所有可能结果为（红，红），（红，蓝），（蓝，红），（蓝，蓝），可求出配成紫色的概率为12【变式训练5】（2025·陕西西安·三模）课间，小兰用如图所示的两个可以自由转动的转盘进行“配紫色”游戏，转盘A被分成两个扇形，分别为红色区域和蓝色区域，且红色区域和蓝色区域所在扇形的面积之比为1:3；转盘B被分成三个面积相等的扇形，分别为红色区域、黄色区域、蓝色区域．游戏者同时转动两个转盘，如果两个转盘的指针分别指向蓝色区域和红色区域，那么游戏者就获胜了（指针指向区域分界线则重新转动转盘）．(1)转动转盘A，转到红色区域的概率为______．(2)请用画树状图或列表的方法，求游戏者获胜的概率．易错点6：游戏公平性判断（典型应用场景的易错点）概念：通过比较游戏双方（或多方）获胜的概率是否相等来判断规则是否公平。错误：未计算概率：凭主观感觉判断是否公平，而不是严格计算各自获胜概率。概率计算错误：由于前述各种原因（如样本空间错误、方法使用不当），导致算出的概率本身错误，进而影响公平性判断。结论不明或错误：计算出了概率，但比较结果后不明确写出“公平”或“不公平”的结论，或者比较错误（如P(A)=1/3和P(B)=1/4时误判为公平）。比较的必须是获胜概率。【典例精讲6】（2025·陕西榆林·二模）围棋是一种古老的中国传统游戏，起源于中国古代．赵婷和李海是围棋爱好者，他们在某次对弈前约定规则来决定由谁执黑棋（围棋的第一原则：黑棋先下子，白棋后下子，然后双方轮流下子）．将两枚白棋和三枚黑棋装入不透明的围棋罐中，摇匀．(1)从罐中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回罐中摇匀，不断重复这个过程，共摸棋子20次，其中有7次摸到白棋．则这20次摸棋子中，摸出白棋的频率是________；(2)他们约定的规则如下：赵婷先从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色后放回，摇匀，然后李海再从罐子中随机摸出一枚棋子，记下颜色．若摸出的两枚棋子颜色不同由赵婷执黑棋，若摸出的两枚棋子颜色相同由李海执黑棋．请用画树状图或列表的方法判断这个规则对双方是否公平？若不公平，他们两人中谁执黑棋的概率更大．【变式训练6】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀．(1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是________事件；“从中任意摸出1个球是黑球”是________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”）(2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是________．(3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获胜；否则，甲获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明．易错点7：组合事件（典型应用场景的易错点）概念：“或”事件（至少一个发生）和“且”事件（同时发生）。错误：未处理重叠（互斥性）：计算“或”事件的概率(P(A或B))时，如果A和B可能同时发生（不互斥），则不能直接用P(A)+P(B)，而需要用P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)。最常见的是在掷两个骰子时求“点数之和为6”或“点数之和为7”的概率，这两个事件互斥，可以直接加；但求“至少有一个6点”或“点数之和不小于5”等事件时，内部事件可能不互斥。“且”事件的错误计算：对独立事件和不独立事件（如不放回抽样）不加区分，一律用P(A且B)=P(A)*P(B)。【典例精讲7】（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，图1、图2是可以自由转动的两个转盘．图1被平均分成9等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图2被涂上红色与绿色，绿色部分的扇形圆心角是120°．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的颜色即为转出的颜色．(1)在图1转盘中转出数字6的概率为________．(2)小明转动图1的转盘，小亮转动图2的转盘．若某个转盘的指针恰好指在分界线上时重转．小颖认为：小明转出的数字小于7的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同．小颖的观点对吗？为什么？【变式训练7】（23-24九年级上·福建泉州·期末）贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均12，各局比赛的结果相互独立，第1(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．1．（24-25九年级上·河南周口·期末）某学校开设了四门兴趣课程，分别为“音乐”、“网球”、“陶艺”、“口才”．为保证学习效果，学校规定每位学生只能选择一门自己最喜欢的课程学习．琪琪与涵涵对这四门课程都感兴趣，在没有沟通的情况下，两人选择同一门课程的概率是（

）A．14 B．38 C．132．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是（

）A．12 B．23 C．253．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）将分别标有“我”“爱”“贵”“州”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成词语“贵州”的概率是（

）A．14 B．16 C．184．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）现对由两个小正方形组成的“”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是一个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（

）A．12 B．13 C．145．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）从−4，−1，2，3四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a,c，则关于x的方程axA．16 B．13 C．126．（24-25九年级上·广东梅州·期末）如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（

）A．59 B．49 C．137．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）为了认真学习贯彻党的二十精神，葉校开展了以“喜迎二十大，奋进新征程”为主题的党史知识竞赛活动，答题后随机抽取了100名学生答卷，统计他们的得分情况如下：得分x708090人数（人）23n87据此估计，若随机抽取一名学生答卷，得分不低于80分的概率为．8．（24-25九年级上·河南开封·期末）一个不透明的盒子中装有若干个红球和15个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.25左右，则盒子中红球的个数约为．9．（24-25九年级上·四川资阳·期末）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小明和小红都想从微信、支付宝、云闪付三种支付方式中选一种方式进行支付，则两人恰好选择同一种支付方式的概率为．10．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）在英语单词teacher中任意选出一个字母，选出的字母为e的概率是11．（2025·安徽合肥·二模）如图，一张圆桌配有4个凳子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰好甲、乙两人坐在相邻的位置的概率是．12．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个不透明的袋子中装有7个小球，其中4个红球、2个蓝球，1个白球，这些小球除颜色外无其他差别，小明同学从袋子中随机摸出1个小球，则摸出的小球是红球的概率是．13．（2025·安徽合肥·一模）将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色不同的概率是．14．（24-25九年级上·甘肃天水·期末）一个不透明的口袋里装有分别标着汉字“我”“爱”“中”“国”的四个小球，四个小球除所标汉字不同外其他都相同．将口袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球，记录小球上所标的汉字，记为一次试验．(1)小尹从中随机摸出一个小球，摸到的球上所标汉字恰好是“爱”的概率是__________；(2)若小尹从中随机摸出一个小球，不放回，再从剩下的三个小球中随机摸出一个小球，请用树状图或列表法求摸到的两个小球上所标汉字能组成“中国”的概率．15．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人．(1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率；(2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率．16．（24-25九年级上·福建福州·期末）在一个不透明的盒子里装有红，白，黑三种颜色的乒乓球4个（除颜色外其他均相同），其中红球2个，白球，黑球各1个．(1)从盒子中随机摸一个，事件“摸到红球”的概率是．(2)若摸到白球得1分，摸到红球得2分，摸到黑球得3分，小亮随机从中摸一球，记下分值后再放回，摇匀后，再摸一球，请用列表法或画树状图法说明小亮至少得4分概率．17．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，4张卡片正面分别呈现了几种常见的生活现象，它们的背面完全相同，现将所有卡片背面朝上洗匀．(1)若从中随机抽取一张，这张卡片正面图案呈现的现象恰好属于化学变化的概率是_____．(2)若从中任意抽取2张（先抽取1张卡片，不放回，再抽取1张卡片），求抽取的两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于化学变化的概率．（请用画树状图或列表法等方法说明理由）18．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车“和“网购”给我们的生活带来了很多便利，九年级数学兴趣小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人（每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．(1)据图中信息求出m=___________，n=(2)补全条形统计图：(3)已知A、B两位同学都最认可“微信”，C同学最认可“支付宝”，D19．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字-2，-1，0，(1)从中任取一球，将球上的数字记为a，求关于x的一元二次方程x2(2)从中任取一球，将球上的数字作为点的横坐标记为x（不放回），再任取一球，将球上的数字作为点的纵坐标，记为y，用树状图或